Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005), страница 6

!нойУ - р(х) опредеш(ющей зако(ия \iатериаль~ной точки по оси Оу. то задача сводится к разысканию по данной(щии {(х та«ой(щии р(х), ffjюиз(юД!(а\( р' хравна f(x).Отвлекаясь от кою<реТНОГ'i физичеСЮiГО смысла tl,iНКЦИЙи р(х), мы придем к математическим понятиям nервоо jр!iЗ~!!Ои1lеоnределе1l!fого 'u! {mеграла. Первообраз! <ои фУ1l1i:'ЦU\! Г (хf(:T)'но,зыl!iеп;;ра.в'Нп f (х) .ОчеВИДШimожа.л <l!у'Нr,;'Цuл l"(Х), nроuзвод'Н!iЛ р'(х) r,;on ороичт'i если функция р(хявляется первообразнойгде С - любая посто~хибо про~янная, та«же Я(iляеТС\t ffерtюобразtюй фуt tкцифункции ЛХ), то и функция р(:г)+изводная постоянной С равна нулю).оскно"'[ibI'[ш<а:~е' [Ъ, 'Л ,) ДВ'Оюйтой(I"ш<ции .f(:T)Не' iЮСТОЯНН"KiiM ')БIН:~()\i,если фунющя F(:T) является 'ЩН'iЙ и' перв ю(jрашых функ­ЦИ.f (:Г),JI,'!обая nеи ;!)обра8if(],Я ф' [кцивидF(,T) с, ГД( СШii тоянная.НС"· ruрн(юб/ю,8'НЫ Т о )'НоЛ и1lазываеmся нГ'оnреаСЛС?l.1lЪJМ U?Jm, грало ',1"OH(H;yrl,H'!JCm,j,'Ци7) fи обо,!'Начасmся символо,м,.fСле ювательно.

если 1 (х)ЦИ .f(x), тоJ.J .fdx,одна из первообразных функ­-х iJX =+ С.F(xВерне\iСЯ к ре[ [е[ ию поставленной в[лпе фИЗiiческой зада­чи. Интересующий нас закон движения точки, имеющей мгно­венную скоростьF(x -гдеопределяется функцией у =.f(x), iTOУа = 1 (ха)первообразная фу[[кциF(:T)-+ С,[еко­торая постоянная. Для определения постоянной С воспользуем-[eKOTOpajiна'iальш,'\юме[откуда С = Уа -F(xa).сующ iЙ нас зако[движе[ШjiУ =(х), а С[;реме[х-Ха,т.е.Iаким образом, интере-"еет видУа -F(x)F(xa).Рассмотрим нек fТopыe (Iшзические и математические приме­ры.1) Пусть м; новенная скорость материальной точки, движу­щейся по оси Оу, имеет вид .f (х) = сон . Требуется найти закондви}кеНИji этой то' [<и, еслина'iальш,'MO\ieHTвре\iени х=хаточка занимает положение У = Уа на оси Оу. Из таблицы про из­вод[яс[ПО од[ [, JЙ из iiервообразш,' фу[ [кци .f (х)cos хявляется функция Р"(х) =cil1X.+Следовательно, искомый;акондвижения имеет видsil1 х С.Из условия У = Уа при х = ха нахо.

[им С = УаО[<ОН'iюел ,[ю2)НайтиiЮЛУЧ1---2l+хiMза[<ония+ Уа -У =sil1dx.Из таБЛИii.Ы произво шых ясно, что од­.f(x)ной из первообразныхF(x)- sil1 Ха, т. е.видеsil1xa.1= - -..-2 яв.шется ([·'нкция1+,= arctgx. Следовательно.J1 1х" dx = arctg х+ С.в предыдущем параграфе мы выписали табли iY производ­ных элементарных фУНКiiИЙ. Учитывая, что каж [ая формулаЗА.IАР'(:[;) =.1(:[;)М.\.ШЭI ой'о )л;етств'\ ,}:[;IЮ.

I\Ч 'Мнеопред' ленных инт'1Т;.'х1)1+ С.~ = logeхSiIlX(о: ~+С+Г aXdx.'.Ш д.' "'щуюI р, лов=- + С.log" а,Ix = - cos х +sin х + С.J cos х dx =г= tgxd;+ С.х70.J' .d;80. /90.=-юн~=J' ~.,1х"ctg :[;+ С.avcsinx= arcti.'..,+ С.х+таблица ;Р.'есте с IIравила\':~. ;есь не приво штся) представляет;тегрирова; ия (ю)торыесобой важный вычисли­тельный аппарат той части математичес;<ог,) анализа, юлоруюобычно на:~ывают инmегр!! ·iilJJ-tbl,М.

