Автореферат (Системы моментных уравнений и следующие из них модели неравновесных течений), страница 2

Этот раздел является центральной частью проведенногоисследования.Рассматриваютсяцентрированныемоментывида:( N ) = m c c c ... fdc dε и M Ω( N ) = ε c c c ... fdc dε . В этих выражениях:M ijk0∫ i j k∫ i j k...ijk ...m0 , ε – массапроекцияи энергия внутренних степеней свободы молекулы; ci –тепловойскоростимолекулы;f ≡ f (t , x1 , x2 , x3,ξ1,ξ 2,ξ 3,ε )–одночастичная функция распределения; N – порядок момента.

Основныемоменты в формальном и газодинамическом обозначениях: M (0 ) ≡ ρ ;(3) ≡ 2ϕ ; M Ω(3) ≡ ω .M i(1) ≡ 0 ; M ij(2 ) ≡ Pi j ; M Ω(2 ) ≡ EΩ ; M ijkijkiiОбщее моментное уравнение порядка N ≥ 2 :(N )∂M ijk...∂t( N +1)( N −1)∂∂u* M ***... ∂P*α ∂M ijk ...α((N)N)+=uα M ijk ... + M ***...α−+∂xα∂xαρ∂xα∂xα()=Здесь( N )+M ijk...τ+M ( N )+ijk ...+τ−M (N ).(1)ijk ...τ= ∫ Vijk( N...) J + dξ dε − u* ∫ V*(*N*...−1) J + dξ dε − u*u* ∫ V*(*N*...− 2 ) J + dξ dε −...( N )+– быстрота наработки момента в результате обратных столкновений; M ijk...

–момент, вычисленный по распределению столкнувшихся молекул; τ –среднее время свободного пробега молекулы; 1 τ + – средняя частотаобратных столкновений. В уравнениях моментов, содержащих энергиювнутренних степеней свободы, символ M ...... должен быть заменен символомM ...Ω... .10Повторяющийся в одночлене греческий индекс обозначает операциюсвертки тензора. Подстрочный символ “звездочка” обозначает операциюсимметрирования(компактногосимметрирования)сисключениемповторений тождественных по величине одночленов.Уравнения моментов второго порядка:∂ϕijα Pij+ Pij∂∂∂u*Pij +uα Pij + P*α+2= + −.∂t∂xα∂xα∂xαττ()EΩ++∂∂EΩ +(uα EΩ ) + ∂ωα =∂t∂xα∂xα τ(2)τ +E − EΩEΩ τ + Ω−==Ξ.ττ(3)Здесь Ξ – быстрота передачи энергии от поступательных степеней свободы квнутренним.Тензорнапряженийможет быть разложеннасферическийибездивергентный тензоры следующим образом:Pij = pijm + δ ij p m(4)Здесь pijm – неравновесные напряжения; p m = Pαα / 3 – "механическое"давление.С учетом (4) правая часть уравнения (2) может быть представлена как:Pij+τ+−Pijτ=pijm + + δ ij p m +τ+−pijm + δ ij p mτ=1112τττ = −  pijm − + pijm +  − δ ij  p m − + p m +  = − 1 − + Π  pijm − δ ij Ξτττ τ3ττ.

(5)Коэффициентом Π обозначено отношение неравновесных напряжений,создаваемых молекулами после и до столкновений, т.е. Π = pijm + pijm .В разрабатываемом методе построения системы моментных уравненийпринято следующее положение: главные оси тензора не меняют своегонаправления в процессе релаксации (изотропность релаксации). Из этогоположения в частности следует, что отношение pijm + pijm не зависит отзначения индексов, т.е. является скаляром.11()Выражение τ 1 − τ τ + П , фигурирующее в (5), имеет смысл временирелаксации напряжений:m+τ pij τ p =τ 1− + m . τ pij (6)В отношении релаксационного процесса принято еще одно положение:в процессе релаксации энергия теплового движения молекул не переходит вэнергию их группового движения.

