Множества - Символика и терминология (Конспект)

8Ëåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÃËÀÂÀ IÂâåäåíèåËåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÏðåäìåò ìàòåìàòèêè. Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.Êâàíòîðû îáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ. ×èñëîâûå ìíîæåñòâà. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîéëîãèêè.1.1. Ïðåäìåò ìàòåìàòèêèÌàòåìàòèêà ýòî òî÷íàÿ àáñòðàêòíàÿ íàóêà, îïåðèðóþùàÿ ñâîèìè ñïåöèàëüíûìè ïîíÿòèÿìè, ñòðóêòóðàìè è ñèìâîëàìè. Îñíîâíûìèìåòîäàìè â ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ÿâëÿþòñÿ ñòðîãèå ëîãè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, à îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.Íî àáñòðàêòíîñòü ìàòåìàòèêè íå îçíà÷àåò å¼ îòðûâ îò ðåàëüíîé æèçíè. Ðåàëüíûå çàäà÷è îïèñûâàþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíàõ, êàêïðàâèëî, â áåçðàçìåðíîì âèäå.

Ýòî åñòü òàê íàçûâàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ. Ïðè ðåøåíèè óæå ïîñòàâëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîéçàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû.Îäíà è òà æå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìîæåò îïèñûâàòü ñâîéñòâàðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé. Ñàìî ðåàëüíîå ÿâëåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ âíîâü ïîñëå ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è è å¼ àíàëèçà, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî ìîãóò áûòü ñäåëàíû âûâîäû íå òîëüêî î ñîñòîÿíèèÿâëåíèÿ, íî è î åãî ðàçâèòèè.  ýòîì ñìûñëå áåç ìàòåìàòèêè íåò íàóêè. Åù¼ âåëèêèé Ëåîíàðäî äà Âèí÷è ïèñàë: ¾Íèêàêîé äîñòîâåðíîñòèíåò â íàóêàõ òàì, ãäå íåëüçÿ ïðèìåíèòü íè îäíó èç ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê, è â òîì, ÷òî íå èìååò ñâÿçè ñ ìàòåìàòèêîé.¿ È åù¼: ¾Íè îäíî ÷åëîâå÷åñêîå èññëåäîâàíèå íå ìîæåò íàçûâàòüñÿ èñòèííîé íàóêîé,åñëè îíî íå ïðîøëî ÷åðåç ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà.¿Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èãðàþò îãðîìíóþ ðîëü â îáðàçîâàíèè ñîâðåìåííîãî âûñîêîêâàëèôèöèðîâàííîãî ñïåöèàëèñòà â òåõíè÷åñêèõîáëàñòÿõ, ïðåäîñòàâëÿÿ åìó àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ, äèñöèïëèíèðóÿ,ïðèó÷àÿ ê ñòðîãèì ëîãè÷åñêèì ðàññóæäåíèÿì.

Ïîñêîëüêó ÿçûê è ìåòîäû ìàòåìàòèêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ñîâðåìåííîì ïðåïîäàâàíèè âñåõ åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è òåõíè÷åñêèõ äèñöèïëèí, ìàòåìàòèêàËåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ9èçó÷àåòñÿ ñ ïåðâîãî ñåìåñòðà â ëþáîì âûñøåì òåõíè÷åñêîì ó÷åáíîìçàâåäåíèè, è íà íå¼ âûäåëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü âðåìåíè ñòóäåíòà.Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ íåêîòîðîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñèìâîëèêè è òåðìèíîëîãèè.1.2. Ìíîæåñòâà.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ,íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàìè ýòîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìîæíî ãîâîðèòüî ìíîæåñòâå ñòóäåíòîâ äàííîãî âóçà, ìíîæåñòâå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå, ìíîæåñòâå òðåóãîëüíèêîâ, ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëè ò.ä. Ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàþòñÿêîíå÷íûìè (ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ, ìíîæåñòâî ó÷åáíèêîâ). Ìíîæåñòâàñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íûìè (ìíîæåñòâî òðåóãîëüíèêîâ, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë).Ìíîæåñòâî îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìèA, B , C , . . .,a, b, c, . .

..x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À¿ çàïèñûâàåòñÿ òàê : x ∈ A, à ïðîòèâîïîëîæíîå óòâåðæäåíèå ¾ýëåìåíò x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À¿ çàïèñûâàåòñÿ òàê : x ∈/ A.à èõ ýëåìåíòû ìàëûìèÓòâåðæäåíèå ¾ýëåìåíòÎïðåäåëåíèå 1.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà À ïðèíàäëåæàò òàêæå ìíîæåñòâó Â, òî ãîâîðÿò, ÷òî ¾À ñîäåðæèòñÿ â ¿èëè: ¾À ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ¿, è çàïèñûâàþò òàê: A ⊂ B.Äâà ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ñîâïàäàþùèìè), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ: A = B .Îïðåäåëåíèå 1.2.Ïðèìåð 1.1. Ñôîðìóëèðóéòå ñëîâàìè óòâåðæäåíèå:A = B ⇐⇒ A ⊂ B è B ⊂ A è äîêàæèòå åãî.Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü ïåðå÷èñëåíèåì åãî ýëåìåíòîâ.Òàê, çàïèñü À = {1;2;3} îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç òð¼õ÷èñåë 1,2,3.

Ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ íå èãðàåò ðîëè:{1;2;3} = {3;2;1}.Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü, íàïèñàâ óñëîâèå, êîòîðîåâûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ äàííîãî ìíîæåñòâà è íå âûïîëíÿåòñÿäëÿ äðóãèõ. ÇàïèñüB = {x | 1 < x < 2}îçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë, áîëüøèõ îäíîãî, íî ìåíüøèõ äâóõ.10Ëåêöèÿ 1.

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÌíîæåñòâî óäîáíî ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæàòü â âèäå ¾äèàãðàììÝéëåðà¿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð íà ïëîñêîñòè, âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîòîðûõ îòðàæàåò îòíîøåíèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè. Òàê, íàïðèìåð, åñëè÷àñòüþCA ⊂ BèB ⊂ C,òîAèçîáðàæàåòñÿ ÷àñòüþB,àB(ðèñ. 1). Ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû Ýéëåðà íà ðèñ. 1 íàãëÿä-íî âèäíî ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè îïåðàöèè âêëþ÷åíèÿ ìíîæåñòâ:A ⊂ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.CABÐèñ. 1.Äèàãðàììà ÝéëåðàÌíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì, åñëè îíîíå ñîäåðæèò íè îäíîãî ýëåìåíòà.

Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿñèìâîëîì ⊘.Îïðåäåëåíèå 1.3.Òàê, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïóñòî.1.3. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìèÏåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî Ñ, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, îäíîâðåìåííî âõîäÿùèõ è â À, è â Â. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: A ∩ B = C .Îïðåäåëåíèå 1.4.Èëëþñòðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ äèàãðàììÝéëåðà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 2, ãäå ìíîæåñòâî Ñ çàøòðèõîâàíî.Ïðèìåð 1.2. Åñëè ìíîæåñòâî A åñòü èíòåðâàë (1;5) à ìíîæåñòâî B åñòü èíòåðâàë (2;7), òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è B åñòüèíòåðâàë (2;5).Ñâîéñòâà îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ:1.A∩B =B∩A(êîììóòàòèâíîñòü).Ëåêöèÿ 1.

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ111100000000111100001111000000001111A 1111000011110000111100001111Ðèñ. 2.2.3.4.5.11BÏåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è BA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ CA ⊂ B =⇒ A ∩ B = A.A ∩ A = A.A∩⊘=⊘(àññîöèàòèâíîñòü).Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ è íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî , ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìó èç äàííûõ ìíîæåñòâ èëè À, èëè Â, èëè À è îäíîâðåìåííî.

Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: A ∪ B = C .Îïðåäåëåíèå 1.5.11111000000000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111AÐèñ. 3.BÎáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è BÈëëþñòðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì äèàãðàìì Ýéëåðà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3, ãäå ìíîæåñòâîCçàøòðèõîâàíî.Åñëè ìíîæåñòâî A åñòü îòðåçîê [1; 3], ìíîæåñòâîB åñòü îòðåçîê [2; 5], òî A ∪ B åñòü îòðåçîê B = [1; 5].Ïðèìåð 1.3.Ñâîéñòâà îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ:1)2)3)4)5)6)A ∪ B = B ∪ A (êîììóòàòèâíîñòü).A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C (àññîöèàòèâíîñòü).A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü).A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B.A ∪ A = A.A ∪ ⊘ = A.12Ëåêöèÿ 1.

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿÎïðåäåëåíèå 1.6. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ B. Ðàçíîñòü A è B îáîçíà÷àåòñÿ A\Bè èçîáðàæåíà øòðèõîâêîé íà ðèñ. 4.111111100000000000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111AÐèñ. 4.BÐàçíîñòü ìíîæåñòâ A è BÎïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ ìíîæåñòâ íå êîììóòàòèâíà :Ïðèìåð 1.4.= [10; 20).A \ B ̸= B \ A.Åñëè A = (1; 10), B = (3; 20), òî A\B = (1; 3], B\A=1.4.

