Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005), страница 9

{Ь N •ве. iИЧИВ это число наполучим другое рациональное число а"правиласравнеНИ}lчто для любого номеравещественныхnа1 а2... CL i ;чисеЛfегко+ _1_.ОПустановить,справедливы неравенстваао, CL а2 ... (Ь N ~ CL ~ ао, а! а2 ... (Ь N1+ w'HepafieHcTfia (2.5) ОЗffа'(ают,. ,(то веществе1-t1-tое ,{шлоCL .ИfiЛ'Ю­'Че1-tо MeJfCJy дву.мл рацIL01-tалъ1-tыlмии 'Числа.ми, ршmостъ .М; JfCJy1'J);оторыlмии равна - . При это.М ?Ш.Мi р n .MOJfC1-tО в.·!лтъ Л'юбml.1) СiюiiСТi О Т( 'iШ3ИТИВНОСТИ 3Нiiюt=с слеi уетчисел.'по а=с, сразу Вi,ттеiiаеiТi'еРЖДiiющее, ЧТО изиз правила сраВiiения ве= Ь и ЬHeCTBeiiHblXffCE.'fПо <ffже\f,рационаЛf,Нff'для любf 'Г, fВfДЛИВff HepaBeНfTBff1-<Еlllr1ЧИСfЛ.не- - ;?10 nВ Сс М' 'м ДfЛf'прев, 'fХОД,l ffИХканечнага числа намеравилиЕ.

ДЛЯ всех1n:tKeчислатого nОЛОJfCителъ1-tогоffсла (ЬО,1i)ffТf'Лf,Нf1Поэтому ли [fЬ дляn10 n1~ Есправедливатребавалась дm.азюъ.(LСf8ДУНlще\fi уmвеРJfCде1-tию:и для любого наnергд взя-рачио1-tаю,1-tогочисла'Числа 0:1 и 0:2 таnие. что 0:1(Ll(L .•. ,(LЗ •••'!·.fe\·a n,KflKOBO бы ни БЫШfHflTYастальных намеравдля любого веществе1-t1-tого 'Числа0:2 Е.Неравенстваюсправедлива неравенстваHepaBeffcTBa 10 n. '!ТаТаким, мы прихаДffрачио1-tаю,1-tъtiпо. юО, най lет(я ЛИfffЬ конечн, ,е чисшfрациональное чисшf Еральныхiiзяrrl,()?1''PfiffTOPOrO',"fИf "fЯЧfff Лff1-tаUi/утся(LiiBa~ 0:2.

nрИЧf.Мпазво f,lЮТ утверждать. что. рацианальнае(Ьn ffРИ{Шlfжает вещеСТllеннае числас тач-(L1насты" да -n. На ппакт:vн.е всегд· а имеют д. е.Ю с пf ,и{шиженным'10...значеНflе\f llеществешюга ЧlfСfа, замеflЯЯ его. ра!lаш,ны'lИС-лам с требуемай степенью тачнасти.5. Множества вещественных чисел, ограниченныеCllPP"Y или lИЗУ. В эта м пункте мы рассматрим праизвальнае мнаж:ества ве нественных чисе. , садерж:ащее хаПl бы аднаlfСЮ 1 . Эта \шажеСТlЮ мыдем абазна'lЮf СИМlюлам {1;}.Отдельные числа.

вхадящие в састав мнажества, будем на:~ЫBaTЬэле.ft;tfюnа.МИ этага мнажестваОnределенuе 1. AI1-tоJfCесmво веществе1-t1-tъt:r; 'Чисел {х.} на.·lъtвается о га 1-t и ч е 1-t 1-t Ъ! .ft;tв е 1; у (с 1-t Иу). еслиСУЩfствУfт таnог beffieCmbe1-t1-tОf 'Число l'vl ('Число, что naJfCilъtu элеме1-tт х M1-tОJfCеСmва {х} удовлетво{ яет неравенству1; ~(1;rn).этам числа М (ч lСЮ тn) называется ве{ 1;неи 1-tИJfC1-tеu) гра1-tЬЮ мнажества {:r;}.Канечна.fюбае аграниченнае сверху мнажества {:r;} имеетбескане'ша \шаfа Bep1:Нf'раней.са\ЮМfе.