uС'ч.u('леJ-tuе,м..Од;;а;<о ДЛiI в;,;числеНИiI м;югих неопределе; ;ых интегралов. iTOrO аппарата оказывается недостаточно. IJозникает проблемао существова;IIервообразной и ;еопределенного интеграла}у произвольной функции.1 (х),В след.'IIараграфеоб;тегрирова;Фу;;кципроблему.3дес;, жесраз'непрерывной в каж.;ОЙ точке х.укаске\;<отор ,;йIЮД:ОД к задачеIЮЗ;Ю шет решитьО'! "'е'! ИМ, 'Л i ' cyтт~eCТB'в каЖд'iЙ точ;<е х функции например. у =;е теры ;;;ыеCOSх 2 ,перв,юбраз­ные которых существуют, но не могут быть представлены с по­МОЩЫ i ';<оне-шогоIислаоперациСЛОiке;ия,;;ьпита;ия,ум;ю­жения, ;еления и образования сложных функций от простейшихэле\iентар;;ых фу;;кциЙ.

IIеречисленн;,;х ;а\iИ в . 2 § 2.§ 4,Проб, х('мы, ВОЗЕiикающие при решении задачио1.Пусть функ шяВЕ,iчислении пути.1 (х)представляет собой скорость движе-ия ,,'атериал;,;юй то'оситать, что все :~начения фУНКI щи.1ПР')СТО'i'" б\дем С'IИнеотрю i.ательны. Требуетсяв ,[чи, лить"ifК[е[[ipeMe[от Х-Для р<шения'П)Кш[ipeMe[= :го(],[ый матер"до:гюй ТО' [<ОЙ :~iJ. пр )Me;'fj\~=шчи) ра С1)бьем раССМiJтрива<мый пр )межу~мс л ,[еff!)()\1<<:г,}КУЛ<И,OГIH'иче[[ы<мен <НТiJМИ=Ь.

Естеств<нно ,читать, что накс,;,кдом ff!)()\1< }К.' Tf<e:Г/'-l до :Tk (К )!)()СТЬi'<н)[ется малоПоэтом.' приближенно эг скорость можно считать на указан~:TIном промежутке постоянной и равной. например,сг[ае\iатериальной ТО'Xk - Xk-1, приближенно равен j(Xk)[ipe\ я от а дО Ь. прибл=Ес'[ ественно ожидать,Xk[то приВ такомxk, а путь B~, прой [eH~ю pa[ie[[ый точю)й заков времениf(Xk)'за [iJ!емя ~ Xj, -\iеш,птении [ice>: проме;,к\т­мы будем получать все более и более точноезначение пути H~.

Точш)е значение пути B~ мы получим, перейдяв суммек пре. [елу при стремлении всехХ k к нулю при.6) будет неограНИ'fен~но во :растать). у потребляя символ пре. [.ела, мы можем записать1.6)этом. f<онешо. число слагаемых в суммеслед.' !i'fffУЮ <Iюрмулу:B~ -)~Xэтом [юпрос о том.+ f(X'}~X2 + ... +xn)~xn].[то мы fЮНИ\iаем под пределом(.[аПИСaf[­ной суммы. конечно, требует выяснения. Тем самым мы еще разубеждае\ ся[е\iбхоДf., \юсти углуб.fе[ ияразвития по[ fЯтияпре. [ела. В математике пределу1. называетсяfЩИfff(x)И обознача~ется символомь.1 f(x) dx.ха(1.6)Рш.1.3ников,наоснованиями.

И[рис. 1.3суммукоторыхСЛО[iа\'И, эта С'служат\iaступенчатой фигурыffреДСТafiЛяет С\iб\iЙплощадейотрезки\Xkрав[[а П.шнт~адипрямоуголь­а высотамиюйэта ступенчатая фигура на чер­теже i)бведена жирш)й линией. Естественно ожидать, что пристремлении к нулю длин всех отре:ков ~ffеН'fЮ ойбудет стре\iИТЬСЯXkплощадь ука :аннойfшощади затПТР"\ОВaf[-1) Свя,ь ,той :~а1\ачи с :~а1\ачей, рассмотренной в пре1\Ы1\ущем парагра<] е,БУ1\ет выяснена ниже.ЗА.IАнртеске i<рШЮЛ- .f (:г)iеЙiЮЙш СУ! ре:~ю(],до Ьгуру часто Н{):~ывают t,рuнrнш-tеu'Нпi i п!рmОПрiДf!!ню!!!т!гр,!'р,BiHп.

