galkin.-vektornaja-algebra-v-zadachah-analiticheskoj-geometrii (Галкин. Векторная алгебра в задачах аналитической геометрии), страница 2

Тогзв АЗиАМвМВВо(нч!)МВн — АМ, АМн с АЗ. с б+! Отсюда следует формуле цня определения косрцпнвт точи, ловящей АВн(«е -«л,уз -у„,зз -зз) вотнопнмпн зс а е а «з+ («в «з) уз+ (уе уз) зз+ (зз кз)~. ((3) а+! а+! аз! Есзп аехзюры а, Ь кактннеарпыг ими, юо пх когудюгаюы ярапгвпГпанптяпмг а аг а (1д) Ь„Ь„Ь,.' " Дебстмпюгзпо, а = ~ах ау аг! '"ЬЬ ~зЬг.хбг»Ьг), о™уде н сзедует оютношенне (1.4). Х.ЬХ Скаеерпаа нреазмпннае Сзшгзрным промиеденнем веюаров называется аиерапгя, сшввщзз к соошегсчвпе векторюг и, Ь чнсзо й Ь н обзздмощяз савау ющнмп свобатвемн ! Х вЂ” дейсгвизмгьное чнсзо); е а б п0езажО; ° а боба; ° (ла Ь)лХ~а Ь')„- ° (а !Ь ~::.с)) и!а Ь~+!а' ° с). Дм свободных векпзров в нашем физическом прастренсгзе скехзрное пронммдевне можно ввестн бппее конкретно, Чншю И Ь п)а!!)г!сокр шоъюяегея скип)ппхн прапяю!еппем еехгпоргю а, Ь; ге — упю ммкду вшпорвма Сююярнае пронзведеппе можно зппнипв в ваде а Ь и =!а1!Ь~ созгр=аргут = !Ь~ рг а, откупа сяеяуют формупы, нвнбозее чвсто прнменземые в пршпзкеннях: созф=; ф,-<за Ьпб; р Оеоа Ь '!а!!Ь); й ао!а~; (!.5) Ц~ь! 2 р;.Ь о —.

ахЬ (!.6) И Чтобы ггергйгн в спопюшенпхх (1.61, (!.6) к копрдннкгем нектаров, сасзнвнм чтвблнпу уннюкеннзя дзя екюшрнша пронзведевмя бззнсных векторов г', >', А. Онз опмметрмчню Испоньяуя свойстве скющрного ггроигяеденнл, етяблицу уыноменияэ и соотношения (!.5), получим формулу Гщх ямчисления скющрного ороиянедеиия червя координяты векторов я бвяисе г',)) Ь: йхйм(,(+~,,гт+~Ь) (Ь(.Ь3+ЬЬ)и „(~+ „Ь,+ „Ь,„(!Л) я пщме формулы для вычло,мнив модусы всюоря и косинусе уг- ля июгвюьтленно: лхЬ аЬ гоЬ ьаЬ В основном сюкмрнсс ороняяедение нщикгюуюсл в яввячях енллвтяческой геометрии нл оююкисть и щемую орм вычислении дсгнн, угиоц ороскций. йеклюрным нртюглгйгинен о на Ь нвинвяста~ яекюр, удовлетворяющий следующим трсбонанивн: ° оргогоняяьный (нсроеидикулярный) квмдому ия ягих вектгг(юв,' е соепвныющнйс ними пряную тройку й, Ь, ахЬ„ ° модуль векотрнгно произведения численно равен ияощадн лорлллеяогранми (ювн удщюиной юннщчти треугольнике), двумя соседниыи сторонвмн когорщо яявлкнся векторы л„Ь: ~ахЬ~ ч~абй~мнр, где р — утгьт мехгду векнгрвмн.

Вектора»н г»ровнеденке внгиконыуппннно, т. е. а х Ь -- - Ь х а. Очевнггио, чго Й х а а О, авг ввк»Г О. И» опредевеинл ее»тори»ко оран евсин шмдуег, что гьх7аЬ„ /х(гаг', Ьхгтх)'. Сов»вены агв»н»и»О унижению» дзв векторного произведение, оие будет во»пекине»рнон»с ! г„г !-е Вычнс»»нь» коордеипы векепрв а хЬ, оользувеь етеблиоей умноженнлвг ахЬ (а„»т+а,)+а Ь)х(Ь,(+Ь,Г еЬ»Х)а ж агЬ»(-Ь)+ аЬ г+ а,.Ь )»+ а„Ь»(-! ) ~.-а»Ь» (-))) + аЬ»гь а а (а„Ь, -а)» )г' -(аЬ» -аЬ»)у т(а,Ьг -агЬ»)Ь = (!.! О) аг а, ах Ь, Ь„Ь, Веки»рине г»рок»лег»ение исшяьзуегсв в задачек внвлкгнческой »соне»ран нв оласкогть и ггрвную двв построенил ни»горл„ ортогонвльишо анре н»О»нных векюров, длз вычисления площади»ирввлелогреннв н площади трау»ильинка.

Смиаанное вронзведение векторов а„Ь, гг — число, равное сквллрному ороизведсиню векторного нровзвсденнв йхЬ нв вектор с: аЬс -- (ахЬ) с'. Смешанное ироизведенне цюглнчно„ т. е. аЬс Ьса саЬо-Ьас х-асЬ -сОа (здесь нсеолмоввнв внтнкоимугитнвнесть векторного нронзведсннл). Зематнн, что еас ~пел -саа, еосшмьку если в смшпанном пронзведеннн два вешера равны, то оно рмпш нулк», тик ш»к а хо в О. Смешанное пронзведснпе оЬс численно ршпш объему лепеллкмнппеда, пошроенш»»о на веко»рах а, Ь, с, азянм»у со знаком кпюпсв, есин тройка векшров й, Ь, с — правя, со знаком емннусэ, ешш тройка — левая. Если векторы комппанярны, зо обьем нулевой, т. е. лйс О: п, Ь„с — компланпрны с» ейь =-О.

(1.! 1) Чтобы вмчншпиь смешанное»пппиведенне векторав чере» пх координаты, необходмые прнненнть формулы 1'1.Т), 11.10) п ш»»йствя ш»радо»к»сля» аЬс о!с Ь» -е,Ь»,)с» -4о»Ь» -еф»)с»+ !а»Ь» -а,Ь»)с» н Смешанное пронявюьенпе пспользуе»св в зшмчах шпинтпчеекой хеопс»рпп на пюск»»шь к прямую для проверка ш»мпюшарношн векторов, а твшкс дял еычнсленнв объема»мршпеше»»пледа, !»рпзмьь п»»рвмндль 1 х. Урашшннн нлеевнепз н прамей в прае»ранетве Еслн )У О, то плоскость проходят черо» нкчаяо коорлвна». Е ш пл,„ошв пр од„, „1, „у Ме! е,уе, „)„ АхяьйуечьхееЗиО.

Таща ))- -(Ахя ьйуечСхе+х)) в ураанснне илоскосгп„»»роходяп»сй через точку Ме(хв дыхе) н нее»' кпд (1,14) Сведущ звмеопь, что ежоор (х-хз,у-уе,х-зе)„гхюдлняющнй две точки гиню госта Мз(хеуехе) н М(хуг), лежат а пхоскастн прп любых значениях х, у, з. Тюпа уравнение (1.14) анапест равенспю нумо сюнюрного пропзведеюег (1.7) даннгео аекигра н вектора в ч(А,В.С).

Слсжнпоельно, вектор л* (А,В,С) орпнонезен гонхжпстн, т, е. предсюевпюю собой нсрзвиь к плоскости. Уравнсннс одосююгн, оззжкающей нв осях коордонат огрсзкн а, Ь, с, — )равлевпе нхсскосглн ее оюрехкахз. Его можно записать в анде У вЂ” + — +-в1„ а Ь с Еслп есе юиффпцпенгы в уравненнн (1.13) огхнчны от нуля н 0 )) () есхл гюховють ав — „Ьч —, сь —, ю оно прнводнгся А йр С к вышсуюнвнноы)' анду. Уравнение пряной в пространстве мюкег быть задано в ваде хнпюг леоесечзннх д3~% Фюсзгссюейг (1.15) Уравнение праной может быть задано в мюворнам вмдег где У вЂ” радиус-векюр проюиоаыюй точки прзной М(х,у, з); ф — Ради)ч.-вектаР фнкспРоавнной точки пРвной Мз(х1г,Уе,гз); р"-(1,ю,п) — нвпрввжвощнй вектор пряной (вектор, ааразвсвьныйпрзмой). Изнеюю параметр Г, игюучаем все гочка пряной. Запнсываз векторное уравнение (1йб) в ксордпнатах векторов, шюучнн па)ьзявгпрнческне)уюепеннз прююй: Веюор Д-Ув = (*-ье.у-уе,к-ке) жюжен быо ююлннсврен наораавающему асктру Р ( ),ю,н! .

