Множества - Символика и терминология (Конспект), страница 2

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÍàðÿäó ñ ïðÿìîé òåîðåìîé1.1 ìîæíî ðàññìîòðåòü óòâåðæäåíèå,íàçûâàåìîå ¾îáðàòíîé òåîðåìîé¿ :Òåîðåìà 1.4.B =⇒ A.Îäíàêî îáðàòíàÿ òåîðåìà íå âñåãäà ñïðàâåäëèâà, åñëè âåðíà ïðÿìàÿ. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ òåîðåìû 1.2 îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: ¾Åñëè ó÷åëîâåêà åñòü ãîëîâà, òî îí çäîðîâ¿, î÷åâèäíî, íå âåðíî.Åñëè âñå æå òåîðåìà 1.4 ñïðàâåäëèâà, òî ìåòîäîì ¾îò ïðîòèâíîãî¿èñõîäÿ èç íå¼ äîêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ, íàçûâàåìîãî ¾ïðîòèâîïîëîæíàÿ òåîðåìà¿:Òåîðåìà 1.5.Ā =⇒ B̄Íàîáîðîò, èç òåîðåìû1.5 âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 1.4,ò.å. ýòè óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû. Çàìåòèì, ÷òî èç ïðÿìîé òåîðåìû1.1 íå îáÿçàòåëüíî ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ïðîòèâîïîëîæíîé òåîðåìû1.5.Ïðèâåäåííûå ñâÿçè óäîáíî çàïîìèíàòü, ïðåäñòàâëÿÿ ñåáå ñëåäóþùèé ¾ëîãè÷åñêèé êâàäðàò¿ (ðèñ.

5):A =⇒ BÏðÿìàÿ òåîðåìà⇕B =⇒ AÏðîòèâîïîëîæ-íàÿ ê îáðàòíîé òåîðåìàÐèñ. 5.B =⇒ AìàÎáðàòíàÿ òåîðå-⇕A =⇒ BÏðîòèâîïîëîæ-íàÿ òåîðåìàËîãè÷åñêèé êâàäðàòÅñëè íàðÿäó ñ ïðÿìîé òåîðåìîé âûïîëíÿåòñÿ òàêæå îáðàòíàÿ òåîðåìà, òî À ÿâëÿåòñÿ ¾íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì¿ óñëîâèåì äëÿ Â.Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü ïðî  ïî îòíîøåíèþ ê À.Òàê, íàïðèìåð, òî, ÷òî òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé, ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òî êâàäðàò îäíîé èç ñòîðîíðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ.Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà.

Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ151.6. Ìíîæåñòâî N íàòóðàëüíûõ ÷èñåëÎïðåäåëåíèå 1.8.×èñëà 1,2,3,... íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè.Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áóäåò ÷èñëîì íàòóðàëüíûì, à ðàçíîñòü è ÷àñòíîå íå âñåãäà. Ïðè âû÷èòàíèè íàòóðàëüíûõ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, à ïðè äåëåíèè íå öå7ëîå. Íàïðèìåð, ïðè äåëåíèèïîëó÷èòñÿ öåëàÿ ÷àñòü 2 è 1 â îñòàòêå,371÷òî çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì: =2+ .33Ïðèâîäÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: 7 = 2 · 3 + 1. ýòèõ ðàâåíñòâàõ 7 íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, 3 äåëèòåëåì, 2 öåëîé ÷àñòüþ è 1 îñòàòêîì (îñòàòîê âñåãäà ìåíüøå äåëèòåëÿ). Åñëè îñòàòîê ðàâåí íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî äåëèìîå äåëèòñÿ íà äåëèòåëü, êàê, íàïðèìåð, 6 äåëèòñÿ íà 3.

Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû, äåëèòñÿ òîëüêî íà 1 è íà ñåáÿ (÷òî âñåãäà ñïðàâåäëèâî), òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì. Ïðîñòûìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 2,3,5,7,11,13,17,19,23 è ò.ä. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð :12 = 1 · 2 · 2 · 3, 18 = 1 · 2 · 3 · 3, 7 = 1 · 7è ò.ä.Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì äâóõ äàííûõíàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå èç ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà êàæäîå èç íèõ.Îïðåäåëåíèå 1.9.Äëÿ ëþáûõ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà íàéäåòñÿ íàèìåíüøååîáùåå êðàòíîå, ïîñêîëüêó èõ ïðîèçâåäåíèå âñåãäà äåëèòñÿ íà êàæäîåèç äâóõ äàííûõ.Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå 12 è 18 ðàâíî 36.

Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ ÷èñåë, íóæíî ïåðâîå ÷èñëî äîìíîæèòü íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå âòîðîãî ÷èñëàè íå âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå ïåðâîãî:12 · 3 = 36.Íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì äâóõ äàííûõíàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå èç ÷èñåë, íà êîòîðûå äåëèòñÿ êàæäîå èç íèõ.Îïðåäåëåíèå 1.10.Äëÿ ëþáûõ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà íàéäåòñÿ íàèáîëüøèéîáùèé äåëèòåëü, ïîñêîëüêó ëþáûå äâà ÷èñëà âñåãäà äåëÿòñÿ íà åäèíèöó. Åñëè ó äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåò äðóãèõ îáùèõ äåëèòåëåéêðîìå åäèíèöû, îíè íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü 12 è 18 ðàâåí 6.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè íàèáîëüøèé16Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿîáùèé äåëèòåëü äâóõ ÷èñåë, íóæíî ïåðåìíîæèòü îáùèå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, âõîäÿùèå â ðàçëîæåíèå è îäíîãî, è äðóãîãî ÷èñëà:1 · 2 · 3 = 6.1.7. Ìíîæåñòâî Z öåëûõ ÷èñåëÎïðåäåëåíèå 1.11. Íàòóðàëüíûå, ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì ÷èñëàì è íîëü îáðàçóþò ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (ìíîæåñòâîZ).Ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è ðàçíîñòü öåëûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ÷àñòíîå íå âñåãäà. Èíîãäà ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿZ− .Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë:N ⊂ Z.1.8. Ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåëÐàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè íàçûâàþòñÿ ÷èñëàmâèäà , ãäå m öåëîå (m ∈ Z), n íàòóðàëüíîå (n ∈ N), m è n âçàèìíînïðîñòûå.

Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ Q.Îïðåäåëåíèå 1.12.Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ò.ê. ëþáîå öåëîå (÷èñëî) m ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ðàöèîíàëüíîå, ïðåäñòàâèâ â âèäåm1. Ñóììà, ïðîèçâåäåíèå, ðàç-íîñòü, ÷àñòíîå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë (ïðè íåíóëåâîì çíàìåíàòåëå) ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì ðàöèîíàëüíûì, îäíàêî êîðåíü èç ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà√ √2, ( 3 è) ò.ä.m÷èñëîìîæíîn íå âñåãäà, êàê, íàïðèìåð,Âñÿêîå ðàöèîíàëüíîåïðåäñòàâèòü â âèäå äå-ñÿòè÷íîé äðîáè, êîíå÷íîé èëè ïåðèîäè÷åñêîé.

È íàîáîðîò, ëþáàÿ êîíå÷íàÿ èëè ïåðèîäè÷åñêàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü ìîæåò áûòü çàïèñàíà ââèäå ïðîñòîé äðîáè.(Ïðèìåð 1.5.965132)( )( )( )142= 0, 5;= 0, 8;= 0, 666... = 0, (6);253= 7, 31(06).Äâå ïîñëåäíèå äåñÿòè÷íûå äðîáè áåñêîíå÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå. Ïîâòîðÿþùèåñÿ öèôðû íàçûâàþòñÿ ïåðèîäîì äðîáè è ïèøóòñÿ â ñêîáêàõ, êîëè÷åñòâî ýòèõ öèôð íàçûâàåòñÿ äëèíîé ïåðèîäà. Äëÿ îáðàòíîãîËåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ17ïðåîáðàçîâàíèÿ êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîéåå íóæíî ïðåäñòàâèòü â( )äðîáè( )âèäå ïðîñòîé è ñîêðàòèòü:0, 8 =810=45.

Íà ñàìîì äåëå ðàçíè-öà ìåæäó êîíå÷íîé äðîáüþ è ïåðèîäè÷åñêîé íåïðèíöèïèàëüíàÿ. Òàê,0, 5 = 0, 4(9).Ïåðåâîä ïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè â ïðîñòóþ îáúÿñíèì íàïðèìåðå.Ïðèìåð 1.6.Çàïèñàòü â âèäå ïðîñòîé äðîáè 0,(6)x: 0,(6)=x,òîãäà, ò.ê.10·x = 10·0, 666... = 6, 666..., ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî 10·x = 6+x.62Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì: 9 · x = 6 ⇔ x == .93Îïðåäåëåíèå 1.13.

Öåëîé ÷àñòüþ ÷èñëà íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøååöåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå äàííîå. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x îáîçíà÷àåòñÿ [x].[]13Ïðèìåðû. [3, 56] = 3; [0, 12] = 0; [−0, 12] = −1; −= −4;4[5] = 5; [0] = 0.Ð å ø å í è å: Ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü 0,(6) îáîçíà÷èì çàÄðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ.

Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà îáîçíà÷àåòñÿ {x}. Îíà ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû è íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ:0 6 {x} < 1.Îïðåäåëåíèå 1.14.3, 56 = 0, 56; 0, 12 = 0, 12; −0, 12 = 0, 88;3= ; 5 = 0; 0 = 0.4Ïðèìåðû.{}13−41.9. Ìíîæåñòâî J èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåëÎïðåäåëåíèå 1.15. Èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü.√ √ √Ïðèìåðàìè èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ2, 3, 3 11, π , eè ò.ä. Çàìåòèì, ÷òî J ∩ Q = ⊘. Èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî íåëüçÿ ïðåä-ñòàâèòü â âèäå ïðîñòîé äðîáè, åãî òàêæå íåâîçìîæíî ¾âûïèñàòü äîêîíöà¿ (ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè), ïîýòîìó çàïèñü√2 = 1, 41îøèáî÷íà, ñëåäóåò ïèñàòüÇàäàííîå áåñêîíå÷íîé√2 ≈ 1, 41.íåïåðèîäè÷åñêîé äðîáüþ èððàöèîíàëüíîå÷èñëî îïðåäåëÿåò äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíå÷íûõ (ðàöèîíàëüíûõ)18Ëåêöèÿ 1.

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿäåñÿòè÷íûõ äðîáåé, íàçûâàåìûõ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Íàïðèìåð, äëÿ√1<2<2,√1,4<√2<1,5,1,41<2<1,42....√2ìîæíî íàïèñàòü: èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòàõ ïðè çàìåíå èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èõ ðàöèîíàëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè äîñòàòî÷íî âî âñåõ âû÷èñëåíèÿõ áðàòüíà îäèí çíàê áîëüøå, ÷åì òðåáóåòñÿ â ðåçóëüòàòå, è çàòåì îêðóãëèòüðåçóëüòàò.Äëÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü öåëóþ è äðîáíóþ ÷àñòè, ïðè÷¼ì äëÿx ∈ J ⇒ {x} ∈ J.1.10. Ìíîæåñòâî R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëÎïðåäåëåíèå 1.16. Âñå ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëàîáðàçóþò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ (âåùåñòâåííûõ) ÷èñåë:R = Q ∪ J. ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë âñåãäà âûïîëíèìû ñëîæåíèå,âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå, äåëåíèå (íå íà íîëü), âîçâåäåíèå â ëþáóþ äeéñòâèòåëüíóþ ñòåïåíü ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà, èçâëå÷åíèå êîðíÿ íå÷¼òíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåâîçìîæíî èçâëå÷åíèå êîðíÿ÷¼òíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà.1.11.

×èñëîâàÿ îñüÌíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìîæíî äàòü ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Âûáåðåì íà ïðÿìîé ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå (óêàçûâàåòñÿ ñòðåëêîé), íà÷àëî îòñ÷¼òà è åäèíèöó ìàñøòàáà.Òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé îñüþ. Êàæäîé å¼ òî÷êå ìîæíîïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëîëîæåííîé íà îñè íà ðàññòîÿíèèñïðàâà îòO)O),xèçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé, ðàñïî-â íàïðàâëåíèè ñòðåëêè (íà ðèñ. 6îòðèöàòåëüíîå ñ äðóãîé ñòîðîíû (íà ðèñ.

6 ñëåâà îòíà ðàññòîÿíèè×èñëîxxxîòO.íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòîé ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè íà ÷èñ-ëîâîé îñè. Èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå áóäåò òî, êîòîðîå ðàñïîëîæåíî íà÷èñëîâîé îñè äàëüøå â íàïðàâëåíèè ñòðåëêè (íà ðèñ. 6 ïðàâåå).Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà.

Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ12-2-1OÐèñ. 6.Íàïðèìåð,321199423×èñëîâàÿ îñü−1 > −2.1.12. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêèÅñëè èçâåñòíû äâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëà a è b,a < b,òî ìîæíîîïðåäåëèòü ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàõîäÿùèõñÿ ìåæäó äâóìÿ äàííûìè ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè.[a; b] = {x | a 6 x 6 b},(a; b) = {x | a < x < b}.Îòðåçîê (ñåãìåíò)Èíòåðâàë ÷àñòíîñòè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áåñêîíå÷íûå èíòåðâàëû:(−∞; +∞) = {x ∈ R} , (a; +∞) = {x | x > a} , (−∞; b) = {x | x < b}.Ïîëóèíòåðâàë. [a; b) = {x | a 6 x < b} , (a; b] = {x | a < x 6 b}. ÷àñòíîñòè, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áåñêîíå÷íûå ïîëóèíòåðâàëû:[a; +∞) = {x | x > a} , (−∞; b] = {x | x 6 b}.×èñëîâûå ïðîìåæóòêè èçîáðàæàþò íà ÷èñëîâîé îñè, ïðè÷¼ì åñëèãðàíè÷íàÿ òî÷êà ïðèíàäëåæèò ïðîìåæóòêó îíà çàêðàøåíà, åñëèíåò èçîáðàæàåòñÿ ñâåòëûì êðóæêîì (¾âûêàëûâàåòñÿ¿).