Галкин С.В. Матрицы,определители,решение систем (1988)

''! спе~~ж:вкивоо оОРвеоеен"к ,нсеерс! ео енонесо н «Рокке!'о скор!,скОП !кено!конке носкоеское оркене щенное оНюенв ' н ущоео~ о Красного 3ные!4н , с„,эе текнкческое Уннлкц!о мц* , Ц„щн!;в внв С.1нщ»'ин уевео~кнено рекеоееенк ЖП" кок у4еонОе Н!Пн!к! !к!!~ДЕ!1ХГ!ЛИ, УсЩсННв !Н!'!!!~ Уносное носкове йщрщщщщщ (ОЙИИЩ$ .Х~~~ $ ~~\Ч в н~~~!е е '3 :хьгп 1. ААГВВРАИЧВЖИа' СТРУКТУРЫ Сергей Владимирович Гавкни Но енто Л.И.Ыхмшпина Редактор Н.Н.Филимонова Данное учебное пособие нздаетсн в Ооотввтотвии с учебнмч планом. Рассмотрено и одобрено кафедрой прикладной математики 2ы.06.п7г., методичеоиой хомисоней факультета ОТ 29.06,67г.

и учебно-методическим управлением 15.07.87г, Рецензенты: я.ф.-м.н. доц. И.Т.Ноэинова; и.т.н. доц. Р.М,Гоцеридэе О Московское вмсиее техничвсиов учнлише им, Н.Э.Баумана О Няетовщве чгпное поообие предназначено для Отудентов первого курса вевх Опецизльноотей. В нем на основе понятии линейного пространства рассмотрены матрицы, определители, систыхы линейных алгвс нвических УРавнений. ТООРиа систем УРавнвннй пастРоена на базе ыэтода элементарных преобразований матрицм сиотвмы, раосмотрен метод Гаусса рехения оиотем, опиоана обучэшщвя прн рвмма построения общего резания систем.

Оглавление 1. Алгебраические структуры . 3 3.' 'Решение Оистем линейных'элгебрайчйойхшг'урййййййй'...'..".. 23 4. Обучьхщап и контролхгрухщая программа .............. ° .... 33 Заключение ЗаКаэ Г'хХЯ Обвэы 2,25П.Л.(2 УЧ.-И:Л.Л ) Тиран 700 охэ. ;,,;х,щ,хх,хх~ ., ~й~ ьн~ В ШД УХ Х . ° Юма Типография МВТУ. 10700о, Уозива, Б-з, 2-я Ьаумвнсвая, Ь. Алгвб ичвсхимм ст хт амн наэываютея нножества, элементы и подмноивства котоРых удовлотнорлют Оиствме аксиом отнооительно нчпоторых влгебрвичеоких операций. Моано считать, что аксиомы иводят влгебраичеоиие операции, а сами операции на мноиестве долины бмть определены хоррэхтыо, т.е, е результате применения операции К ЗЛЕМеитаы МНОИЕОтеа СНОВа ДОЛИОИ ПОЛУЧатЬСЯ ЭЛЕМЕНТ Этгн О МНОавства.

Н алгебраичвокгм структурам отнооятоя группа, кольцо, поле, линейное пространство и т.д. 1.1. Г па г па по Отановок Понятие группы введено Эваристоы Галуа, ноторый в 163бг. пе- ред дуэлью написал 60 страниц, после чего ого имл вошло я чиоло Первых математиков мира. В зтнх записках решена задача, позтвьлен- ная еще в 1оз0-1ОЫО гг. в Волонсном универоитвте и покаэаха не- возмоинооть решения влгебраичеоких УРавнвний поряДка Ьыщэ Четээр- того в радихвлах.

Галуа ввел попятив группы, на лотаром основана современная алгебра. "Понятия числа, мноявптва, функции и группы является томи храеугольныии мамаями, на которых эиядотая все эдь- нив сопреиепгзй математики", - писал академик П.С.Александров. Операция на иноиестве г г, Отвпящая В СОответотэнв Пэро Ояэ- ментов ог у из г'! элемонт ~.' сх г'г', называется бинарной. Пусть на мноиестве задана бинарная операция О, . Миаиеотво г: называвтвя группой, а бинарная операция называетоя групповой операцией, если операцил ассоциативна, в мнояоотэе Оущестьуот нейтрвлыпьй элемент по данной операции и для иандого элемента еу- щеотвует и мноаостве Обратный.

множество Гг и операции г:г дол- аны удовлетворять Оледуащим акпиомэм: Ц - асооциатипность а г: госхоз> -'-Гг1 ггбгггс' 1 07з,ьг, б', с" Д, с:„Оущеотэогнигие нейтрального злзмглгга гх Осы' ° гц гы 'г? г ь' гг г. 3, - сущеотвование обратнох о опомонта .ггт 6 обхбг г= гд гг' г) Моли бинарнал операция коммутатиьна, г~г б -- 6 сга ( хггх б, с гг'), то группа мазываетоя абелеьой.

ьзли бинарная операция - сложение, то группа называетоя мог11лчм. В модула нейтральный элемеит Наоыьаэхчя иупчи, а Обратный - ггроти- ВОПОЛОИНЫМ, Папрнчгхр, мноиестне хи цолмх чиоел, «7 рационалыьчх чиоьл, I - дейохонтелиэгх 4ИОЕЛ, 0' ХОЫГГЛОЛОНЫХ ЧИООЛ - абЕЛЕЭЫ Мггдухя; ,д - мнокестзо натуральных чисел - ке модуль, так как в нен пез противополовного Г),: , С (без нулк) — абелезы группы по уи нокзнню, Р - не группа.

Г> - абвлез модуль, >-/ У> - абелоза груп па по умножению. Тесоема 1. 1. Обратнмй элемент группы ь) единственен; обладает сволстзьми: б)Е «-З, в) Га Г> «=а, г)Гам й «6 'ГС>ю « ДоказаЛельстэол а) Пусть а Ги Гч -"- два обратн х эленента тогда й'=ГГ'Ом =а ~~Габ Гт-">=ГГ)-«Го,.)чт' с бс -«д-Г б) пусть Г '=~, тогда с'=е"'юз..-. д вм =от ~ а = Г ' в) запись а'б>ю Г означает, что ~-«- обратный элемент Ляя а и что а - обратный дяя ГЗ ', т.в. ГГ).

> =ГЛ; -/ ".Г г) умнокая обе части равенства на ао~ получим токдество б ='юбГб>бГГГ,. ='> ГГтсоб>оГГ>'Ьа ~>=сзб)ГООГб >бГГт =Гзогюа-г Подстановке элементов-чисел Г"Г ~"',,',...,п/- это переход н друго» нГ расстановка: Д '...„т > — "' >~««, сГ„,, сГ ) Число ~ нвзываетоя степенью подстановки. Пруер, Подстановок второй степени - две: - «« « ~ >- .Г >~ Подстановок третьей степени - весть: >- (.« г «~ -)«(у..: ) -'+ =(~««) л«- =(««.й Ь-Ь5«).

Очевидно, что число подствновок степени Гт равно гГЛ Последовательное выполнение подстановок иазовеи умноиенГГеьп в ь ° д* умнокенкю. Доказательство еыполнюз двя степени трн. ОчесГГдпо, что умнокение корректно. Проверим ассоциативность, например, дки .зе, «:, .4> ' у я.„«> («у з«)(«г у)(/г у~~ (Г г з)(«> «~ («у >> так как ж-', % "~МЛ(Лф' у.)" (ГГ:,И«" Л-У'>Ггй=ж ОЧЕВИДНО, ЧтО Л« - НвйтРаЛЬНЫН Зяемспт«ь.

~ =.,Гу, т.в, > "~=Х>, ГК 3 "«1 * я 'У' '5 " Эз йГалоги Гно-ф = ~т, '. лб . -~'« - Л«. Таким образом, подстановки степени три образуют группу. Заметим, дкя того, чтобы получить обратную подстановку н подотанозке ( «,' ''' 'т > , надо переставить строчки (""» сГ«" сГп) затеи Ф«оГг„,й пеРеставить столбщы так, чтобы оГ...,сГ,т Располагалнсь в поРЯДке возрастания: (Гл 4 Напримвр, Х, (уу «) - (Г Г Л~ = (у ' «,) «Г« -«ГУГ «г У В подстановке числа Г ГГ составляют инверсию, осли ь т;, ноГ стоит в подстановке дзльюе, чем ~' . Подстановка, в которой четное число инверсия, четна, нечетное - ГГечетнв. ПоГееп, В подстановке(Г«,'.> ~~ Г) цифра В составляет четыре инвер- сии, 4 - три, 3 - дзе, 2 — одну, итого десять инверсий, следова- тельно, подстзновиа четна. 1.2. Линеяное п ст ство Линеиное ленте Гсв) и Ст НСтзо ПРедставляет собой алгебраи- ческую структуру, на которая звокнтся дзе операции: слоненке эле- ментов ~зектсрое) н умнонение их на действительные или комплекс- ные числа.

