galkin.-vektornaja-algebra-v-zadachah-analiticheskoj-geometrii (Галкин. Векторная алгебра в задачах аналитической геометрии)

УДК 514.1 ББК 22.151.5 Иадогнсдостуицораааатрщкюмдцдрдаццрщщ! ','' ''" щ но аарщу1$Б!рФ5!щрцг1щдщцдредрББББК4ц!оц! ' Ргаоченеееаво Ргдащрйгщотлдонгйггсйнн щеелйн ДБТУ ан. ИЭ. Бодмва е лгйеееие утнбною лживо!и Га к ~,С.!К Г16 Вевторнав алтбра в щцнвщ ллопглнащес ьющогрйк г ло. тодитсск3$в !Гга;щгпеа гг влледггсщно довщцнщо тцд!вщв С, В. Гюоойг, Москва: Издцгсщелщ ИГГу ща Н, Э Бауглцгв„ Ю12. — 2Р, 55! с. 1БВВ РП-5 103 $-4525-5 рййногрлщ ещщиие огнрацнв в внгюрйей мгебре н на йрлйгййййй аай рйгйгййв тогщщв вайа ей й~й~ййта й нщйул й йнйллйтй. иэц лщщгрон. В1йлавва орйнгр рснеюл йемайлещ щйанна йе ащ.- нлмвесюе гйенегрнн йщ агу акоев ввреаго сенлщн М1 "1У йм.

Н.Э Баумана. !ел сгуллгщ щрвло йурог МГТУ ла йдв Баумана вггх оглоайв ййлйц. УДК 514.1 ББК '2.151.5 Предисловие Псрмжурм»икп ВВ"УУ юь И.З. Бауыиы начинают ищксмнтщй с ыая!матпн»й В 33ро»сщсс юу юпщ мнпзытнпщкаб ВНВнпзз, люВ»йаОП злп»б ры н щщютпчпж»НГ Гсомщрап.

Длз нпх тю оцажяис, юознроаищыс абюрзатиае двщнпяпю. Только позже ю фиыня, ъюрсщчссксб ысищнке„отсцдащпйпюн Опа псбыу»; по мкщмагщщ лежит В аснар ощ»сзщщ мара, а магсматичмзпщ ыстсды и мо»юли кито»ытуаячк псаск»зу Всатсмй. тика — зто ачык, на янпр»ю нзпнаща сазрсмсщащ наука. Ипжснср кс смщкст работать успсюно, но тнзз оп»ох мпсчзтпзн и сс мсгсцщь Урала»гапщюб мспщ ЛОЛГОтОЮОГ анжснц»ОВ 6В Гъпнпкщ зз3ОппчзсГ ск в спсщмном иыюжснан тсхннчссклх зщюнб на ссноас сгнрснснпоя математики и сс мстодоа.

Иппснср-бауманки споссбсн сформулнргщать тсхнпчпжу»й юлйчу, ймгбыть мйнюВГ»гадкую молсйь н мс»ол рсппн33й, азпюать алгоритм и прсграыму числснного рспп.низ задачи, пойучнть рсзуньпп, Осмысл»пз »по и 1»смппоййгь йй празтню. В сзгсм изданном и 1637 г. трудо «Рзссуждснии о мстодс...з РВНС Дсюрт ньтопнй ~ййлйпгйзаущ гссмстрйк», попюююабчо рсщать пхкюцючссз»ю Задачи нс псстроснпсм, а точным щиап»нзюпа Его сб»сначснац дюцпсйу юснщу »юс1щйййт, ураюый~й прзыса й »щосзпс»я нпющоуюг у р ..Сдр~, П р,юф и зцящ прп»ито »юйщты пзппрй — ййпрймюйзип стрспй.

В югщзйййзс амкщьтуатпж ыюбодйьщ мжторас щпсрьы ыожйо асрикххпа пцыжщльно самим ссбс. Окы, ъемснт снчы, псссмписщю — мо аскщрьь Тниызссгь по ыжторы й щжрыщп зючорщб юпсбры мсюго лрщщйить й В йщйчйх ВЯВлют»чссзсб пзтмйтркн даг Вмчпсйсннз пргзж»ВТГГ„Ю»счсцз»нь сбь»!33ОВ н т. и Зтс 3нжйщж'Г прссчп н 'щчнп рспыть прю»тлчсскнс »ааачн. В нзстощцих мстодачсскйх укатзяиах рзссьютрсны осягеаыс ющрзпю» асаторноб злгобры и нх сзобсгка, Покззаао, кзк ъти опсрзцнн ьюжно нс»кипооаать й тздзчзх ыелитичсскоб гсо»играя на пчжнссщ п прамую.

Прпасдспь» тплпчяыс йщача о Взаимном располощснап прзмых и гсщсвщтся, о рюствщпи мсжщ. нами, о площадях и сбъсмщ щомсгричссках фигур. Иа кзфслрс прюсщщюб мапмзгнки рвзрзботыю доызпикс заяящс дза щулснтОВ пцзВОГО зурсц юсГОзщсс нт болю»ка'О ВОЛПЧСЮ»ьа р3щщчных д пнч Ю Гркц В гоц п уъ щакп юн „ йх рой»юз, й пркйцящ прамср Вь»йойпсййй нянрспю»п йарйзйга дсыиййс- 3'О тздзпак. 1.1. Ив«тири«в влгвбрв, веи«виые «иври«Ив АЬ й ь.юккеиве сею«орки иуииетикииеив чиюю П)вице всего ггггрцдезигь кигтор юкг вки)гзвксииый «трсгок В ивтемюике рессьютриавюгсз свободные зеюоры, кот«рею можно пере«осот'ь оврюшсиьно своим себе, з к механике — еще и скозьзкщие, ггриивдзюкащие вского)юй ггрзиой„и ижраюеииые, ивчщю которых фикс«)ювзио.

Двв векюров вкодзгсз оисргщии сиюсзнкз кис«орое и у«за.живив Фюкгзогто мз дейОнюгзюзькое ижих Опсрвциз щюи:свив зеггюров имеет иескоиыго аюГк*ю. Первые три из иих озизчюпг, чзе векюры (ююбодзые) «бр«куки груоиу ио схажеиюо, а чствьрпю — чю юз груиоз коммутетивнв, ими збеосве: ° Гач Ь)«с=а*(Ь+с) — щгзгцзиогвнгкггь поююжению; ° а + О я а — суюеатвоззиие иузь-векторе*, ° -а+а-6; ь й ч Ь и Ь + а — коммутвгивиаьть. Следуюосге двз свойстве отиосзтсз к умиозккюю веюорз нв ° (йр)а "-. гчра) — аиоцюпивнасть оо ужи«женею нв чисзо; ° ) иий.

еще двв екойсиж дисгрибугивнссти огиосзтсз к обсюг оие)миизи: ° Х(а + Ц = Ха + ).Ь; е гьчд)аида":..ра. Аигебракческав структура с корректно оирсделенными (ие выводящими за множсспю) оосряцивмн мюженкз и умножения на число, с иеречисзеинммн выше сяойставмн нэзыиаегез линейным вршнгрансимом. Элементы .чннейноггг прес»ране»ив ириивю наяыикгь векторами. Свободные веге»ори образуют линейное ггрострянсгшг. Оиерации определены корректно (нс выводят за множсстмг), твк кик гумна Ля)к кекнгров н ароизкг.донне коего)ж иа чишго есть вектор. Мовжо ввести нуль-вектор и оргггнжиюложиый, Свойства гцоясряюн.'з 1сомегричсски. Также можно склалымн ь нс.юльке даа векнгрв, но и любое мнсчиес чнсгю аекиизгв а~ + йг +...

»а„. Мажно жисти и лиимлрю конб»игггэгео мзпчюа )чэг + йгог +, г й д г гс дсйспюгмгьные чаяла Линейнэз комбинация векторов юмыязсгсз тривиальной, есмг вней все чисва раним иупо()ч "-зг =-... =)., О), и нсгрнянмгьной, если и ней яопг бы одно из чнсмг нс равно нулю. Вся»горы амаг, ..., а„нюынакисз линейно нсизгнсинынн, если мжьникна иьгько их трнвнюшигж линейная комбинация, раинвя нулю, ж е. нз раиенегаа )наг +йгог+э, ь)г,ач О сзелусг )чейз и...с).„ьО. Векторы а,,йг,...,а„нюывакмея линейно зеэнсамынн, сели возможна ия нетривиальная зниейиав комбнющив, равняя нулю, г. е.

»южно выбрать иеяшорое Х» и О, что ) гч+)газ+" йл»+ . й л 0 Всяк нею»зри линейно зависимы то один из низ яаниггго ям риз»кемел через остал иые (орсдствшмегся в виде лмнейиой комбинации осныьныз кокто)юн нян разлагаемся ио иим). В соотношении )на, + Хгаг + ... + й»дг ч ... + Х„4, = О, ооскозьку Х»:»0, можно линейно выразить а~ через остальные аекмгры (или ряигожкгь п<ь иим), поделив нсе слмаемые на Х» иО н персмсепгв век.юр а» в правую часть рвзенегиа. Вс)тно н об(жтиое. Если, ишгример, е» идгыр~ ь...

