Множества - Символика и терминология (Конспект), страница 3

Íà ðèñ. 7èçîáðàæåí ïîëóèíòåðâàë (2;5].O2Ðèñ. 7.5Ïîëóèíòåðâàë (2;5]×èñëîâûå ïðîìåæóòêè áóäåì âûäåëÿòü øòðèõîâêîé èëè óòîëù¼ííîé ëèíèåé.1.13. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå êîíñòàíòû, ïåðåìåííûå è âûðàæåíèÿìîãóò ïðèíèìàòü âñåãî ëèøü äâà çíà÷åíèÿ: ¾èñòèíà¿ ("true") èëè¾ëîæü¿ ("false"). ×àñòî ýòè çíà÷åíèÿ êîäèðóþòñÿ öèôðàìè ¾èñòèíà¿=1, ¾ëîæü¿=0. Ëîãè÷åñêèå ïåðåìåííûå îáîçíà÷àþò áîëüøèìè èìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè:x, y1 , y2 , A, B , C , .

. . .20Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÊðîìå ëîãè÷åñêèõ êîíñòàíò, ïåðåìåííûõ è âûðàæåíèé, â ìàòå-ìàòè÷åñêîé ëîãèêå ðàññìàòðèâàþòñÿ ¾âûñêàçûâàíèÿ¿, êîòîðûå òàêæå ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå ¾èñòèíà¿ èëè ¾ëîæü¿. Íàïðèìåð, âû-ñêàçûâàíèå ¾−7 < −5¿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ¾èñòèíà¿; âûñêàçûâàíèå2¾x < 4¿ èñòèííî ïðè x ∈ (−2; 2) è ëîæíî ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ x.Ñóùåñòâóþò òðè îñíîâíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè îòðèöàíèå, äèçúþíêöèÿ è êîíúþíêöèÿ.Îòðèöàíèåì íàçûâàåòñÿ (óíàðíàÿ) ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ íàä îäíèì àðãóìåíòîì, äàþùàÿ çíà÷åíèå ¾èñòèíà¿,êîãäà àðãóìåíò ëîæåí, è ¾ëîæü¿, êîãäà àðãóìåíò èñòèíåí.Îïðåäåëåíèå 1.17.Îòðèöàíèå îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðòîé, êîòîðàÿ ñòàâèòñÿ íàä îïåðàíäîìĀèëè¬A.Âñå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè çàäàþòñÿ òàáëèöåé èñòèííîñòè,â êîòîðîé ïåðå÷èñëÿþòñÿ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ îïåðàíäîâ è çíà÷åíèéëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.

Äëÿ îïåðàöèè îòðèöàíèÿ òàáëèöà èñòèííîñòèèìååò âèä òàáë.1.Ïðîñòåéøåå ñâîéñòâî îïåðàöèè îòðèöàíèÿ:Ā¯ = A.Äèçúþíêöèåé äâóõ àðãóìåíòîâ A è B íàçûâàåòñÿ áèíàðíàÿ ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé îáðàçóåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ C , èñòèííàÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè õîòÿáû îäèí èç àðãóìåíòîâ A èëè B ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ¾èñòèíà¿.Îïðåäåëåíèå 1.18.Äèçúþíêöèÿ òàêæå íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêèì èëè, ëîãè÷åñêèì ñëîæåíèåì.Äèçúþíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿA∨BèëèA + B.Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îïåðàöèÿ ¾äèçúþíêöèÿ¿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàáëèöåé èñòèííîñòè òàáë.2.Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà äèçúþíêöèè:A ∨ 0 = A;A ∨ 1 = 1;A ∨ A = A;A ∨ Ā = 1;A ∨ B = B ∨ A;(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C).Ïîýòîìó: A ∨ B ∨ C ∨ D ∨ 1 ∨ · · · = 1.

