Соколов О.Л., Голод О.С., Войцеховский А.Б. Радиоавтоматика. Письменные лекции (2003), страница 7

Фиксатор по существу является преобразователем дискретных данных в непрерывные, так как он позволяет приближённо решить задачу преобразования импульсного сигнала ε*(t) в непрерывный сигнал εф(t) .45Рис.11.6. К реакции фиксатора на кратковременные импульсыСтруктурная схема импульсного элемента с фиксатором отображает динамические свойства особой части импульсной автоматической системы с учётом коэффициента усиления kи и периода повторения Т (рис.11.7).Рис.11.7.

Структурная схема импульсного элемента с фиксаторомСтруктурная схема импульсной системы с единичной обратной связьюизображена на рис.11.8. Она построена в соответствии с рис.11.7. Формирующий элемент и непрерывная часть системы соединены последовательно и образуют приведённую непрерывную часть системы ПНЧ с передаточной функцией:W ( p) =X ВЫХ ( p)∗E ( p)= WФ ( p)WН ( p) ,(9)где Е*(р) – изображение сигнала ε*(t) в смысле дискретного преобразованияЛапласа.46Рис.11.8. Структурная схема импульсно-непрерывнойавтоматической системыУпрощённая структурная схема импульсно-непрерывной системы,включающая простейший импульсный элемент, ПНЧ и обратную связь, полностью отображает динамические свойства импульсной автоматической системы(рис.11.9).Рис.11.9.

Упрощенная структурная схема импульсно-непрерывной системыТрудности практического порядка заключаются в том, что в системеесть дискретные и непрерывные сигналы, а передаточная функция W(p), каквидно из формул (7) и (8), является дискретно-непрерывной функцией аргумента р. Таблицы дискретно-непрерывного преобразования Лапласа пока не созданы.

В связи с этим на практике широкое применение получил математическийаппарат дискретного преобразования Лапласа и одна из его разновидностей Zпреобразование.Переход к дискретному преобразованию Лапласа применительно крис.11.9 означает, что мы будем находить реакцию на выходе системы не в ви∗де непрерывной функции хвых(t) , а в виде дискретной функции х вых(t). Затем,в случае необходимости, с помощью модифицированного преобразованияможно найти и функцию хвых(t) .Итак, переходим к краткому математическому описанию импульсныхсигналов.Контрольные вопросы1. Каково назначение в импульсных системах радиоавтоматики импульсного элемента ?2.

Что такое статическая характеристика импульсного элемента ?473. Что представляют собой простейший импульсный элемент и формирующий элемент ?4. Как определяется передаточная функция формирующего элемента ?5. Что представляет собой приведенная непрерывная часть импульснойсистемы радиоавтоматики ?12. Понятие о дискретных функциях и разностных уравненияхСигналы в импульсных системах могут быть представлены в виде дискретных функций времени, т. е. функций, значения которых определены толькодля дискретных значений аргумента t=nT. Между этими значениями независимой переменной дискретная функция равна нулю.Дискретную функцию можно образовать из любой непрерывной функции, если принять во внимание только ее дискретные значения в равностоящиедруг от друга моменты времени (рис.12.1).

Эти ординаты называют дискретами.Дискретную функцию будем обозначать символом x (nT), где T-периоддискретности; n – любое целое число. Для того чтобы получить функциюx(nT) по заданной непрерывной функции x(t), в последней необходимо заменить t на nT.Рис.12.1. Непрерывная (a) и дискретная (b) функцииПримеры непрерывных функций и соответствующих им дискретныхфункций приведены ниже.48Непрерывная функцияДискретная функцияx(t)1(t)AtAt2e –a tsinωctx(nT)1(nT)AnTA(nT)2e –a nTsinωcnTЗаметим, что дискретная функция не является однозначной: ей могутсоответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если толькоих ординаты в моменты времени t = nT равны значениям функции x(nT). Дляустранения этой неоднозначности в рассмотрение вводят смещенные дискретные функции, позволяющие «просматривать» процессы внутри периодов дискретности Т.Иногда оказывается удобным перейти к относительному масштабу временинице._ tt=.

При этом интервал между дискретами становится равным едиTКак известно, скорость изменения непрерывной функции определяетсяее первой производной. Скорость изменения дискретной функции x(nT) характеризуется ее первой разностью, деленной на период дискретности Т. Следовательно, аналогом дифференциалов для дискретных функций являютсяразности, а интегралов – суммы.Первая разность, или разность первого порядка, дискретной функцииx(nT) ∆ x(nT) = x(nT+Т) - x(nT) также является дискретной функциейвремени.Вторая разность, или разность второго порядка, определяется как перваяразность от первой разности:∆2 x(nT) = x(nT+Т) - x(nT),или∆2 x(nT) = x(nT+2Т) - 2 x(nT+Т) + x(nT).Разность k – го порядка∆k x(nT) = ∆k-1 x(nT+Т) - ∆k-1x(nT).49Рис.12.2. Дискретная функция (a) и ее первая разность (b)Рассмотрим пример.

Дана дискретная функция x(nT)=AnT (рис.12.2).Ее первая разность ∆ x(nT) = А(nT+Т) – АnT = АТ является единичнойступенчатой дискретной функцией. Вторая и высшие разности этой функцииравны нулю.Часто на практике вычисляют запаздывающую разность, которую легчеполучить техническими средствами:∇x(nT)=x(nT)-x(nT-T)=∆x(nT)e-pT.Известно, что исследование динамики непрерывных систем основано насоставлении и решении дифференциальных уравнений. Динамические процессыв дискретных автоматических системах описываются разностными уравнениями,или уравнениями в конечных разностях. Линейное неоднородное разностноеуравнение с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:cm∆mxвых(nT) + cm-1∆m-1xвых(nT) + … + c1∆xвых(nT) + c0xвых(nT) =b0xвх(nT) + b1∆xвх(nT) + … + bk-1∆k-1xвх(nT) +bk∆kxвх(nT),где хвх(nT) – известная дискретная функция (задающее воздействие); хвых(nT) –дискретная функция, определяемая уравнением (решение); ∆ - разности I – хпорядков; bi и ci – постоянные коэффициенты.Контрольные вопросы1.