На основании этого положения членыуравнений (3) и (5), отвечающие за энергообмен между поступательными ивнутренними степенями свободы, обозначены единым символом Ξ :1 τ3 1  m τ m+ Ξ =  + EΩ+ − EΩ  и Ξ =p − + p τ τ2τ τУсловие энергообмена в терминах температуры:cΩρτ +τ + 3 ρ + TΩ − TΩ  = R  Tt − + Tt  .τ ττ 2 τ (7)Здесь cΩ = cv − 3 2 R – теплоемкость внутренних степеней свободы; cv –изохорная теплоемкость; R – удельная газовая постоянная. Поступательная( Tt ) и внутренняя ( TΩ ) температуры связаны с термодинамическойтемпературой (Т) соотношением:cvT =3RTt + cΩTΩ .2(8)Из (7) в совокупности с выражениями Ξ следует:Ξ=3c θ 3 5 − 3γ ρRθρR Ω =.2cv τ θ 22τθ(9)где θ = Tt − TΩ ; τ θ – время релаксации разности температур, определенноеаналогично времени релаксации напряжений (6); γ – показатель адиабаты.Время релаксации τ θ представлено в виде τ θ = h τ p . В настоящейработе величина h рассматривается как свободный параметр модели илиоценивается в соответствии с известными рекомендациями.12Уравнения моментов третьего порядка ϕ ijk и ωi следуют из общегомоментного уравнения (1).

Вид релаксационных членов этих уравнений ивремена релаксации τ ϕ и τ ω получены аналогично (5), (6).Длязамыканияаппроксимирующаясистемыфункциятретьегопорядкараспределенияиспользованаэллипсоидальноговида.Локальные, т.е. определенные аппроксимирующей функцией, выражениямоментов четвертого порядка:()(4 ) = R 2 ρ T T + T T + T T ≡ R 2 ρ T T ;M ijkli j klik jlil jk** **(10)M ijΩ (4 ) = cΩ Rρ TΩTi j(11)В диссертационной работе рассмотрены аппроксимирующие функцииболее общего вида, приводящие к идентичным выражениям замыкающихмоментов четвертого порядка. Для моментов более высокого порядкаполучены выражения:(5)M ijklm= RρT**ψ *** .(12)Ω (5)M ijk= cΩ ρTΩψ ijk + RρT**ϖ * .(13)(6 ) = R 3 ρT T T .M ijklmn** ** **(14)Ω (6 )M ijkl= cΩ R 2 ρTΩT**T** .(15)Здесь использованы переменные Tij = Pij (ρR ) , ψ ijk = 2 ϕijk ρ и ϖ i = ωi ρ ,отражающие структуру полученных выражений лучше, чем системныепеременные Pij , ϕ ijk и ωi .Анализвыражений(10)÷(15)сучетомосновныхсвойствцентрированных моментов позволил принять допущение: моменты высшихпорядков могут быть адекватно аппроксимированы линейной комбинациеймоментов низших порядков.

Под моментами низших порядков понимаютсямоменты, определенные системой, требующей замыкания.13Этодопущениепозволяетболеепростымспособомполучатьаппроксимации высших моментов, а начиная с моментов шестого порядка – иболее общие аппроксимации.Другой позитивной стороной допущения о линейной зависимостинизших моментов является возможность отказаться от аппроксимирующейфункции распределения. Сам факт использования аппроксимирующейфункции, определяющей моменты локально, имеет характер сильногодопущения.Для определения времен релаксации τ p , τ ϕ , τ ω принято допущение:времярелаксациинеравновеснойвеличинынезависитотстепенинеравновесности течения.

Это допущение позволило выразить указанныевеличины посредством закона трения Стокса и закона Фурье. В результатеполучены следующие значения: τ p = µ (Tt ) p m ; τ ϕ = 3 2 τ p ; τ ω = τ p . Впоследнем выражении использована аппроксимация Эйкена Pr = 4γ (9γ − 5) .На основании принятых положений и допущений сформулирован методпостроения системы моментных уравнений порядка N ≥ 4 для функциираспределения общего вида, без конкретизации модели межмолекулярноговзаимодействия. Метод имеет феноменологический характер. Алгоритмметода состоит в следующем.1) Записываются моментные уравнения со второго до N-го порядка сиспользованием зависимости (1).2) Правые части уравнений приводятся к виду релаксационного члена.