еСJШ вещеСТllен­нае числа l'vl - веРХНШl грань мнаж:ества х, та любае вещеcTlleHHae lfСЮ l'vl*, бо f,шее lfCfa l'vl, так 'fie Яlшяется веР1:нейгранью мнажества {:r;}. Ана.югичнае :~амечание малсна сде.fать ватнашении нилених граней аграниченнага СНИЗl мнажества {1;}.1) Такое 'iHOAieCTBO обf.тчно называfОТ н,еnусmЪfJvt.) ОтмеТИ'i ЧТО ПОfштие 'iHOAieCTBa и его эле,. ен а ОТНОСИТСЯным ПОН}СТТШМСН()СК; 2) Hif С.

20).начаЛh-fZfЩEf ..ТВEffЮT,'f!, наПРf<М<Р. МНО>,B'fffeCTf;eHн ,fX чис<л ограfШЧ"cf;epxyВ<Р',:ней г\аfШ М T,'f!Oг" множества можно в :(fть любое Н<ОТРИЦ,)Т<ЛЬН<" в' [нественН<".\iножеСТf;f\ ВС<Х Ц<Лf,'по.ю" f<Т<Лf,НЫХн;, л,2.3"огр,шичено сни:укачестве ни:tкней гр,ши этого множ:естк,''''Жf Ю f;:~ЯТЬ люб, ,е f;ещ' С'! в' fшоенераненстну тn ~тn..ювл, [в' 'ряющ'"1.ECTecTf;eHHo. fЮЗf [<кае! fЮffрОС о сущеСТfЮf;аf fШ '}-шименъшеии:~ верхних гранеП ограниченного сверху множества и наибою,­из нилених граней ограниченного СНИЗf множества.weI'lОпределениеНаиhliНЪUЮ.я из вс!2.вер! ?!и:т:ниченного ,веР1;У ht1-tО;JfCе,mеа {х} на.;ыает,.явр х н ег р а н ъu,.я , UhlвОЛОhl х = sup{ х}Наи60лъwа.яхMHO;JfCeCmeauзэтого ht1-tО;JfCеСmеа10oi 'означшт­в,е1; HU;JfCHU1; гранеи ог{ЮнU·t.енного 'ни.;ут о ч н оuн и ;JfC нэтого ht1-tО;JfCеimеа и обо.;на ·!Летс.я 'UhlвОЛОhl ;f2U1).назыlштсяяОпределениеогра-т о ч н о uмолшосформулироватьиг р а н ъu10= il1f{х} 2).поДРУГОМ;,аименно:Чuсло(ЧUСЛО;f ) на.; .!вштс.яточно'!i в! р!неи (точноuHи;JfCHeu) г{ анъ1О ограни ·t.енного (вер1;У (снuзу) MHO;JfCeCmea {х}.iСЛU вЫnОЛНiН!.! следУ1Оf!/,'U! два требовШJ-Ш.я: 1) nа;JfCдъиi элеht1-tО;JfCiСmеаудовлетворшт неравгнству~ х;?hleHm;f), 2) ffaKOBO jiы ни 6ыоo веще,твенное чuсло х' hlенъwее х(болъшее :.!.:.) нш!iдiтс.я :r;от.я 6ы один ЭЛihlент х ht1-tО;JfCеСmеа{ 1;}, у iовлетвор.я1ОЩUU неравен,тву х1;' (хх').'~ этом опреде.fеfШИ требоваН«е ) означает, что ·fИСЛО Х (Чf<С­ЛО ;f) (ШЛ(fется однои из верхних (нижних) граней, а требова­Н«е 2) ГОfЮрf<'i о TO>'f, '!ТО эта раю, ЯВ.шется НШUhlеН1.шеU наи­и уменьшена (уве.шчена) быть не может.ю,ственныхMHo",ec'fBaчточисе.HffЬ,существует!ТОчислоне[;се:··:точна(}отрицатеЛf,НЫХверхня(}грань-f;ещечисюnринадле;JfCuт Уffд.инному ht1-tО­;JfCiCmey.

Очевидно также, что у множества всех целых полож f'fеш,iгрань :.!.:.1f<сел, 2,. 3, ... существует то'шая·"няякоторая nрuнадле;JfCит уnа.ю.ННОhlУ ht1-tО;JfCеСmеу[. т. е. являетCf} наимеНЪWUhl элементОhl этого множ:ества). Та­ким образом, точная верхня(} (точна(} ниж:ня(}) грань мнO:tкеcTf;a>.южетf!Ю!ПРfшадле",аТf.,такинеffрЮfадлежагэтомумножеству.1) sup -первые три БУКi'Ы латинского СЛОi,а suрrешuш (<<CYiipeMYM»)которое переводится "ак,<наив"тсшее".2) inf - первы,- три б, ю,ы Лi\тИНСЮiГО слов" iпfiШllШ (<<ию!nrм, М»), Ю\ТО­роеiieP'-iЮДИТС}[ кл,к«Нi\Инизшее>,ffCE.'fСущzСТВ()В{Шffе ужеСТfШ Т'f'ШОЙ вzр>~ней (ТОЧНifР,Шff'fеННi;iCf,e\xyШ·i<неЙ гра:ш не является ,fч,ви шым И Tpzбуzт д' ,ка :,iТ,лы тваTe()pZMY.'J-l()fntУю<.• iiii;ж;;сrnно fii7ч;сrnfii ины! 'Ч!!'се/{ сод;р­эле.·i7енrn'/),огuшн,!!!t.еиогуще, твует веще, твенное Ч'UСЛОто"lНОЙоi(точно'!! H'UJfCH,а за т е лс т в о.С! еР1;Ц(Ч'UГЛО:.f) }i'omol ое являет-'!!)граны, этого ht'J-lОJfC;Сmва.ы остановимся лишь на ДОf<аза-Te.fЬcTBe существования точноП верхней грани Уfюбого ограни­чеННОiО cf,epxy MHo'i<ec'fBa, ffбо существоваНifе точной НИ·i<неЙграни у любого ограниченного снизу множества доказываетсясовершенно аналогично.Итю., пусть MHo,i<ecTBo {1;} ограничеfЮ cf,epxy,ет такоечисюBefIIecTBeHHoeст ,а {1;} удо шеТfЮРЯ8fl'vl,.

е. сущеСТf'что ка:tкдып Э.fемент :т: множе­[еравенству~ М.J\IOrYTпредставиться два Сfучая:(>.6)10.Среди элементов множества {х} есть 1;отя 6ъt одно неОТРИf щтельное вещественноечисло. )0. Все элементы множества ЯВЛЯЮТСil отрицате.fЬНЫМИвещеСТf,енными ffСЛЮ,1 . Эти СJIУЧaffрасС'.ЮТРffотдеЛf.но.1о. Рассмотрим лишь неотрицате.fЬные веfIIественные числа.входящие в состав множ:естваКалсдое из этих чисел предcTaf,i' в виде беСКОffеЧfЮЙ десяти'ШОЙ дроби и рассмотрим це­J.лые части этих десятичных дробей.

В СИ.fУ.6)все цe.fЫe ча­сти не frpевосходят ЧffСfа М, а по.fТО\" найдется на:uБОЛ'i,'шая изr.елых частей. которую мы обозначим через Ха. Сохраним среДff неотт'" щтеш.нычасть равначисе.MHo",ec'fBa {х} те,которыи отбросим все oCTa.fЬHыe ЧИСfа.це.fаясохранен­ных чисел рассмотрим первые деСilтичные ЗНaf<И после заПilТОЙ.НаиБОЛЫIIИЙ из этихшаков обозначим через Хl. Сохраним среДff HeoTpff щтельнычисел MHo",ec'fBa {х} те,которыцелаячасть равна Ха а первый десятичныП знак равен Хl и отбросимвсе остальные ЧИСfа. У сохраненных чисел рассмотрим вторыедесяти·шые знаки fюсле ЗafrятоЙ.affбольший ffЗ fТИХ знаКОf,обошачим через ,1'2, Продошсая ана.югичные рассуждения да­лее,мыfюслеДОf,ател ,fЮо rpеде.ШfдеСЯ'f ffчныеЗНaf<Hef<oTo-рого вещественного числа Х:=Ха·!l Х 2...ДОf<аже\f, 'по это вещеСТf,енноеffСЛО ХЯfшяется то шойверхней гранью множ:ества {х}.этого достаточно дока:ать,IBa утвеРJfCден'Uя: 1) что f<аждый элемент х множества {1;} удовлеТВОРilет неравенству :т: ~что, каково бы ни быю вещественное число :r;' .

