galkin.-vektornaja-algebra-v-zadachah-analiticheskoj-geometrii (Галкин. Векторная алгебра в задачах аналитической геометрии), страница 3

Написать уравнение плоскости, проходппый через точки М ! с.)е.хв), 44!д,уитт) н М (,ут, ~). Рмкенне. Ураавеиие ю ме самое„чю н н момче 2.3, Рь ммыю рзьзь аекюра аз ч (ез,, ез лз,) юрист ае сюр МеМз м(хз хе У "Уе-хз те)' х-хе у-уе л-ле х, -хе у1-уе х~ -ле хе Уз Уе хз хе Задача 2.4. Напвскзь уравнение плосюсти, проходмпсй через х-.те у-у, йркную, заданную каноническими )равнениамн —, и и и — '~, й ючку М~ (хо ) ох~ », не лммпиум йй люй ззрамой.

Рензезнзе. Обозйачйм М(х,у,х) — йройзаокьиую тюкну йскомой плоскости. Тотда векюры ЙзМ.-- (х-хе,у-уе,л-ле); Рн(1, м, н(; МеМ, (х~ -хе,)ь -уе,хз - ле) домены быть комюаиврньь Искомое уравнение плоскости — условие комзпмнврносГи некиз)юа; Задача 2.$.

Найти точку пересечении М,(х,упх,) прнмоб х" х у уа хе — ж — и омкмосчи Ах з Ву ь Сл ь 2) о О. и в Рпиекке. Записываем уравненнл праной е перемезрнчюком киде ((. (7):хохл+В;унуе+шз;лихе ьвз. Подставлкем хул н уравнение плосюсти, ними тмюе юечеиие параметра Зо прн коюром виранедлнво у)кмнснве Ахи Вуч Сх+))нО (точка прамоб попкммч в юкмкзмзь): Коорвннлты несомой точки М, будуь ко уо к, „гне х охот)Ь„1) ьуь+мто~, ось+от,.

2.2. Оннвчн нв клвнмнее рвепелеаенае нрнмььх н ютоекостей 2.2. й йтенхьное ресноенлсенне двух мммкеекгей Дке олоскостм Ар+)У!уьсзкьй ЮО' Атх+Вгу осте+ ~-Ю м О лороллюьиы, если нх неравен коллннелрны (см. (Ой)): — о — о — жХ А~ В~ С~ А2 Жт оедн -~- ой, то обк уреененнл 4хе 4у+ С1л+ Ю~ о О, Вт Агх+Бту ьСтл+ Е~ ьО оонсыееют одну плоеихчх, т. е. аюскоомк сомюдоюм.

Плоскостн ортогонлльны (нерюмднкункрюе), если вскторм вермелей к нлоскастем оргогонвкьны (см. (! .7)). Тогда вмволиено соотношение Угол менку лвумл плоскосьлмн — лто уток мелсду нормвлкмн к илжкоотлм. Епь мошно вы чвоонтыю формуле ((.О): А,А. + О,)) + С,Ст соьф . к т~ у""ут т-к1 Лке оркмые — ь — ' в б т~ в еароллельны, есло их нворевллюоюе (см.

((А)): Дле пркммс нерлелйас)жером, смяв нх няпрааяякнцне мжторм оринонююнм )см. ) ) .7)): )Ат +ю1ю ~" люя н О. Уяел между двумя прямммл — у1ол мюкду нк папрвявяющнмл яекгорвмн. Вяп моюю юлчноянть по формуле (! . $0): х"'хя у 'уе х "хе Прюаю — = — — и плоскость Ах с Ву+ Сх+ м л +Р н О ллрпиехьнм, еяттн нввраяхяющнй вектор прямой ортотонеяен яскюру но)юялн я ~юоскосею Прямее — м — и — н плоскость Ах+ Ву+ Сх+ х"'хе у 'ув х" хс т л +Р и 0 нерлелдпкуктрим, еслн напраавяющнй векюр пряяп1й коялннсарен велюру норнаян к пмюкостю Упи )) мюяду прямой и юкжкпстлю будет В= — =р, тле р— 2 у~ел немцу наорваквкяцнм векюром прямой и нормюп ю к плоскости, т.

е.: А) тйт+Сл де+В~+С~ )~+ю~+лт ЙЗ. Задача иа раеехеаааа 2.3.й Рассиизаиие ваз квочки «и ихегьчлгип Опрсдепнзь рвсспзвнпе А ог пзчвн Мвгхв,уе,хе) до пхоскоеги Ах+Ву+Сх~.))пй. Рзмвзпие. Пусзь МГх,у,х) — зикпспкпннвк гочка лклчккпн. Зогдв двина прпекпнн векгпрв Мзззд= гх-хе,у-уе,х- дз) на единнчнмй векпзр нормали к жюаяпсзн ссгь искомое рагкчоаппе.

Ъпизнеи ! сдпиичпмй аскпзр нпрмави к ирвмей й» о ~ А,В,С) А +В +С и спроекгирусм на мета век»ор МеМ= (х-хв,у-ув,х-х„) (см. ГЩ)з ~Агх .хв).зйгу-уз)+Сйх-хе)~ А ьВ еС Здесь нсгзавыаивно онипзапенне Ах+ Ву+Сх+Вмй. Тмгим образом, Раесмоанпе ом мочки до пимкосми полно гзпредмзнть ззп фгзрмуве ')Ахв з Вуе+Схе+з)~ «2.10» зГ'Аз В'+ С" По данной фпрмуве помни заеме опредеаигь Рпеемонпви мезе ДУД Ухе Р ь лг с иммл вмбРавчечкУ Мв(хв,Уе,хе) на одной ив гпюапсзей, ззззккио вычисхизь ресспмиие от ззрииой !мрвзпзмй ипн гпиккзмгн дп агой зпкммьчзь вьзфВИ гапку Ме(дз уе ге) пв гзрвмпл 2.3.2 Ресмтнитие ою явкам ео нрллюй Пвйтн рвссниние Ь от точки М1(хоуоя,) до прямой х-хо у-уо х-д, м и Рею»»не.

Сгрокм пврвллелогрвмм нв вехюрлх Мм)У~ = (х~-хс,у~-уо,х!-хо), р 11,ю,н!. Его пмниедь Я равно Ь!Я, |де й — исюмюс рщстоянне буде1 нысотой оврмшсло~рвммл, С друсои стороны (см. пм. 1! 2), Я--!рх М»М1. По»тому искомое рвькоолние монне определитыю формуле !р х МоМ,! !р! (2.11) По донной формуле можно определить п расею»я»пе мюкЗу пороюетьюепе орлмььик, выбрив точку М,(хну!,х!) нв одной нх лтнх нрящох. )ММ р,р! !р1 "рс! Няйти раатюянне А мюкду скрыцнеяющимисв прямымн „Р' А м~ ч п х-хт у-ут ~в~ и !х юх н Реме»ие.

Строим перлхнщепюмд нв оснопппин — направляющих исюорю прямых )1:, .Я,щ„,в ), р =!!мм „л,) н ребре И',,Ч,.Сох й р б р р мооущосмешлнномоорюсмеденив вострое М~Мт, )ч Квч,»!)* рт и ((т „юх,л! ! (см. о,п. 1. 13), с хрупы — о(ннмиедению имнивдн основание нв искомое реьхчовнис, и»соту олрвлломпинедв А. Звмспщ, что плоощдь основания ряанв модуэо векгорното произведения нворюимющнх венгеров прямых (см. п.п. 1.! 2).

Получаем формулу длл вычисяеннл рвссшвнпв мехщу окрсп1нпвющнмисв и!явными: 2А. Отдел мью задачи Задача 2Аь Пайки точкуМ~«хпупи), сю, с~рнчную»ал иной точке Ме«хз,уе,хз) опнюитюимо плоскости Ах+ Ву+ + Сх+ 2» о О. Рснмнис. Проводки орзыукт, псрпсндмкулзрную алоскоатм Ах+ Ву' Сз+ 2»" О, через тачку Ме«хз,уе,ха). Рс напрвнлмох-х» у-ус х-ж щнй векюр — нормаль к нтюкос»н: А В С Ищсн точку М»«х»,у„х») псрсаеченнз данной прзмпй с плоскоспио «см.

задачу 2.»» Записываем урзннсниз арзмой в параме»рнческом юще «1.17):хилз+О, уоуз+тй зжте+т. Поде»залаем х, у, з в уравнение плоскости, ищем такое значение периметра т», срн хазарам справедлива урааненне Ах+ Ву+ Сз+ 2» ой «ючка»йныой 1»оищелст а изоююсп ): Координаты точки М» «х»,у», з») аерссечениа прммой н аеаскастк сзсдук»п»нс: х» и хе+В», у» и уз+ тт», з» х ь т .

Так квк МзМ» иМ,М, н данные векторы ортотонааьюз плоскости, то кцордиюпы накопай 'ю н М1«хиуи»1) нкк найти по формулан х1охе+2Й»,'у) уе+2тт»,»1изач2ит». Задача 2.7. Пайтк ураансниз абщесо иерпенликулзрз к двум х-х у""у~ з з~ х-х скрещиаюощммсз прамым т, л, 1 зи лт Раиными !. Найлом векюР Ож~р„дт, ат~, оРтатональный нааРюп1зющни всю'орам прамыз у1 иД,щ,н1 , 'н р ч»)»,н»,т» ° а и р, к р» «см.

