Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005)

УДКББК51722.16И 46Учебник удостоенг' ";ударсшеiiЮ ,i1 ПР'IVши СССР за1980годИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. ОСНОВЫ математического анализа:2-х648 с.ЧШ'- (КУР"5-9221"",0',3;; 1.1: Учеб.: Для вузов. высш;:й v,ат;;матикиОдин "З НЫПi' ЮР«Kypia7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ,мнтема'! ИЧ;;i!КОЙтъ!' шей математ"к" и математичеiКОЙ ф"З"Кii»од редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильин·'';'кций, читаВШИiiСЯ а;'торамите и ФаКУЛi. ете вычислительно"А.Г.СвеШНИКОВii.

УчебнИ"; создан нате'Iение ряда лет на ,jШiIП;'СЮiМ 'j)aKi.iЬT;Mi)TeMa; икиДi)РС венного i'IIIIВеРСИ'е а. Книга В'<IЮЧi)епр;и ";ибернетики МОС";овского госу­еорию вещественных чисел,;'ло:' и непр; рывн"сти функций, цифi[iеренциа.iЬНО;ление фун";ШI'; одно" "еременной,еорию ЧИСЛОВi.Х Р',!ДОВiля стущ,нт,,;' ;'ЫiШИiJ i'IебныхИ . ,.и;аведенийеориюи интегральн"е И"шс­исчисление мно,'их перемеНIIi.ТХ. ВОСJJРОИЗВОДИ ся с 5-го изд.<Физика»2005.

- ISBNдиффереюпшльное( 998г.)."(;уча iiЩИХСЯ п" специальн, ,сти<Прикладная матеМi)тика>,.117.Учебное изданиеИЛЬИН Бладu.м.uр АлеnсандРО6U-Ч,ЛОЗНЯК 9ду,"" Ге! JЧtХО6UЧОСНОВЫ МАТЕМАТИ' ШСКОГО АНАЛИЗАЧ ат ьСер;;я ,Ку! снысшей математ;;ки и математиче, кой 'j.ШЗИКИ"Р;'дакт"" Д.А.

Мирт"()ригинал-макет: СiJi.Ю. ,,'JеЛЪНUnО6Подписано в печiТ'·i i;'чатьЛР N.071930 от 06.07.99.09.04. Форм 'т 60х90/ 6."'j)с;,тная. 'сл. Ш",.".и:д. л.:дат; .iЬ' кая ф"рма «ij "З"Ю.iматемаТИ'Iе' каяМАИК «Наука/Инт; рп; ""ю. "ка».,Бумаг' офсе наяj3,4.(акаN.I.N.,тература»TSВN117 i )97 Москв' ,lрофсоюзная ул., 9;;E-mail: fizmat@maik.rufmlsak:Q;maik.ruЫ.(.р:/ /w\vw.fmi.ru5-9221-0536-1'ПСЧ"'ано с готовых диапо,"'''ВОВв ППП «Тшюграфи'"121099, MOiKHa,«На,;; .,>.Шуб;;НiКИЙ ш р.ISBN 5-9?21-0536-19785922 1053616©ФИЗМАТЛИТ,2004, 2005ОГЛАВЛЕНИЕП!>е,i.исловие к седьмому изданиюП!>е,i.исловие к llЯТОМУ ИЗ"i,анию15167.Пред 1С,ЮВИ 1 ' К перво" 'у из" i,атшюг л а в а1.Предварительные сведения об основных понятиях9мн"'еМнТИЧ1сСКОГО нн 1ЛИЗН§ 1.l\>Iатематические1ЮНЯТИЯ,возникающиеЩ1И о 1исании'11И-192'!гтювептТ11" скороее...... .понятия3311даЧ11 о11занная с не§4§5§ 1.1СС111ТТ11влепии З111ЩТ11 Дi1и)кеПИ1i поматемаТИ'1еская проблематика'10рО1 тиИ СВZI-jаключительные;аме';ания293135а37i.Проблемы, 1юзникающие щш ! 1ешении за, "ачи о вы шслеmrn пути2.Те11РИ',' вещ'сств'снн .111 ЧИС1',11Вещественные 'шсла1..