Звннмеюю ус:ювив кю линеарности нектроа соопююсиил (1.4), ююучим коноинчеаже )уюминик нрвхкю х-хе н-те к-ке ! ю л Данное равенсою молвю оонучить н ив оарвмнрнчсскнх уравнений нрлмой (1.17), нсюиочнн овраме~р а В свою очередь, у)мнненнв (1.!У) моною ислучнть из канонических уравнений орвмой (! .15), приравнивал еоотиоюенив (1.! 2) оараметру !. 2.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 2.1. Та!юные задачи ма илосмоста и арюеую Задача 2Л. Иаонсаи уравнекис плоскости, нроходюцей чсрса точку Ме(хв,уе„са) исрнендикуллрно вектору и и(А,В,С». Ренияке. Следует из уравнения (1Л 4). Пример. Мв(),2,3), Ви(1,-2,5». Уравнение влвекоьчи х -1- 2(у -2)+ 5(с-3)об. Задача 2.2. Псрейтм ог уравнений орвмой как линии осрессченна двух ~июсксьчсй (1.

15) к каноническмм уравнсннмн П. )й). Рмосюм. Ненраамющий вскюр искомой ириной Р Рь!),ю,в» оврмююми обеим шнхвтатнм, ~ювнюу он ортюонввсн нсрмююм к чтим ~сюспктвм, Следовательно, данный вектор может быль найден юж веаюрное оронлнсдение неводов нормвисй к нлоскососи Рил,мй, Июаизьзусм ооотниннсние П. )б) Р и Отсюда получим 1 к В!Ст - ВтСВ и в А,С, - А!С!,' и А! В, - Атй!. Онределнм точку Мз(хз,утч хс) на орзмой. Посяотьку се можно определить с точмостью до сдвига вдоль праной, ю одну ю координат "ючкм допустнзю задать нроизаольно, в остальные дае слслусг оггрсделмгь ю сисгсмы уравнений (1.15), в которые нодон«взвив нроимюльнзя коордниюа. Для простоты спгит аыбирагь данную координату резкой нулю, например гз оО.

Есзн носке гюлсганоаки точки система (1.15) ие имеет реошння„т. е. ! л, в,~ ь О, то нужно гюдсгааигь к нее хз о О и решюь. Если !в, с,~ решения снять нег, т. е. -О, ю ишгбзоднью подставить в ~вг с) л, с,1 систему узм О, Ншнг снова н» будет решения„т. е. =0 значит — — = —. Тогда вскюры нормалей к шкгскостям гч )й А, в, с, зхны инеариы (см. (1.4)), а следоеателыю„гшоскости параллельны. Ио ооисанное выше нмкммшкно, нш юаг но усюаню шигагошн нс!мсекаюгсз, Пжному, назначая хз . О, нлн хе = О, нлм уз ч О, уджтся получи«а остальные координагы точки из сменены уравнений (!.!з!.

Таким образом, ючкз Мз(хз,уе,зс) найдена. Подсташшл коогзтиилгы напрвзлякгщшо векшрв н точки в «ракнсння (1.18), огиучаем шиюннчсскне урюнениз искомой пряыой. Пример. Заданы уравнении ораьюй как лмнив оересечения игкюгшггсй х-. у+ г- 2 О, 2хьЗу-Зг « ! О. Найгн канониче- скис уравненна г грззой. г / ! -1 1 ч5учЯ;.„рм(0,5,5). 2 3 Пояшаем хз О.

Получим снсшму уравнений длз оиредезе- (х-у-2ь0 нна осоишиых координат точки 1 (2х+Зу . ! О. Решка систему, получим хс ь1,)ь о-1, М!!1; -!,О). Ссетв„х-! уч! пим канонические урваиеиил прамой — =.— о 5 5 Задача 2.3. Провести шимкоегь через точки парвлпспьно векА )записать уравнснпв плоскости, ирпходппый черш точку Ме!хе,уе, тс) пврвллепьно векторам о~ о )ам, а~т,пи) п ат ."- )пы, ат„, пм), Репнине. Обозначим М!х,у,х) — оронзвшынук~ точку аскп- ыой пыимоьчм. Теда векторы МеМ )х-хе„у-ус,х-хе)„ й~ о )по, шйч ан), ет и )аы,ат „ат,) коыпланарны.

Уравнение искомой плоскости — условие коыи мнарипш н всктаров 11.1! ), )1Л2): й. Написать уравнение плоскости, проходвн)ей через две точки Мс(л~, ус, д,) и М~ 1д,умд ) ииршшельио вскиеру аз и )аы, е, ом). Решеапе. Уравнение то нж самое, что и в задаче 23. А), только роль вектора а~ о1а,„, а~д аы) первее матер МеМ, =. )д-д,у)-ус, - е): х хе т уе 7 хе хв Ж ")Ъ д "-с пхт птт птт В.