Êâàíòîðû îáùíîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿÏðè èçëîæåíèè ìàòåðèàëà ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü çíàêâàåìûé êâàíòîðîì îáùíîñòè, è çíàê∀x∃,∀,íàçû-íàçûâàåìûé êâàíòîðîì ñóùå-x¿, ¾äëÿ âñåõ x¿, ¾äëÿêàæäîãî x¿, ¾êàêîå áû íè áûëî x¿. Çàïèñü ∀x > 0 îçíà÷àåò: ¾äëÿ âñåõïîëîæèòåëüíûõ x¿. Çàïèñü ∀x ∈ M ÷èòàåòñÿ: ¾äëÿ âñåõ x, ïðèíàäëåñòâîâàíèÿ. Ñèìâîëæàùèõ ìíîæåñòâó Ì¿.îçíà÷àåò:¾äëÿ ëþáîãî∃x îçíà÷àåò: ¾ñóùåñòâóåò òàêîå õ, ÷òî . .

.¿, ¾ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îäíîãî x...¿, çàïèñü ∃x > 0 ÷èòàåòñÿ: ¾ñóùåñòâóåò òàêîåïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî x, ÷òî...¿, çàïèñü ∃x1 , x2 ∈ M îçíà÷àåò: ¾ñóùåñòâóþò òàêèå x1 , x2 ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ì, ÷òî . . .¿.Íàì òàêæå íåîäíîêðàòíî ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû ⇒ è ⇔.Çàïèñü ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ A =⇒ B îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðíîóòâåðæäåíèå A, òî âåðíî è óòâåðæäåíèå B , òî-åñòü, èç A ñëåäóåò B .Çàïèñü ëîãè÷åñêîé ðàâíîñèëüíîñòè ⇐⇒ îçíà÷àåò, ÷òî èç A ñëåäóåòB è íàîáîðîò, èç B ñëåäóåò A.Òàê, íàïðèìåð, çàïèñü: ∀ε > 0 ∃N ∀x > N =⇒ |f (x) − b| < ε÷èòàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ¾äëÿ ëþáîãî ε áîëüøå 0 ñóùåñòâóåò Nòàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, áîëüøèõ N, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b| < ε¿.Îáîçíà÷åíèåËåêöèÿ 1.

Ìíîæåñòâà. Ñèìâîëèêà è òåðìèíîëîãèÿ131.5. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèåËþáàÿ òåîðåìà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå: åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåA,òî âåðíî óòâåðæäåíèåB.Áóäåì íàçûâàòü ýòî ïðÿìîéòåîðåìîé è ñõåìàòè÷åñêè çàïèøåì â âèäå:Òåîðåìà 1.1.A =⇒ B.ÓñëîâèåAñòîèò ïîñëå ñëîâà ¾åñëè¿, óòâåðæäåíèåBíàïèñàíî ïî-ñëå ñëîâà ¾òî¿.Îïðåäåëåíèå 1.7. A íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ âûïîëíåíèÿ B .  ñâîþ î÷åðåäü, B ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿâûïîëíåíèÿ A.Äëÿ ëó÷øåãî óñâîåíèÿ ââåä¼ííûõ ïîíÿòèé ðàññìîòðèì î÷åâèäíîñïðàâåäëèâîåóòâåðæäåíèå íå èç îáëàñòè ìàòåìàòèêè.Òåîðåìà 1.2.Åñëè ÷åëîâåê çäîðîâ, òî ó íåãî åñòü ãîëîâà.Çäåñü çäîðîâüå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ ó ÷åëîâåêà ãîëîâû.

Íàîáîðîò, íàëè÷èå ãîëîâû ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì çäîðîâüÿ. Ïîäóìàéòå, áóäåò ëè ýòî óñëîâèå äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî,÷òîáû ÷åëîâåê áûë çäîðîâ? Ðåàëüíî ëè âîîáùå ñôîðìóëèðîâàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ÷åëîâåê çäîðîâ?Îáîçíà÷èìĀóòâåðæäåíèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â îòðèöàíèè óòâåð-æäåíèÿ À(÷èòàåòñÿ ¾íå À¿). Åñëè ñïðàâåäëèâà ïðÿìàÿ òåîðåìà 1.1,òî ìåòîäîì ¾îò ïðîòèâíîãî¿ ëåãêî ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòüñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ¾ïðîòèâîïîëîæíàÿ êîáðàòíîé òåîðåìà¿:Òåîðåìà 1.3.B̄ =⇒ Ā.A =⇒ B, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî B̄ =⇒ ĀÏðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: B̄ =⇒ A, íî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.1A =⇒ B . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå (B̄ =⇒ B) äîêàçûâàåò òåîðåìó.Äîêàçàòåëüñòâî ÈìååìÀíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñïðàâåäëèâà òåîðåìà 1.3, òîâåðíà òåîðåìà 1.1, ò.å. ýòè óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû.Äëÿ òåîðåìû 1.2 ïðîòèâîïîëîæíûì ê îáðàòíîìó áóäåò óòâåðæäåíèå: ¾Åñëè ó ÷åëîâåêà íåò ãîëîâû, òî îí íå çäîðîâ¿.Ïðîâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ìåòîäîì ¾îò ïðîòèâíîãî¿.14Ëåêöèÿ 1.