. . .37Свойства рациональных чисел(37).Об и ;мерении отре;кш;чис./ю;юй оси (39). 3. f>ещс··;веппы;' ЧИСЛ11 и пра1l11,Ю И'1 СР1111пе·ния (42),4, Приближение вещественного числа ра;щональнымиЧИСЛ11;!тюжее; В11 вещее; вепп;,г, Ч11сел, огр 11111чсппые';11 (све рху или снизу2АР11ф",;етич с .' ,;ие(46).ош'ра (И11падВС;1iествсппт,г'Ч11 С 'Основные СВОЙСТ1 а Ы';1iесты,нных 'шсел1.Определение суммы вещественных 'шселпие ПРОИЗ1lедепи;; 1Iе;;U'СТ1Iетп;ых Ч11селственных 'шсел(53).

4.(53).50(50). 2.Оllределе-'войе;В11BC;1ieНекоторые часто употребляемые соот-1Ю1i1еr;иZl (55).HCKoTop1,Ic кт1КРС'1 пые МТЮЖССТВ11 ВСlliествсппых Ч11сел . . . .Дополнение 1. О переводе чисел и; ,есяти';ной системы счисления11 Д1ЮИЧПУ i1 И ИЗ дВО 1Ч ЮЙC"c1,I1I11ЧППО. . . . .

. ..1. !ере1Ю, Ч11сел из де1 11Т 1Ч ЮЙ СИСТС"с1,I СЧ11слеПИ11 в Д1Ю11Чную (57). 2. Пере1Ю, чисел из '1юичноii системы счисления57'н'сятичнпо Гс9).Д шо,лте 111ес2.01i1ИП '1а', в Оi'1ругле11111';етным и нечетным основаниямичисел в систе"с11Х,1етпш59Пределла§1!оследоннт! льностиIисловые последовательностиЧИСJЮ!Н,Iе по!',!еДО!!!1'!ел!,тюс!и и ош'рации тпд пи'"61((;),Ог!!аниченные и Н!'ограни'!!'нные последовательности (62)'!ЩН'ЧТЮ(63), 4, Оспшстей (65),2,и бескО!!сч 10 маЛ!,IС п !сл!'доват! ,!ыю!'ти!!ые С!юйст!ta бескО!!еч!ю малы', !юсле, !,о! ат!'лыю­l:'10дю!!иесzt шн:ледоват! лыю!'Тi!их о! fЮllПf,IС !'ВОЙСТВ:1!;71. Понятие сходящейся ::оследш ательности (67). 2.

Оснш ные!'BoiicTB:1 сходящих!'я ПОf .fe :,оВ:1тел ,HOCTeii ((;9). 3. Пре':! .П,Нf,:Йпереход внеравенствах (71).Мо ЮтОТПН,Iе по!'ледоr;:1ТСЛ ,fЮС: и. . . . . . . . . . . . . . . . ..1. Опре. !.еление монотонных ::оследовательностеii (73).Признак !'Х:'дIГЮf ти "юнотонно i ПОf .fе·:.ОВ:1те.m,ности (73).3. Неко7то! :ые приме!!ы сходящихся монотонных после. !.,овательностеЙе (78).oiicTBa прои !!юльных :юсле. !.,овательностеЙ и 'ш.ювых "Ш:Н !'!'тв .

. . . . . . . . . .. ........ .1. По. !::оследовательности 'шсловых после. !.,овательностеЙ (79).2. Прсд! .fЫП,Iе точки посл!' ювате.fЫЮГ(8). 3.(75). 4.§ 4.Чи!'Некоторые с!79!!ание ::редельной точки у ог!:аниченной ::осле. !.,овательности(82).О lIЫ.С'10.!.Юf!еЙсzt Ш'ДШН:Л!' Юllате.fЫЮ!'ТИ (8,1!).5. Необхо. !.имое и достато !Ное условие сходимости :юсле. !.,ова­те.m,п:н:ти (87). б. !екотор ,Ie ПЮЙСТf :1 ПРОИЗfЮЛТ, н ,Г· Чf:СJюr; ,Г·множест!! (90).До юлнение 1.

Теорема Штоль !аДопо.mfепие 2. О СКОрОС!!'ХОДИ\Юf ти П ;сле.юва·f; .fЫЮf Тi: приближаЮff!еiiл аа4.va .......... .96Понятие функции. Предельное значение функции.Непрерывность§ 1.100Понятие фуню;ии100!еремсппаzt всл :чипфункции2.1ифутн\ ffШ( 00). 2.ОfП;соба'· заД:1'"(102).Потш'; ,:е преде.fЫЮf·О зтпчспиzt фупкЦf:>'. . . . . . .

. .1. Определение предельного значения фуню;ии (103)."!етич;'" ·\ие опеР:1ЦИИ ЩLД ФУТН1fзначение(106). 3.;юп,ши· Фупкций§ 3.93""!еfС;ЩИ'"С!3!;иф-прсд .fЫЮ;'Сравнение бесконечно малых и бесконечно(107).Понятие непрерывности функции. . . . . . . . . .

.110. Опреде .. fСТП:С пепрерывтюсти фУТН1fff:И (2. Ариф" ,;'т :ЧСские операffJШ над не;:рерывными функциями (112). 3. Слож­ЩLzt фУffКЦИ>f;'е ffепреРf,IВfЮ!'ТТ, (112).§ 4. Некоторые свойства монотонных функциii113!.елепиеПРИМСРf,I "ЮfЮтОПТП,Г1 фупкций (2. Попztтие обратной функции. Монотонные функции.

имею f;ие обрат-(11§ 5.Простеiiшие элементарные функции.Ра ffЮПзательная1.fblT ,Ieстепстп: по. Ю)Кf:·;е. fЫП,Г·;ия(120). 3.ЛОf аршl;ми !еская1172.(123).ОГЛАВЛЕНИЕиш'рболич'р' "ир фУТН'ЦИИ(125), 5, (}l'('шчmаZL фУf(КЦИct е(126) 6 Триганаметриче~любым i1ещ('ственным пака:~ателемек (С ФУf(КЦ§6тр (ГЩЮМС'( ричеекис ФУf(КЦИИ"( ( 28) 7,Пр( дельные ша (ения некатарых 'j(ункций'(а",рчаf(ИZL1,(]Jункппив тачке(133) 2.О133Прс'(( ,fЫЮ Р зпач('пи рс;аме'iатеЛhНЫli пр е-дел)(124).--+§ 7.ос3. Предельна е значение 'I(УНКfiИИ (1(второй З(1(еЧ1ТСЛ ,f(ЫЙ прсд( л) (135).Неllрерывнасть иФУf('ПИЙ1.ПРИ:1;--+(ельные значения некатарых сла ((ных. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13:'1Непрерывнасть и llредельные значения некатарых сла ((ныхФУf( "ЦИЙ(138). 2.ментарных§ 8.+ 1/:е)ХПQfштие 1ле",(еп( 1рfЮЙ ф", ТН, (ИИ. К,щее :,),/Н'-щй(142).Классификация тачек ра,1рьша функции1.143Точки раЗрfНIa Футнщии И И'·са'ша непрерывные функции13). 2.Ky~(145).ДОПОЛПСПf1С. Д(Ж(1З(1те.m,1'ТВО УТ1Iерждепиct из П.1.Даказательства е, (днственнастиЩ('1'Т1I(1lIаf(ИZLг л а В а5,(146).146Даказательства су-(1ОСНОВЫ дифференциального исчисления156Ipo 1ЗВОДЩLZL. Е(' физиче1' "аМ И ('('ОМС'! ричееК(1С1 иптерпре'( 1ЦИct 1561. Приращение аргумента и Фунющи.

Разнастная фарма усла11 11! ТН'Пр('рЫШЮСf(2.(.елепие ПРОИЗВОДfЮЙ ( 57).3.Праизвадная с физическай тачки зрения (158). 4. Праизва (наяе 1'('омстричеекой ТОЧ('''1 зр(р,(159). 5. IP1JБ(1C1леfj(1С1 прои l1ю(ные (160). 6. Панятие ЩЮИЗiюднай BeKTapHaii функции(160).2. IОШfТf1(' диффср( 11ffi1руе'ю1'ТИ фУПКЦf11' .