A ∨ Ā ∨ B · · · = 1.Îïðåäåëåíèå 1.19. Êîíúþíêöèåé äâóõ àðãóìåíòîâ A è B íàçûâàåòñÿ áèíàðíàÿ ëîãè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé îáðàçóåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ C , èñòèííàÿ â òîì è òîëüêî òîìñëó÷àå, åñëè îáà îïåðàíäà A è B èñòèííû.Êîíúþíêöèÿ òàêæå íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêèì è, ëîãè÷åñêèì óìíîæåíèåì.Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÊîíúþíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ èëèA&B ,èëè21A ∧ B,èëèAB .Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ îïåðàöèè ¾êîíúþíêöèÿ¿ ïðåäñòàâëåíà âòàáë.3.Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà êîíúþíêöèè:A&0 = 0;A&1 = A;A&B = B&A;A&A = A;A&Ā = 0;(A&B)&C = A&(B&C)Ïðèîðèòåò ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé: Îòðèöàíèå (âûñøèé ïðèîðèòåò),êîíúþíêöèÿ (ñðåäíèé) è äèçúþíêöèÿ (íèçøèé).A B A∨BA B A&A Ā0000000101101010101100111111Òàáëèöà 1Òàáëèöà 2BÒàáëèöà 3Ïðèâåäåì íåêîòîðûå òîæäåñòâà, ñâÿçûâàþùèå ââåäåííûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè:A&B ∨ A&C = A&(B ∨ C)(A ∨ B)&(A ∨ C) = A ∨ B&CA ∨ B = A&BA&B = A ∨ BÂñå ýòè ôîðìóëû ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûå âû-øå òàáëèöû èñòèííîñòè îñíîâíûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.

Íåêîòîðûåïðàâèëà ìîæíî âûâåñòè, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå çàêîíû. Äëÿ ïðîñòîòûè óäîáñòâà ìàíèïóëÿöèé íàä ëîãè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ëîãè÷åñêèåîïåðàöèè äèçúþíêöèè è êîíúþíêöèè ìîæíî îáîçíà÷àòü êàê â ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêå+ è · (çíàê óìíîæåíèÿ ìîæíî íå ïèñàòü). Äîêàæåìòàê íàçûâàåìûå ïðàâèëà ïîãëîùåíèÿ:A ∨ A&B = AÄîêàçàòåëüñòâî:A&(A ∨ B) = AA ∨ A&B = A + A · B = A(1 + B) = A · 1 = A.A&(A ∨ B) = A(A + B) = AA + AB = A + AB == A(1 + B) = A · 1 = A.A ∨ A&B ∨ A&C&D = AÄîêàçàòåëüñòâî: A ∨ A&B ∨ A&C&D = A + AB + ACD = A(1 + B ++ CD) = A · 1 = A.Äîêàçàòåëüñòâî:22Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. ÌíîæåñòâàËîãè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîæíî ïåðåìíîæàòü êàê â îáû÷íîé àëãåá-(A ∨ B)&(C ∨ D) = A&C ∨ A&D ∨ B&C ∨ B&D,(A + B)(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · Dðå, ðàñêðûâàÿ ñêîáêè:èëè â äðóãîé çàïèñè:Ïðèìåð 1.7.

Íàéòè çíà÷åíèå ëîãè÷åñêîãî âûðàæåíèÿA&B ∨ C&B ∨ D&B ∨ A&B&C ∨ A&B&E ïðè A = 1Ð å ø å í è å:Ïåðåïèñûâàåì âûðàæåíèå â áîëåå íàãëÿäíîé èïðèâû÷íîé ôîðìå: AB + CB + DB + ABC + ABE = (AB + AB ++ ABE) + CB + DB = AB(1 + C + E) + B(C + D) = AB + B(C + D) == B(A + C + D) = B(1 + (C + D)) = B · 1 = BÍàéòè çíà÷åíèå ëîãè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ A ∨ A&B ∨∨ C&D ∨ C&D&E ∨ A&F ïðè C = 0Ïðèìåð 1.8.Ð å ø å í è å: A + AB + CD + CDE + AF = (A · 1 + AB + AF ) ++ C(D + DE) = A(1 + B + F ) + 0(D + DE) = A · 1 + 0 = AÍàéòè çíà÷åíèå ëîãè÷åñêîãî âûðàæåíèÿA&B ∨ A&B&C ∨ A&B&D ∨ B&D ∨ B&E&F ïðè D = 1Ïðèìåð 1.9.Ð å ø å í è å: AB + ABC + ABD + BD + BEF = AB(1 + C + D) ++ BD + BEF = AB + B(D + EF ) = AB + B(1 + EF ) = AB + B = BÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1.