Что такое дискретная функция времени ?2. Что является аналогами дифференциалов и интегралов при использовании дискретных функций времени ?3. Чем описываются динамические процессы в дискретных системах радиоавтоматики ?5013. Дискретное преобразование Лапласа и Z – преобразованиеУдобным для решения разностных уравнений является операционныйметод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа, которое представляет собой обобщение обычного преобразования Лапласа на дискретные функции (сигналы).Обычное прямое преобразованиеt− ptX ( p) = L[ x(t )] = ∫ x(t )e dt ,0где х(t) – непрерывная функция – оригинал, X(p) – изображение.(10 )Как известно, импульсный сигнал на выходе простейшего импульсногоэлемента можно представить в виде промодулированной последовательностидельта-функций:x∗(t ) =∞∑ x(nT )δ(t − nT ) .(11)n=0Таким образом, каждая ордината дискретной функции представляет собой δ-функцию, площадь которой определяется функцией Х(nT).

Только в этом∗существует формальное различие между функциями Х (t) и X(nT). Но без негоневозможно ввести понятия, связанные с изображениями дискретных сигналов.Изображение сигнала x∗ (t ) в смысле дискретного преобразования Лапласа определяется по формулеX ∗( p) = D[ x∗(t )] =∞∑ x(nT )en=0− pnT,(12)где x∗ (t ) – оригинал; X ∗ ( p) – изображение.Как видно из этой формулы, дискретное преобразование устанавливаетфункциональную связь между дискретными функциями (сигналами) и их изображениями. Нетрудно заметить аналогию между выражениями (10) и (12). Интегралу с бесконечным пределом соответствует бесконечная сумма, непрерывному аргументу t – дискретный аргумент nT , а непрерывной функции х(t) –дискретная функция х(nT). По существу выражение (12) есть сумма изображений всех δ - функций, входящих в формулу (11).

Под знак суммы необходимоставить соответствующую дискретную функцию х(nT).Очень удобным на практике оказалось Z – преобразование, которое поpTлучается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки z=e :51X ( z) = Z [ x(nT )] =∞∑ x(nT ) z−nn=0,(13)где x(nT) – оригинал; X(z) – изображение в смысле Z- преобразования.Рассмотрим два примера определения изображений дискретных функций.1. Требуется определить изображение единичной ступенчатой дискретной функции x(nT)=1(nT).В соответствии с формулой (11) имеемX ∗ ( p) ==∞− pt − 2 pt − 3 pt− pnT= 1+ e+e+e+ ... =∑1(nT )en=011− e− pT=eepTpT−1;Z-преобразование этой функцииX ( z) =2.Дана экспоненциальная функция x(nT)=eX ∗ ( p) =∞∑n=0eanTX ( z) = Z [eanT ] =e − pnT =zz −eaTz.z −1anT11− e− pT aTe.

Найдем ее изображение :=eepTpT−eaT,.В справочной литературе по автоматике содержатся обширные таблицыдискретного преобразования Лапласа и Z – преобразования. В таблице приведены изображения часто встречающихся функций.52ТаблицаИзображение часто встречающихся функций времениX(t)δ(t )X(nT)δ(nT )δ(nT − kT )X(z)1z− k1p11(nT )zz −1tp2nT( z −1) 2t221p3(nT ) 22e − αt1p+αT 2 z ( z + 1)×2 ( z −1) 2ze− αnTδ(t − kT )1(t )eα t1 − e − αtX(p)1e− kTp1p−ααp ( p + α)eαnT1 − e− αnTT2z −ez− αTαTz −e(1 − e − αt ) z( z −1)( z − e − αT )рТИтак, изображения дискретных функций являются функциями е , а нер, как это имеет место в обычном преобразовании Лапласа. В связи с этим возpTникла необходимость перехода к аргументу z = e , который является периодической функцией частоты.

Поэтому дискретные изображения и частотныеспектры дискретных функций также являются периодическими функциямичастоты с периодом 2π.Контрольные вопросы1. Чем отличается дискретное преобразование Лапласа от обычного преобразования Лапласа ?2. Как получаются Z-изображения функций времени ?3. Что дает разработчику или исследователю автоматических систем использование обычного и дискретного преобразований Лапласа и Zпреобразования ?5314. Передаточные функции импульсных автоматических системСтруктурные представления и передаточные функции составляют основу для инженерных расчетов импульсных автоматических систем. Они позволяют в значительной степени облегчить решение задач исследования.Для исследования динамических свойств системы в первую очередь необходимо определить ее передаточные функции, которые, как известно, устанавливают зависимость между входным воздействием и реакцией системы(звена). Обычно в рассмотрение вводят, как и при исследовании непрерывныхсистем, следующие передаточные функции: передаточную функцию разомкнутой импульсной системы и передаточную функцию ошибки.Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называетсяотношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях:∗X вых ( p)∗.W ( p) =∗E ( p)Аналогично определяется эта передаточная функция в смысле Z – преобразования:W ( z) =X вых ( z )E( z ).Основная задача состоит в том, чтобы определить передаточную функцию W(z) по известной передаточной функции приведенной непрерывной части системы W(p).