. . . . . . . . . . . . 1621. Панятие диффереНfщруемасти функции(аннай тачке(162). 2. с.::ВZLзт, "(('жд"" ПQfШтИZL",(И (ифферспциру( "ЮСfне lрерывнасти функции (163). 3. Панятие(Иф11(еренциалафУff'ПИИ§ 3.П!iавила дшj(фе!iеНf(щювания суммы, !iазнасти, щюизведения166И чаС(fЮГОr>ычж ,fСПИС ПРОИЗ1l0ДПЫХ С! ('пептюй фУf(КЦИИ,'iеских Функциii и лагаРИфМИ'iескай фунющи1.'.,тТi1C1сш'птюй фУПКЦf11'р 1f'ОПО" ,е'! ри~.168'.е, ючиелеf(Пi,Г' ПОi"аза~телем (168). 2.

Праизвадная функции у =:1; (169). 3. Пра­изво".,тТi1С1 фУПКЦf11'= eosx (Ipo 1ЗВ 1Дf(Ы" ФУf(КЦИЙ= tg и У = ctg:1; (170). 5. Праизва,наящи= laga(О < а # 1) (171).§ 5.Теарема а llраизва, ,наiабратнай17113ЫЧИ1',fепие ПРОИЗ1l0ДПЫХ ШЖ(1З(1ТСЛ ,fЮЙ ф.ПН' (ИИ И оijра'iПЫХтриганамет!шческих Функциii1. ПраИЗi(173 2.(173173адная пака,ательнай 11'.ункции у'JE,IC оБР(1 ттп ,Г·аХ (О<#1)ригщюмеТРИЧССЮ1', ФУfiКЦИЙПраllii,Ю дифф,'РIЧЩИРОllапиZL8.,ЮЖ ЮЙ фУПКЦii РЛо, i1РИФ"'ИЧ Р ""аМ ПРОИ'ШО'i,ТПLZL,iРОИ'ШО'i,ПаZL С(i'ПС ((ЮЙ ФУi'КЦИИ С любым j,ещ' сп енным пока,ателем, Таблица щюи:~вод­((ЫХ про' 'l'ей" их,ртп ,рп, ,Г, фУiiКЦИЙi,ie"Попю иепроизводпой ФУiiЩИИПрои"азаТ',iС'"2'f'i11i,iица ПРOiiЗВОДi'ЫХ ПРОС(iЙ ЕИ'· Э.]П'мсп(78)тарщ,[х фпн, 'ий§ 9.(177)щи с любым j,ещественным по-( 78).Ию ариантность 'Iюрмы иервого'ИФ'I,еренциала. Некоторыепри,епсmш дифф,'реiЩ ii1ла.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17"iпВi1рИ'НПФОР'Е,[ перво,'О диффереii "щлi1 ( 79). 2.Формулы и l1равила вычисления диФФерен щаЛQ1' (181), 3. Ис­ПО.]П,ЗОВi1 Р "формул10.,ифф,'репц ((1,1аПРИ",iИЖСППЫХ(182).Произ,ю",тп,[с и диффср' iiПiЩЛ'iiiiX ПОРZLд",ов . . . . . . . 18"(183). 2. 'п~e производщ,[енекоторых Функциii (184),3. Формула Леiiбни"а ,ля 'п- i щюиз­,[ВЫ,ие производпой 'п~,'O ПОРZLд",аво, 'ПОЙ произве".сmш ',ВУХ ФУi'КЦИЙвысших lЮРЯ ;ков§ 11,Диффереп (иа.]П,[Дифферен"щювание функ ЩИ,ta;анной параметри ,ески6.лав§ 1.(8,';).(186).18890;ределеннПонятие l1ервообразной функции и неОl1ределенного интеграла190Понятие первообра:шоii функции (190).

2. НеОl1ределенныiiиптеГРi1" ( 9 ). 3. ОСТЮ,НТЫ;' свой,', ва пеопрсд; ,iептюго ипте~грала (192), 4. Таблш(а оснО1 ных нео jределенных интегралов1.( 9,).Основные методы IштеГРИРО1;ания.§1.ii',е,'РИРОllапис по час "м (Г л а в а. 196. . . .Интегрщювание :~аменой l1еременной (по, ;станО17.Koii, (196).99).Ко,1(плекеные ',иела. Алгебра МНШО',ленов. Инте-203грирг,в;ние В Э, ((;м,;нтарн ,;Х ФУНКЦИ(iХ1. [< рат кие203207све, ;ения О КОМl1лексных числахАлгебраи',еские многочленыКра', ((Ы,' корпи '·ШОГОЧ"iетп.iризтпПрщщип lIТ,C ".елеi"'·кортн'Й.