ÌíîæåñòâàÏðè ðåøåíèè ïðèìåðîâ äàííîãî ïðàêòè÷åñêîãî çàíÿòèÿ èñïîëüçóåòñÿ ìàòåðèàë ñðåäíåé øêîëû è ìàòåðèàë ëåêöèè 1. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà èíòåðâàëîâ äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ èëëþñòðèðóåòñÿ ïðèìåðàìè1.21.5Ïóñòü A = [−3; 5], B = (−5; 7), C = [1; 2]. Íàéäèòåìíîæåñòâî: A0 = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C).Ïðèìåð 1.1.Ð å ø å í è å:Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåçóëüòàòà îïåðàöèé íàä ÷èñëî-âûìè ïðîìåæóòêàìè èõ óäîáíî èçîáðàæàòü íà ÷èñëîâûõ îñÿõ, ðàñïîëîæåííûõ îäíà ïîä äðóãîé ñ ñîãëàñîâàííûì íà÷àëîì è îäèíàêîâûììàñøòàáîì.

Åñëè èñõîäíûå ïðîìåæóòêè À è  çàøòðèõîâàòü, òî èõïåðåñå÷åíèåì áóäåò ìíîæåñòâî òî÷åê, çàøòðèõîâàííûõ íà êàæäîé èçîñåé (ðèñ. 8), à èõ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâî òî÷åê, çàøòðèõîâàííûõõîòÿ áû íà îäíîé èç îñåé (ðèñ. 9).Ïîëüçóÿñü ýòèì ïðàâèëîì, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èìè, íàêîíåö,(A ∩ B) ∪ (B ∩ C)(ðèñ. 8, 10, 11).A ∩ B, B ∩ CÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1.

Ìíîæåñòâà-3235A-57BUA B-3Ðèñ. 8.5Íàõîæäåíèå ïåðåñå÷åíèÿ-3[−3; 5] ∩ (−5; 7)5A-57BAUB7-5Ðèñ. 9.Íàõîæäåíèå îáúåäèíåíèÿ-5[−3; 5] ∪ (−5; 7)7B12CUB C1Ðèñ. 10.Îòâåò:2Íàõîæäåíèå ïåðåñå÷åíèÿ(−5; 7) ∩ [1; 2]A0 = [−3; 5].Íàéäèòå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà:A0 = {x | (2 − 3x)(x + 4)(x − 2) > 0}.Ïðèìåð 1.2.Ð å ø å í è å: Íåðàâåíñòâî(2 − 3x)(x + 4)(x − 2) > 0ðåøèì ìå-òîäîì èíòåðâàëîâ, äëÿ ÷åãî íàíåñåì íà ÷èñëîâóþ îñü çíà÷åíèÿ x, ïðè2êîòîðûõ ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà îáðàùàåòñÿ â íîëü: x1 = , x2 = −4,3x3 = 2. (ðèñ.

12)24Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. Ìíîæåñòâà5-3UA B2UB CÐèñ. 11.+(A B)U(B C)Ðåøåíèå ïðèìåðà 1.1--+-4Ðèñ. 12.U5-3U1232Ðåøåíèå ïðèìåðà 1.2Ñàìè ýòè çíà÷åíèÿ íå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè ¾âûêîëîòû¿.Çíàêè âûðàæåíèÿ â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà îïðåäåëèì, ïîäñòàâëÿÿ â íåãî ïî îäíîìó çíà÷åíèþ èç êàæäîãî èíòåðâàëà, íà êîòîðûåâñå ìíîæåñòâîRðàçáèëîñü òî÷êàìèx1 , x2 , x3 .Îòìåòèì øòðèõîâêîéòå èíòåðâàëû, íà êîòîðûõ âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíî. Ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì.2Îòâåò:A0 = (−∞; −4) ∪ ( ; 2).3Ïðèìåð 1.3. Çàäàéòå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ìíîæåñòâî:A0 ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 5 èëè áîëüøèõ 10.Ð å ø å í è å:  óñëîâèè òðåáóåòñÿ,÷òîáû íàòóðàëüíûå ÷èñëà áûëè ìåíüøå 5 èëè áîëüøå 10, ò.å.

èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü îáúåäèíåíèåäâóõ ïîäìíîæåñòâ: ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 5 è áîëüøèõ 10.Îòâåò:A0= {x|x < 5, x ∈ N } ∪ {x|x > 10, x ∈ N }.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. ÌíîæåñòâàÏðèìåð 1.4.{25Ðåøèòå ñèñòåìó íåðàâåíñòâ:(x − 3)(x + 2) < 0,(5 − 2x)(x + 1) > 0.Ð å ø å í è å: Ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ åñòü ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ ðåøåíèé êàæäîãî èç âõîäÿùèõ â ñèñòåìó íåðàâåíñòâ.

Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü ïðè ðåøåíèè ïðèìåðà 1.2, ðåøèì êàæäîåèç íåðàâåíñòâ ñèñòåìû ìåòîäîì èíòåðâàëîâ è íàéäåì èõ ïåðåñå÷åíèå(ðèñ 13).+-+-23--1+2,5-1Îòâåò:(5-2x)(x+1)>0{(x-3)(x+2)<0(5-2x)(x+1)>0Ðåøåíèå ïðèìåðà 1.4x ∈ (−1; 2, 5).Ïðèìåð 1.5. {-2,5Ðèñ. 13.(x-3)(x+2)<0Ðåøèòå ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì íåðàâåíñòâ:x3 − 5x2 + 6x > 0,22+ 7) < 0, { (x3 − 1)(x2x − x + x − 1 < 0,x2 + x − 2 < 0.Ð å ø å í è å: Ðåøåíèå ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì íåðàâåíñòâ åñòü îáúåäèíåíèå ðåøåíèé êàæäîé ñèñòåìû, âõîäÿùåé â ñîâîêóïíîñòü.

Äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëîæèì êàæäûé ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâåäåíèå ñ ïîìîùüþ êîðíåé: {x3 − 5x2 + 6x > 0,22+ 7) < 0, { (x3 − 1)(x2x − x + x − 1 < 0,x2 + x − 2 < 0. {x(x − 2)(x − 3) > 0,2{ (x + 1)(x2− 1)(x + 7) < 0,⇐⇒ (x − 1)(x + 1) < 0,(x + 2)(x − 1) < 0.Ðåøåíèå ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì ìåòîäîì èíòåðâàëîâ ïðåäñòàâëåíîíà ðèñ. 1426Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1. Ìíîæåñòâà-0+-2--1-3+ -2+-1+1+01-21-2110-21{x(x-2)(x-3)>0(x+1)(x-1)(x2+7)<0Ðèñ. 14.Îòâåò:1{(x-1)(x2+1)<0(x+2)(x-1)<0Ðåøåíèå ïðèìåðà 1.5x ∈ (−2; 1)Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÏðèìåð 1.6.Ïóñòü A = [−3; 5], B = (−5; 7), C = [1; 2).