мень неенайдеТСil хотя бы один элемент :т:\шожеСТf,а {1;}, дов.fеТВОРЯЮЩffЙ Hepaf,eHCTf'\ х1;'.[Z[ЩEf ..ТВEf[Юr'''[i,лаНО"Та[<Tr; любое1; и! м[ [;nrnjJ!f/u/!rne/!/blrХ,crr!'CTBi'у[овл<творяет неравенству~ Х Пустьлюбое 'J-lеornРU!!ПТJJе/!/Ь'J-lое число, в:.:одяще!,!fжестВf'Предположим что это число :Г нf удовлетворяет HepaBeНf ТВУ:Г ~ Х Тог[!, :Г>Хи= Ха, ... ,такой" что Ха!ра[шеНffЯ Нi!йдется Нfc\!ep 1.:>=1;k-1Xk-1, Х'"Xk. Но послед­ние соотношени}} противоречат тому, что в качестве ii'k беретс}}н аб о лш и й[lз деся'!,ншых знаКО[l(k - 1)у которых це.!ая часть и первыеСООТ[lетствеНfЮ рав![ы Ха, Хтех 'iлемеНТО[l Х,знаков пос!е заш}той, ....

Xk-1'Докюкем теперь утвержде1-tие=. Пусть х'произво!Ьное вещественное число. .. -1;~. 1;~ Х;1) меньшее Х.Тогда в си!у прави!а сра шен !я вещест ,енных '!исе.nномер, = -Ха,,=Xj •Ха\!НожеСТ[lаn.'"7,)Хn ·,мы строи. !и так. что среди элементовнайдется ч[lсю Х ={1;}часть и первые1;.,= Хn-... , Х п -11;1С другой стороны. ЧИС1О[lC!aнайд8'! сятакой, чтоХа.1;Х2 ... 1;n ... ,:tKe"дес}}тичных знаков у которого те[е!аячто и уе..8)i!'i'-l,Сопостав.

!}lЯныхИ[lсел!1ОВ СИ.!у правила сравнения ве!!!ествен-'!то Х ![lM.,ким обра:~ом. для с !учая1о1;. Утверж,}е1-tие2)доnшю1-tо. Та-су !!ествование точной верхней гранидоказано.Ана.1ОГИЧНО доказывается су!!!ествование точной верх­20.не[lгрarшства [ми.ивовторо\!слу'!ае,1<огдавсеfле.ме1-tтъt.М1-tоже­,я,вл,я,lОтс,я, отрицат!л'Ь1-tъt.ми в!щ!ств!1-t1-tыlмии 'Числа­этом с!учае все эле\!енты мно",ес'!ва {Х} мы представимв виде отрицате.!ЬНЫХ бесконечных десятичных дробей.

Обозна'1ерез Ха 1-tаиме1-t'ЬWУlО [lз це!ы'1астейдробей: '1еpe:~ Х1-1-tаИ.ме1-t'Ь '!iИ'Й и! первых десятичных знаков тех из этихДРО{iей, у которыхWИ'Й [fЗBTOP!i'[ела}} часть [)авна Ха: через Х2деСЯ'!fi 'шых знаКО[l тех [lзцела}} часть равна-дробей,1-tаиме1-t'Ь-KOTOP!i'а первый десятичный знак равенТаким путем мы ощеделим отри щтельное вещественное чис !оХ=-Ха,Х;В полноП аналогии со случаем 10 доказывается.