н)щ,)диной трашшIИ.ibI!он! 'ШО,ш\)ирасс)ждеiияюсятпредВ! ТНТ-тельный характер.частностш требует выяснения само ПСiНя~тие площади криволинейной трапеции и вообще площа. ш ШIOС~кой фигуры.2 . .~Лы видим, что с понятием опре. iеленно, о интеграла тесноСВ)iзаю,!пути идвеiiаЖiiыеieci<.a)iзадачи:фш уры.Вi,iчис.леНИ)i.fieiоВi,iчис.лениисвязи с этим является важным вопрос о способахiTerpaia.определенного)бозначим через Р"(х) опре~дезада'iаеометрическая задача о вычислении площади плоскойуiЫЙiтеграл от фУi iКЦИв пре iелах от а до х, т. е.ПО.южим.f(x)dx.агео\ ет! ·ическоЙ точки зре~Ох х+д.хания, этот инте, рал равен пло Ha~ди i<РШЮЛГИ!.iеЙiЮЙ ТРЮiецискащей iЮД графикомЬх1.4- .f(x) [а отрезке от а до х.На рис.

1.4 эта трапеция обве [ена жирной чертой. Используя Ha~ГЛ)iДiiые геомеТРИ'iеСi<ие сообраскеi ия, покаскем, iTO Вiiедеi [а)}функция F(x) является одной из первообразных функции .f(x) .. е. убеДЮ,iСЯ то\), iTO F'(x - .f(x). !усть L::lx - [екотороеприращение ар, умента х.L::l х) _pi(X))чевидно. разность[а П.шнт~ади заi iТРИХОiiаюн)й[а.4«узю)й»КРИВО.Шj~нейной трапеi щи. Площа.

i.ЬJТОЙ трапеции при малом L::l х малоотличается от площади .f(x)L::lx прямо' ольника с основаниемL::l х и высотой (х). Отсюда ясно. что при малом L::l хотношение.f+ ~x)Р(хР(х)-1.81~xмало отличается от высоты.fника.IaK IШi< предел при L::l хF'(x)=.!YKa:~aHHOГO выше прямоуголь~дроби (1.8) равен производнойто F'Итак, Фунющя pi(X) является о !ной изпе!)Вооб!)азных (I»)ю<ции .f(x). Следоватеъю) любая пе!)В(юб­ра шая Ф (х) функции .f (х) имеет виФ(:г).+С =1 (х)лх)а2В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьIdx+ С.1.9)Ш~}ивы п~}<с1i( }jj,iЯCНcCcP~}, не дл~}Ш>:фУf [кЯ В <праведшвс)(ти Ф iрМУЛЫC,iJ\IbIJ\I}ШfШ~}(1.9)неfтерывной в[сН ,',,'}ке.f(:T) Те".!у( танов.ш:НИi: форму.lы9) р( fff,ieT проб.ш:J\IУ <у н(ство[сНи fumределеННОf() ннт( fР,iла)непрерывной в каждой точке х фУНКllИИ I(x).Установим теперь с помощью тоьй же формулыJ лх) dxмежду опре fеленным интеграломи любой первообаразной Ф(х) функции Лх). Полагая в формуле=(1.9) связь=(1.9) последовате.fЬНС' ха и хЬ и (читывая с,чевидное из наглядныхгеометрических соображений равенствоа=./.f(x)О.аполучимФ(а)аdx+C -- ./Поэтому./Лх) dx + С.Ф(I,С,ааь./Ф(I,dx --Ф(а(1.10)аФормула(1.10) является одной из основных формул интеГР<LIЬ-ного исчисления и называется фор.мулоi1 Н'Ыоmо1-tа-Леi1БJ-tu'Ца 1).Эта формула сводит вопрос о вычислении опре.

fеленного ин­}'еграла к вопрос( о вьписленнf}ервообраЗfЮ(fнеопредс!­ленного интеГР<Llа). Обоснование формулы llьютона-ЛейБНИllа~шл~}етсяоднойизва)}.;},}Хзада'}1fате".fатнчеСf<ОГОанализа.Для приближенного вычисления опре. fеленных интегралов существ(ет ряд спосо!'н!в, простеЙШIН из которых с!снован на за­мене этого интеграла суммой(1.9) дан,' i'оз".южность(1.6). Эти способы и СООТНОfffениею ЕЬГ}И неопреде.fеff­ные интегралы, и, в частности, позволяют вычислить первооб-разн(ю любой !С'ПРС'!Н,ШfЮЙкаждой то'}ке х)В качестве примера вычислим площадь В1между графиком фУНКllИИ у -.f(x).заключеннуюsin:J: на отрезке от О доiи11осью От (рис.12 .

