Дискретные случайные величины (Конспект), страница 2

. . · pin .Èç ñâîéñòâà 4 ìîæíî ëåãêî âûâåñòè ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå:90.1. Äëÿ n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ1 , . . . , ξn ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èõ ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.ÑëåäñòâèåM (ξ1 · . . . · ξn ) = M (ξ1 ) · . . . · M (ξn ).14Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû90.3. ÄèñïåðñèÿÏîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå âåëè÷èíû ñëó÷àéíûå, êðîìå ñðåäíåãîçíà÷åíèÿ, ïîëåçíî áûëî áû çíàòü õàðàêòåðèñòèêó ñòåïåíè èõ ðàçáðîñàâîêðóã ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.  êà÷åñòâå òàêîé õàðàêòåðèñòèêè íåëüçÿðàññìàòðèâàòü îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ξ−M (ξ), ò.ê. îíî ñëó÷àéíî.

 ñðåäíåì ýòî îòêëîíåíèå ðàâíîíóëþ: M (ξ − M (ξ)) = M (ξ) − M (M (ξ)) = M (ξ) − M (ξ) = 0. Ïîýòîìóâ êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âîêðóã å¼ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 90.7. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà å¼ îòêëîíåíèÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:D(ξ) = M (ξ − M (ξ))2 .(90.4) ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 90.2, äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:∑D(ξ) =(xi − M (ξ))2 · pi .(90.5)iÈç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñàìà ÿâëÿåòñÿ íåñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÏðèìåðäèñïåðñèþ.1590.6.

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3 íàéòèÐ å ø å í è å:  ïðèìåðå 90.4 áûëî íàéäåíî å¼ ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå: M (ξ) = 4, 4. Ïî ôîðìóëå (90.5) îïðåäåëÿåì:D(ξ) = (1−4, 4)2 ·0,1+(2−4, 4)2 ·0,4+(5−4, 4)2 ·0,3+(10−4, 4)2 ·0,2 ≈≈ 9, 472.Èíîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ äðóãîéôîðìóëîé, êîòîðóþ âûâåäåì, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ:D(ξ) = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 .(90.6)Äåéñòâèòåëüíî:()D(ξ) = M (ξ − M (ξ))2 = M ξ 2 − 2ξM (ξ) + (M (ξ))2 == M (ξ 2 ) − 2M (ξ)M (ξ) + (M (ξ))2 = M (ξ 2 ) − (M (ξ))2 .Äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè ïîôîðìóëå (90.6) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ñóììû:∑(90.7)D(ξ) =x2i pi − (M (ξ))2 .iÑàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòåñü, ÷òî âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå (90.7) âïðèìåðå 90.6 äà¼ò òîò æå ðåçóëüòàò.16Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÏðèâåäåì ñâîéñòâà äèñïåðñèè.(1) D(ξ) > 0.Äåéñòâèòåëüíî, âñå ñëàãàåìûå â ôîðìóëå (90.5) íåîòðèöàòåëüíû.(2) D(C) = 0.Äåéñòâèòåëüíî: D(C) = M (C − M (C))2 = M (C − C)2 == M (0) = 0(3) D(C · ξ) = C 2 · D(ξ).Äîêàçàòåëüñòâî.D(C · ξ) = M (C · ξ − M (C · ξ))2 = M (C · ξ − C · M (ξ))2 =()2()= M C · (ξ − M (ξ)) = M C 2 · (ξ − M (ξ))2 == C 2 · M (ξ − M (ξ))2 = C 2 · D(ξ).(4) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ :D(ξ + ζ) = D(ξ) + D(ζ).Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà ïîëó÷èòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ 90.7ïîñëå íåñëîæíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé.

Ïðîâåäèòååãî ñàìîñòîÿòåëüíî.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû17Ñëåäñòâèå 90.2. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíD(ξ − ζ) = D(ξ) + D(ζ).Äåéñòâèòåëüíî:()D(ξ − ζ) = D ξ + (−1) · ξ = D(ξ) + (−1)2 · D(ξ) = D(ξ) + D(ζ).Ñâîéñòâî 4 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñóììó ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë äèñïåðñèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãîçíà÷åíèÿ (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ).Îäíàêî, åñëè ñðåäíåå çíà÷åíèå M (ξ) èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òîè ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî D(ξ) èìååò äðóãóþ ðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ êâàäðàòó ðàçìåðíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ýòî íå âñåãäà óäîáíî, ïîýòîìó ââåëè äðóãóþ õàðàêòåðèñòèêó ðàññåÿíèÿ, èìåþùóþ òó æåðàçìåðíîñòü, ÷òî è ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.18Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 90.8.

Ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç å¼ äèñïåðñèè:√σ(ξ) = D(ξ).(90.8)Çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç σ(ξ) ïî ôîðìóëå:D(ξ) = σ 2 (ξ). ïðèìåðå 90.6 áûëà íàéäåíà D(ξ) = 9, 84. Íàéä¼ì ñðåäíååêâàäðà√òè÷åñêîå îòêëîíåíèå ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: σ(ξ) = 9,84 ≈ 3,14.Ñâîéñòâà ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ:(1) σ(ξ) > 0;(2) σ(C) = 0;(3) σ(Cξ) = |C| · σ(ξ);(4) Äëÿ íåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ζ :√σ(ξ + ζ) = σ 2 (ξ) + σ 2 (ζ).Òàê æå êàê è äèñïåðñèÿ, σ(ξ) õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ).Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû19Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí91.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿÊàê áûëî îòìå÷åíî â ïðåäûäóùåé ëåêöèè, äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ òàáëèöåé 89.1. Îäíàêî íàðÿäó ñ äèñêðåòíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ïðèíèìàþùèìè îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ, ñóùåñòâóþò äðóãèå, ïðèíèìàþùèå âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà. Èõ íåâîçìîæíîçàäàòü ïåðå÷èñëåíèåì âñåõ ïðèíèìàåìûõ èìè çíà÷åíèé, ïîýòîìó áûëïðåäëîæåí óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá çàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèãîäíûé âî âñåõ ñëó÷àÿõ.Îïðåäåëåíèå 91.1. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ïðèíÿëà çíà÷åíèåìåíüøåå x:F (x) = P {ξ < x}.(91.1)20Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÏðèìåð 91.1. Íàéòè F (x) è ïîñòðîèòü å¼ ãðàôèê äëÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3.Ð å ø å í è å: Ïðîùå âñåãî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, íàõîäÿ çíà÷åíèåF (x) â îòäåëüíûõ òî÷êàõ ïî ôîðìóëå (91.1):F (0) = P {ξ < 0} = 0;F (1) = P {ξ < 1} = 0;F (1, 1) = P {ξ < 1, 1} = 0,1;F (0,5) = P {ξ < 0,5} = 0;F (2) = P {ξ < 2} = 0,1;F (1, 9) = P {ξ < 1, 9} = 0,1;F (2, 1) = P {ξ < 2, 1} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5;F (4) = P {ξ < 4} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5;F (5) = P {ξ < 5} = P {ξ = 1 èëè ξ = 2} = 0,1 + 0,4 = 0,5;F (6) = P {ξ < 6} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8;F (9) = P {ξ < 9} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8;F (10) = P {ξ < 10} = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8; è ò.ä.Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÏîíÿòíî, ÷òî F(x) èìååò âèäíåïðåðûâíîé ñëåâà:0 0,10,5F (x) =0,8 121íåóáûâàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè,ïðèïðèïðèïðèïðèx 6 1;1 < x 6 2;2 < x 6 5;5 < x 6 10;10 < x.ż ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ.

2.y1,00,80,50,11Ðèñ. 2.2510xÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû22Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÐàññìîòðèì ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.(1) 0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1;(2) P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 );(3) F (x) íå óáûâàåò;(4) F (x) íåïðåðûâíà ñëåâà;(5) Äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàâàåìîé òàáëèöåé89.1, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòóïåí÷àòàÿ ñ ðàçðûâàìè â òî÷êàõ xi è âûñîòîé ñòóïåíåê ðàâíîé ñóììå âñåõ âåðîÿòíîñòåéçíà÷åíèé, íå ïðåâîñõîäÿùèõ äàííûõ (ñì. ðèñ. 2).Ñâîéñòâî 1 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ 91.1.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 2 çàïèøåì F (x2 ) = P {ξ < x2 } â âèäåñóììû âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé:F (x2 ) = P {ξ < x2 } = P {ξ < x1 èëè x1 6 ξ < x2 } = P {ξ < x1 }++P {x1 6 ξ < x2 } = F (x1 ) + P {x1 6 ξ < x2 } ⇐⇒ F (x2 ) = F (x1 )++P {x1 6 ξ < x2 } ⇐⇒ P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ).Ñâîéñòâî 3 íåìåäëåííî âûòåêàåò èç òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî, ò.ê.äëÿ x2 > x1 ïîëó÷àåì:F (x2 ) − F (x1 ) = P {x1 6 ξ < x2 } > 0 =⇒ F (x2 ) > F (x1 ).Ñâîéñòâî 4 ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.

Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿF (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâà â òî÷êå x, åñëè lim F (x) = F (a).x→a−Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ îñòàëüíûõ ðàññìîòðåííûõ â äàííîé êíèãå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îíî òàêæå áóäåò âûïîëíåíî,ò.ê. F (x) áóäåò íåïðåðûâíà.Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû2391.2. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 91.2. Ôóíêöèÿ F (x) îáëàäàåò êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé, åñëè å¼ ïðîèçâîäíàÿ F ′ (x) íåïðåðûâíà âåçäå, êðîìåêîíå÷íîãî (èëè áåñêîíå÷íîãî ñ÷¼òíîãî) ìíîæåñòâà òî÷åê, â êîòîðûõF ′ (x) ìîæåò èìåòü ðàçðûâû 1-ãî ðîäà. ÷àñòíîñòè, åñëè ïðîèçâîäíàÿ F ′ (x) íåïðåðûâíà, òî îíà êóñî÷íîíåïðåðûâíà, ò.ê. ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïóñòî.91.3.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè å¼ ôóíêöèÿ F (x) íåïðåðûâíà è îáëàäàåò êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé F ′ (x).ÎïðåäåëåíèåÑâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû :(1)(2)(3)(4)(5)0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1;P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 );F (x) íå óáûâàåò;F (x) íåïðåðûâíà;P {ξ = a} = 0 äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a.Äîêàçàòåëüñòâà ïåðâûõ 3 ñâîéñòâ äîñëîâíî ïîâòîðÿþò ïðèâåä¼ííûå â ïóíêòå 91.1. Ñâîéñòâî 4 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 91.2. Äîêàæåìñâîéñòâî 5: P {a 6 ξ < a + ∆x} = F (a + ∆x) − F (a) ïðè ∆x > 0 â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 2.

Îòñþäà, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 4, ïîëó÷àåì:()lim P {a 6 ξ < a+∆x} = lim F (a+∆x)−F (a) = F (a)−F (a) = 0.∆x→0+Íî∆x→0+lim P {a 6 ξ < a + ∆x} = P {a 6 ξ 6 a} = P {ξ = a}, îòêó-∆x→0+äà ïîëó÷àåì ñâîéñòâî 5: íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåòêàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ.Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîé êíèãåíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò èìåòü îäèí èç âèäîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ.

3.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 3,à ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿèç ïðîìåæóòêîâ, ëåæàùèõ ëåâåå òî÷êè a: P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) −24Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûF(x)F(x)1x1x2x1xaàF(x)11bâÐèñ. 3.xáF(x)ax2bxxãÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû− F (x1 ) = 0 − 0 = 0. Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 3,á) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ïðîìåæóòêîâ, ëåæàùèõ ïðàâåå òî÷êè b: P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) == 1 − 1 = 0.Äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðèñ.

3,â íåíóëåâàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â çàäàííûé ïðîìåæóòîê áóäåò òîëüêî äëÿ ïðîìåæóòêîâ, ïðèíàäëåæàùèõ (a; b).Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû25Çàìå÷àíèå 91.1. Ñâîéñòâî 2 îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîïàëà â çàäàííûé ïðîìåæóòîê, ðàâíà ïðèðàùåíèþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà ýòîì ïðîìåæóòêå: ÷åì áîëüøåâûðîñëà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, òåì áîëüøå ýòà âåðîÿòíîñòü.