Времярелаксации неравновесной величины типа aijk ... ( pijm , ϕ ijk , ω i , ...) выражаютсякакaij+... τ.τ a = τ 1 − + τ a ij ... Член,описывающийэнергообменмеждупоступательными и внутренними степенями свободы записывается с учетом(9).143) Время релаксации моментов второго и третьего порядка определяются сиспользованием закона трения Стокса и закона Фурье. Время релаксациимоментов порядка N > 3 принимаются в качестве свободных параметровмодели.4) Для моментов (N + 1) -го порядка записываются зависимости вида (10) ÷(13).Описанным методом построена система моментных уравнений третьегопорядка, называемая в дальнейшем 24-моментной системой или системойМ24.

Одна из форм записи, удобная для много процессорной численнойреализации:∂ρ ∂ρuα+= 0;∂t∂xα(16)∂ρui∂+(ρui uα + Piα ) = 0 ;∂t∂xα(17)∂∂(uα EΩ ) + ∂ωα = 3(γ − 1) cΩ ρ θ ;EΩ +2hτ p∂t∂xα∂xα(18)∂ϕ ijαPij − δ ij p m∂∂∂u*5 − 3γθ(Pij +uα Pij ) + P*α+2=−− δ ijRρ; (19)∂t∂xα∂xα∂xα2hτ pτp∂∂∂uR∂T2 ϕi jkuαϕ i jk + ϕ**α * + P*α ** = −ϕ i jk +;∂t∂xα∂xα 2∂xα3 τp(20)∂∂(uα ωi ) + ωα ∂ui + Piα ∂  EΩ  = − cΩ ωi .ωi +cω τ p∂t∂xα∂xα∂xα  ρ (21)()Свойства 24-моментной системы в отношении коротковолновойнеустойчивости такие же, как и у 20-моментной системы Грэда. На Рисунке 1показаны профили скоростиодноатомного газа.и температуры в плоской ударной волне15Рисунок 1. Профили скорости и температуры в ударной волнеодноатомного газа. Система М24.При M > 1.8 возникает физически неадекватное искажение профиля(субскачок). На профилях ударной волны в многоатомных газах субскачокпроявляется аналогичным образом.Во втором разделе разработаны методы снижения коротковолновойнеустойчивости систем моментных уравнений.Показано, что локальные выражения замыкающих моментов (10), (11)не удовлетворяют их моментным уравнениям (балансовым соотношениям).Вцеляхсогласованиялокальногоибалансовоговыраженийзамыкающих моментов их локальные выражения представлены в следующемвиде:(4 )(4 )M ijkl= RT** P** + mijkl;(22)M ijΩ(4 ) = cΩTΩ Pi j + mijΩ(4 ) .(23)16(4 ) и m Ω(4 ) выполняют функции согласующих добавок.В этих выражениях mijklijИспользуемаяметодика выделения согласующих добавок аналогичнаметодике "регуляризации" 13-моментной системы Грэда.Подстановка (22) и (23) в соответствующие моментные уравненияпозволяет получить уравнения согласующих добавок:(4 ) ∂  mijkl∂t  ρ(4 ) m (4 ) ∂T**  + u ∂  ijkl  + m***α ∂u* + R T ∂ψ *** + ψ −α*α**αρ ∂xα∂xα  ρ ∂x∂xαα 2m (4 ); (24) p*m*τ5 − 3γ Rθ ijkl− τ p+ δ **=−τ p  ρτ p2 hτ p ρτ 4Ω (4 )∂  mij∂t  ρ mijΩ (4 )  m Ω (4 ) ∂u∂T∂*+u + *α+ cΩψ ijα Ω +α∂xα  ρ ∂xαρ ∂xα∂Tij∂ϖ *+ R T*α+ϖα∂xα∂xαmijΩ (4 ) 3 5 − 3γ τ Rθ 5 − 3γ Rθ  ++ δ ij=−22h2hτρτ Ω 4τρτpp  ppijm.