«1 Л О)), 2. Проведем ~шоскосгь н~ через первунг орзмунх шдгйзхмчьно вектору фи~(у, О., р 1 тем. эагмчу 2.4). х-з1 у -уг з-г~ мг и нО. рх Чу 9х 3. Проведем плоскосп вт через вторую пркмую паршшезьно зсзтгг)ту ф и)бх, рю б,, ~ем. мдйчу 2.4): х гт у 'уч х хт мх и, зО. %~ 9у Чх Искони приказ — общий псрпепдпкупзр к скрешиваипцнмев ирзмым. Она заметок лшгнсй пересечений плоскостей и,, кг том. ($25)). уравнение прзиой монне записать в каноническом пзн параметрическом ниде тем.

задачу 2.2). Задача 2.$. Найти рммоменис вевтора п «пх „ау, пх г по тРмй некомпзннзРныи зскюРам Р (Р„,Р, Р,, Р' )~обю Рю Р, р Ринзнп». Преасхйвим вевтор а в виде линейной комбинации зекто)юв Р, 5), р и и и Р х я х ух. Записывай >гвинее пип иошйнне и коордимпах, получим сисшму линейных шнебраичаскпх уранненнй двз определенна зогффнцнснтов а, р, у: пх мрх+гтх - гх о»чорт+))п »У»у; и» игхР» +И»+Уг»- Охшсанпаз выше система уравнений имеет единственное ре.

шенис, посмюькУ некомшмнаРность всхтоРов Рп)рнру„р., Рх Ру Рх фи~Ох, рм дх) Р н)»х»' гх~ 4ннзчнст Гьр»= д о б„, Ф,О „ х гу Р ешагь систему проще всего иеюдом Гаусса. 3.1. Демащнеа нщапне кйемгнрпаа а»майра м амщзмзжчеазщн зяммезрпвз Уелнане. Дано: точки А 10; 3," 2), В 1-1; 4,' 2), 2) (О; 1; 2), 7к А»11;2,'О); чназзаа--30, Ь= — 1', упм р=.—.

6 зулсщь й Састонт кя девяти заданий, згредачпаланных киже. 1. Найтп дпкпу асщара з)жчй~, Еаяп М "Р7 Ьаз); П )71ЧЧ1 Р, я' — еднннчные как»зрю, угщз мекку копзрымн ракен Яз 2. Найтн коорднняззя точка Яз, лепящей кмппр АВ к отноше- ние о:!. 3. Проаернть, ззвкв» лн на кено»раз АВ н АЬ зюатронть па- раллелограмм. Кала дк, го нызтн длннвз сторон пяравзщюзрпмма. 4. Найзп углм меягду днагонялами параллаанрмнна АЖ73. 5. Ниик плоащ»ь пярвщелв рамыа АВС)3. 6. Убсднться, чго ня лекторах АВ, АЗ, АА, можно поазро- нзь параялвзеззнпед.

Няйтн обьем янко параллелепипеда н данну его аыаопя. 7. Найтн коордннкпе вскзоря Агг, нвиравяснного оо высоте пяраплюзсшзпела АЖ7)А»В»С»)3„»зрояекснной кз точкн А к няоакпстн аснояання А»В»Сз))з, коордннщы точка В' к коордн- наты спнннчного вектора, аоазщяающсго по неправ»снам с век- тором Ага.

Я, Най:за разложение кеятаря АФ по векторам АВ„АБ, АА,. 9. Найтн проекция» яекпзра АИ на аноар АА». зрпащь 3. С»»держит четыре запаяна, одно ня которыя с впькз парнянгамн. 1О. Няпнаазь уравнения ззягн нласкосзей: а) Р, проходящей через точкк А, В, 2); б) Рь нроходнмей через пзчку А н прямукз А зйз, в) Рз, ззрзкзолянмй через зочку Аз параллельно плоакоатн Р; )Рь д р йззр АВИААз; д) Р,ь лралодлщей чсрсл та"иги А и Сг лсрлендикуллрно гиискасги Р. 11. Нлйгн рессгалние мюкду врлммми, нл югнгрьгл лелсг'г ребра АВ н СС„налнсвзь канонические ы гмрнмегримнние урвннсния общего к ным ггсрисилнкуллра.

12. Найти точку Аг, симмегричыую изчке Аг относнтсмлго нвоскасти основлнил АВС)3. 13. Найти угол мсмду лрлмой, ыл козорой лежит диюоилль АгС, и югоскастъю основании АВСО. !4.Н Ъ р йу лу АВСЗ)( Р) н АВВтег (гьтаскосгь Рг). Знлвине 1. и т-4'*он+с- Н1 ьб)рь(аь1)о).((1+Ь)р . (о+1)1) = /310 31(г -31Ц .31 (см. формулу (1.8)).