В зависимости от того, на какие числа разрешается умно- кать, различают действительные или комплексные линепные прос ГреГГ- стза. Линеяное пространство продставляет собой абелев модуль, т.с. коыиутатиьную группу по озеленив. Операция слокония удовлетворяет следуюянм аксиомам: Гх оч> У х~Го г>; Л л Г-.ч>=Г--г>лх=а> .ж б) =ГР х. =,х-; ~.„.х оГ =~~ .х-, Уннокение эяенвнтов ~ на числа удовлетворяет аксиоман: Л .- ассоциативность сГГ«> х-> Гог.у> х.. б , - существование единицы У .х = .х..« = „~-; обе опарзции удовлетворяют аксиоман дистрибутивности; ГхГппч> <,",г Г«~; с., Г ку>>,л" =оГ,х'"ю'.х.

Аксиомы Е -~ - аксиомы линейного пространства, Примеры лйнеййьм пространств: 1) Г> -вектор„ мнокестэо векторов, лекзщих на плоскости ~свободных векторов)„ на примоя, в физическом пространстве; 2) lр ' ннокества всех наборов ~т действительных чи- сел, если операции над наборамк .х' Гл., Х .. .х > ~= Г- определены так л. у=Г«г«ц, х. ф,...,~" ф,>, оГ,х.

Голл),сГх„„, оГ.х ) ГГ>= ГГ) Г)„„Г)>, х..Г,, л, л,,»; 3) мнокество С)об>непрерйзйнх фуйкций, заданных Ыв'отрезке(Г) б) Гпроверьте это, используя теоремы о непрарывности функций); 4) мнокество многочленов степени не выме ~т Гпроверьте). 1.Э, Линекная зависимость и независимость базис зме ность Линекной ксмбина~ иеп вектороз ГЛ« „, .Х. Лнизкного пространства казызается векторЛ,.ю чд х р " 1 ,х ( Л , ,Л - числа). Ч «'' ГГ Лнноиная комбинация называется .Ривиальной, если она о кулек)э улевмьи коэд нчионтаии, и нетривиальной, если хотя бм один из коэфйицк- о ~ЙО М У " Р" "У" Я< Пнин коноинация." -)у((', 'Л -С,л ..'.М, .Х-, О Ф.(, =(), ь, () ) б) Сигтсма вэктороз называется линейно эависймой ЛЙ, воли оущеот', ьуэт их нулевая нетривиахьная комбинация, т.е.

.(хьг (.(, л,ь.....й х = л К Л, с() ьль Р . мжи~ьм~Фш " Р Б" .*',, его иои)(о представить в аиде линейной комбинации этих векторов. хьмьь ~ ° " б" * к" но о( . иоинм, необходимо и досТаточно, чтобм одйн из них линейно эырэлался через остальные. ДокаэатЛльгтво. 1, Пусть .х ,„ , .х; — ЛЗ, тогда в их ли- нейной комбинации, равной нулю ('.ь .л' и ~ 3 .х и, ° Н .ъ:. = ()) какой-либо иэ коэбфицнентов, например й , отличен от нуля, Тогда ы,- — 'ь(.ху -" — -'ьь)л-Х' ..- — а-'-',л. ,Л -.. Л н „~ ' 1 З, м-х Л ((~ ° д "м l т.е. д.„линейно выранаетоя через остальные; З. Пусть .х; - пикейно выраиается через остальные: ~ь'ь 'Льни тогда гчт ---у и () и существует нетривимьйая нулевая линейнак хомбинация векторов, т,о. векторы Лз.