»й» гл» г+ +).»„Агг ч ...+ Хьйг (линейно вьгрижаедж чарег осами кые), ю„ оереноса искшр в правую часть (жяснсгва, гяыучим )на~ + 3.»а» + +... +(-!)к» ь ...+»ч4, и 0 — нетривиазьиую линейную комбина- цню векюров, равную нуюо. Позюму веюиры и,, ггг, ..., а„лннсйно заавснмы Ьзакснмсльно возможное колнчестко вннсйно нсювлснммх векторов гв пространстве) называсгсз ботасов, мшвчсспю векюров в бюнсс — размерностью Гггросгранствв). Лаорнмср„вскюры, пвразлсльныс некогирой орвыой Оооошнсарные), образукн одномерное нросгранство.

В нем быка сосгонт ю одного вмгторв, любые лва коллннеарных вектора зннемно завнснмы. Векторы„оарюнмльныс некоторой и:юагосш гкомвлвнврныс), обрвзукгг двухмерное нространство, а нем бкшс с ннннг нз двух векзорок, любыс трн ком нланлрных веггтора ллнсйно завнснмы )гвшс (фнзнческое) ороскранспо трсхмермо, в нем бювс ссстонт нз трех всктороц любыс четыре вектора лннейно завнсммы. Снрваедвнво уомржлснис; еслкнг) ееюхор мохсно раьгожнюь ао бзик), к заю)юхгол мюге сднлсюлсюю. Докажем вьцнеорнвсдсн ное. Е Пусть вскпзры Ьо ..., ܄— безас.

Выберем любой ленгор г). Есвн ззо базисный вскцгр, например гг -)З, то тамге соотношенне н ссгь искомое рвзлггженве. Если ог нс бинсный вектор, то векторы Ь,, ...,Ь„, гг' лннеано завнснмм, так как данных веюсров больше, чем л. Слсломпсвьна, Зз)Ь ь...ь).„Ь„+сЫ О н какой-лабо аз ксзффнцнемюа орн век'юрах ранен нулю. Если ц а О, зо )чД + ... ьЬ„)Ь об в нмсжорый ииффмциснт ьг ФО, что невозможно всведстане тннейной незаннснмосгн базнсных Фч „ 3.„ леггорна. Потюму а нО л гг' ч - а~ —...

— "с'„— нскомос рю- 2. Поюоквм, что разложение едннсгвснно. Пусть есть дка рзолгнксннв векзора г) но башку Ьо...,йг: гг'и йгбг+...+Х,Ьь н гг'ч Гцбг+...+О„Ь,, Вычмтав ггерыю разгювмнне нз вцуно, нолучмм Пч-р~))) ч...ч(Хг -рз)Ь„=О. Поскольку нсггюры бакаев .зннсйно незавнсггмьч ю возможна юльке нх грнвгвьтьназ лансйназ комбннацкл, разная нулю. Следонагавьно, х, =. рг, ...„Х„" р„ Момнгг заключнзъ„что рюсюжснне едннсгвенно. Каэффнцненты прп Ймнсных не~иорвя в рвванкмзмн векторе по базису нвзыявкиз:я «аорт)ннажннн веюнора в двнном Йансе. Следует звмсонь, что здесь рвссынзрнвввгзся векторы тзкзько в двумерном и зрекмсрном зцнцчрвнспзе.

Зцзвдпы в вящем фнзпческом нуазпрвпзпве оргонорнпровмзнзгй бвзнс, все векзорм которого гзрзогзюнивны н помог единичную дннну (пормнроевны). Обычно выбпрвкгг сюесгвенюнй бюне г', у, А., емооры которого нмзрвмюны по коордннвтнын асам ОХ ОУ, ОХ Любой вскнзр екннственным обрвюм рвкзыкстск по баксу, пмзнзму озззззвцнн сжекспня п умноменнв нп чнсво нкв векврвын сеонянм к вимогнчнын опервцюзц нвд координатами векторов в бвзксе з', у, Е пча з'+е «чегйн(аг„аг,а(), Ь нЬ з +Ь тгБг!г ))Ь«Ь«Ьг)(„ Хе ((лаз„Хат,йс,~, а+А.=(за вбг, а„+Ь не+ Ь,)!. Бсвп векюр АВ имеет нвчвко в ючкеА(хз,уз, зз), в копен в точзн В(т е, у,, зз ', то координвзы напоре виодщсв ~ю формуле (!.!) '(В («в тз ув "уз зе зз~ )Ай~о (!.2) Точка М дглню егюгюр АВ (вмйзмнзенный оцмчок )АВ)) е оввкюммнк а(М н(АВ!)з сслп АМ оЫВ.