в силу сказанного выше В1Jsinxdx.о1) ГОТФРИД Вильгельм Лейбниц - немецкий ФилосоФ и математик (1646716).2) В!.IЧ!!!· Н'ИЮ' ЭТОЙ площади сре !СТВ !·с.!!! элес.!! И'!ар!юi'! С.!атеС.!атики пр!!­ВОДИТ к большим трудностям.iИТЕЛЬНl81iойи:~ ш рв ю{)р;!(:г)-=совJsi!!IiЗАI\ШЧАi=те, по=(d!В111tШ~ТСЯПОЛУ'iИМо)в п)сов О)Вычислим теиерь илощадь 82 фигуры, отсекаеllЮЙ от пара­болы у - х 2 ПрЯllюй, проходящей через !Ее точки 1\11 (а, а 2 ) и1\12 (Ь,этой иараболы (рис. 1.6) ) . .искомая площадь 82 рав­на разности площадей Щ ЯМШПIне 'шой трапеllИИ А1\![11\![2В и заштри ,:ова!82(ь2-юн на+ 0.2)(ь 2'iepTe ,};еIа)-.2кривй tшейной трariецнх dx -(ь 2+ 0.2)(ь 2е.а)аy~ОВ(Ь,О)nРисРис1.5§ 5.х1.6Заключительные замечаниядюl,фереЮlИальное и интегральное исчисления составлЯtОТосновуматематическогоанализа,соз, щниекоторогоявляетсяОДilИс' из i'еличаt'tшиr: достижеtlИЙ 'iеловечесt{ого разусtа.

lЗЕе­tение в математику ионятий переменной величины и фУНКllЛИпозволилоотп{'шення отделыi,iXразрозненны:!ческих и геометрических задач к соз, tанию общих мето, юв решеlИ{i )ти:! зада'i. РаЗЕИiне дюlэфереt llиа,югоюtтегралыюtоисчислений оказало огромное влияние на общий прогресс наукии техники.Дальнейший прогресс науки и техники тесно свя сан с мате­атизацнен1)Э" а3"tаши:!fiредставленнприроде,сраЗi итнес'ю-шч" С} е 'СТВ"МИ э", ",е!!Т"]JН"Й (r'{r'аr'lв'емаотинк. Иэ.б)"I"a реш,'н" В"JlИ-КИ,' др,'внегр,'че' "И", УЧ"НЬН' Архи",е,'ю,2*о",<-1, ,КJaвленн в ii<-1Teii<-1Тi'Mi\Tl iii\ТИ:~iЩНЯ ;i\ШИ>:юг::~C\TствеННiiЯ ф,,)РJ\IУ,ШР,,;ВКi\ше вьпис ш i'елыi,iXожноуверенное! i,ЮfiреДСТ<-1В, ;еннП,<-1-;i\Я ю'нче;<-1ю;номерю)стей, ffшрокое ШШ) lЫ~ОВi\iiетодов ию- в ,iЧ;i! ,ш i'елышин (ЭВМ) п)ст ;вляют о(новной(Tep:iKeHbi,iX<-1-!!;временного сстеСТВОШ<-1;Ш;iВнедрение вычислительных методов и ИСII(Уlьзование ЭВМ,какиравило,числен нснимаютвоиросытру ;оемкостиисложностивы1.

Прн )то\, возю,;,ает цела;i серня iiате\iагпес;,нхИРl,,'тем, к числу которых относятся ВiШрl ,сы разработки алгоритмовра\'?)-~вычислении,для,служащих источникомсоставления ироразрабог,а ироГ),;ем теории Уfiравлення, тео-рии оитимальных ироleccoB,математической логики и теорети­'!с'ской кибернетики.Наша Д&ilьнейшая задача бу ;ет заключаться в иостроенииa"fiapaTa мате\iаТИ'iеско; о а;;ализа. Мы раСС\Юi'РН также и,с'кото!'i,ief!КiНЛOJiiення это;о а"fiapaTa'шсленньр:алгоритмов.Проведе;;ное выше fiредва!,нтеш,ное раССiЮ!Кiе; не став; ,треfie-нами сле, ;ующие иервоочередные воиросы:1.Уточнение ионятий вещественного числа, ие! ,еменю 'й ве-личины и Фунюши.'Оfiределенне и раЗiiитне ионятня fiредела фу ;к ши и СЮi­занного с ним ионятия неирерывности функ ши.3.

ОГюснова;шс' ;lюРМУЛf!Кiав;,л диффеРl ; щи аль югонн-2.тегрального исчислений.4.суммПострое; не i'еории оиределе;Cfiеш ,аЛi,НОlОрида иКiазв; ,тис'юго и ;теграла как fiределаiiетодовfii,iчнсле Ш;iо, фе­деленного интеграла.5.;е;шеилоской фигуры,;eKOTopi,iXеОiiетри iеСКИl( fЮ; ;iТИЙилощадн;лины дпи и т.1) Совреусн'н ,ic!e ЭВl\I в не' iЮJlЫЮПРiiИЗВО,ця', Вiс!ч,," "'ния,iJlЯпроведения которых человеку потребопалась бiс! целая жизнь.2 АЛi'ОРИТМ (или аЛi'ОРИфм) -система iiычислениЙ.