Íàéäèòåìíîæåñòâà:A1 = A ∩ B ∩ C,A2 = A ∪ B ∪ C.A3 = (A ∪ B| ∩ C.A4 = (A ∩ B) ∪ C.A5 = A ∪ (B ∩ C).A6 = A ∩ (B ∪ C).A7 = B \ A.Ïðèìåð 1.7. Íàéäèòå ýëåìåíòûA1 = {x|5x − 6 − x2 = 0},A2 = {a|5 − a2 = 0},A3 = {y|6y + y 2 = 0},A4 = {x|(x − 1)(2x + 1)(x + 3) = 0},A5 = {x|x2 + 1 = 0},C = {x|1 < x < 5, x ∈ N },E = {x|x = 1 + (−1)n · 3, n ∈ N }.Ïðèìåð 1.8.ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:B1 = {x|5x − 6 − x2 < 0},B2 = {a|5 − a2 > 0},B3 = {y|6y + y 2 6 0},B4 = {x|(x − 1)(2x + 1)(x + 3) < 0},B5 = {x|x2 + 1 > 0},D = {x|x = (−1)n , n ∈ N },Çàäàéòå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ìíîæå-ñòâà:A1 ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 2 è ìåíüøèõ 5,A2 ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íå áîëüøèõ 5,A3 ìíîæåñòâî âñåõ îòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë,A4 ìíîæåñòâî âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë,Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1.

Ìíîæåñòâà27A5 ìíîæåñòâî âñåõ îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë,A6 ìíîæåñòâî âñåõ öèôð, ò.å.{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.Ðåøèòå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ, ïðèâåäåííûå â ïðèìåðàõ{Ïðèìåð 1.9.x2 − 6x + 15 > 0,x2 − 4x + 3 > 0.{Ïðèìåð 1.10.{Ïðèìåð 1.11.{Ïðèìåð 1.12.Ïðèìåð 1.13.1.9 1.13.x2 − 4x − 8 > 0,x2 − 8 < 0.(x − 3)(2 − x) > 0,4x2 + 12x + 11 > 0.8 − x2 > 0,x + 2 > 8 − x2 . x + 5 > 0,1 − x > 0,x + 5 < (1 − x)2 .Ðåøèòå ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì íåðàâåíñòâ, ïðèâåäåííûå â ïðèìåðàõ1.14 1.18.Ïðèìåð 1.14.Ïðèìåð 1.15.Ïðèìåð 1.16. {−x2 + 6x − 5 > (8 − 2x)2 , { 8 − 2x > 0,1 6 x 6 5,8 − 2x < 0.  2 x > 1,2  2+x<x , { 2 + x2> 0,0 < x < 1,x2 < 2 + x. {x − 3 > 0,x−3 { x2 −5x+6 > 2,x − 3 < 0,3−x> 1.x2 −5x+628Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 1.

Ìíîæåñòâà {Ïðèìåð 1.17.Ïðèìåð 1.18.7 − x > 0,5x+ 1 > (7 − x)2 , {5x + 1 > 0,7 − x < 0. {x > 1,2x+ 25> 1,5(1−x) {0 < x < 1,2x+ 520 < 5(1−x)< 1.Ïðèìåð 1.19. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ÷èñëà:à)90; á)120; â)48; ã)54.Ïðèìåð 1.20. Íàéäèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå è íàèáîëüøèéîáùèé äåëèòåëü ÷èñåë:à)90 è 120; á)48 è 54.Ïðèìåð 1.21.

Íàéäèòå öåëóþ ÷àñòü è îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñåë:à) 17; á) 22; â) 62 ; ã) 23 .35Ïðèìåð 1.22. Ïðåäñòàâüòå â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè:44à)− 25; á) 29 ; â)− 17; ã)2 11.16Ïðåäñòàâüòå â âèäå îáûêíîâåííîé äðîáè:à)2, 04; á)−3, 12; â)5, (3); ã)1, 2(3).Ïðèìåð 1.23.Ïðèìåð 1.24.à)0, (2) + 0, (3),á)0, (2) − 0, (37),Âû÷èñëèòå áåç ïîìîùè êàëüêóëÿòîðà:( 2 +0,(3)):0,253â) 0,12(3):0,0925+ 12, 5 · 0, 32.Ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåâåäèòå ïåðèîäè÷åñêèå äðîáè â ïðîñòûå è íåçàáûâàéòå ïîðÿäîê îïåðàöèé: ñíà÷àëà âû÷èñëÿåòñÿ âûðàæåíèå â ñêîáêàõ, ïîòîì îïåðàöèè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü (èçâëå÷åíèå êîðíÿ), óìíîæåíèå è äåëåíèå, çàòåì ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå..