Дискретные случайные величины (Конспект)

Ëåêöèÿ 90. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Äèñïåðñèÿ90.1. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿÊðîìå ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåðîÿòíîñòåé èõ ïîÿâëåíèÿ, â òåîðèèâåðîÿòíîñòåé íàñ îáû÷íî èíòåðåñóþò íåêîòîðûå âåëè÷èíû, ñâÿçàííûåñî ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè è íàçûâàåìûå ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.Òàê, â àçàðòíûõ èãðàõ, êðîìå âåðîÿòíîñòåé âûèãðûøà, îáû÷íî èíòåðåñóþòñÿ ðàçìåðîì âûèãðûøà.Ïîëíîñòüþ êîððåêòíîå ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè îïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðèâåäåíî â ïðèëîæåíèè 6. Çäåñü ìû ââåäåìîïðåäåëåíèå, äîñòàòî÷íîå äëÿ ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà ïðèêëàäíûõ çàäà÷.Îïðåäåëåíèå 90.1. Ñëó÷àéíîé íàçûâàþò âåëè÷èíó, êîòîðàÿ âðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðèíèìàåò òî èëè èíîå çíà÷åíèå â çàâèñèìîñòè îò èñõîäà èñïûòàíèÿ.Ïðèìåð 90.1. ×èñëî ðîäèâøèõñÿ äåâî÷åê ñðåäè 10 ìëàäåíöåâ åñòüñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, .

. . , 10.Èçìåðåííàÿ âåëè÷èíà ðîñòà ÷åëîâåêà åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî (a; b). Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî, èçìåðåííàÿ â ìåòðàõ, ýòà âåëè÷èíà íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (0,3; 3).Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû áóäåì èçîáðàæàòü ãðå÷åñêèìè áóêâàìè: ξ(êñè), ζ (äçåòà), η (ýòà), θ (òåòà) è ò.ä., à èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: x, y , z è ò.ä.12Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå 90.2. Äèñêðåòíîé íàçûâàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,êîòîðàÿ ïðèíèìàåò îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà.Ò.å. âñå ýòè çíà÷åíèÿ ìîæíî ¾ïåðåñ÷èòàòü¿ ïîñòàâèòü èì â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òàê, â ïðèìåðå 90.1 ÷èñëî ðîäèâøèõñÿäåâî÷åê äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à èçìåðåííûé ðîñò íå ÿâëÿåòñÿ òàêîâîé.Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìçàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ òàáëèöåé, â êîòîðîé ïåðå÷èñëåíû âñå çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè (ñì.

òàáë. 90.1.)Òàáëèöà 90.1Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿξ x1 x2 . . .xnp p1 p2 . . .pn òàáëèöå 90.1 äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé n çíà÷åíèé x1 , . . . , xn , ïåðå÷èñëåíû âåðîÿòíîñòè pi = P {ξ = xi }.Ïîñêîëüêó â äàííîì èñïûòàíèè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ îáÿçàòåëüíîïðèíèìàåò îäíî èç ñâîèõ n çíà÷åíèé, ñîáûòèÿ ξ = x1 , ξ = x2 , . . . , ξ = xnîáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ïðèìåíÿÿòåîðåìó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷àåì, ÷òî ñóììà èõ âåðîÿòíîñòåéðàâíà âåðîÿòíîñòè äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. 1:p1 + .

. . + pn = 1.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû3Ïðèìåð 90.2. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû èãðîê ïîëó÷àåò 1$ ïðè âûïàäåíèè îðëà è ïëàòèò 1$ ïðè âûïàäåíèè ðåøêè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξ , ðàâíàÿ âûèãðûøó â îäíîé èãðå, çàäà¼òñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ:ξ 1 −1p 0,5 0,5Ïðèìåðíèÿ:90.3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëå-ξ 1 2 5 10p 0,10,3 0,2Íàéòè îòñóòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü.Ð å ø å í è å: Èç óñëîâèÿ 0,1+p2 +0,3+0,2 = 1 îïðåäåëÿåì: p2 = 0,4.Îòâåò: p2 = 0,4.4Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÈíîãäà óäîáíî èçîáðàçèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàôè÷åñêè: ïîîñè àáñöèññ îòëîæèòü çíà÷åíèå xi , à ïî îñè îðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè pi .

Ïîëó÷åííûå òî÷êè ñîåäèíÿþò îòðåçêàìè ïðÿìûõ.Ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàôèê íàçûâàåòñÿ ìíîãîóãîëüíèêîì âåðîÿòíîñòåé.Íà ðèñ. 1 èçîáðàæ¼í ìíîãîóãîëüíèê âåðîÿòíîñòåé äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3.Pi0,40,30,20,112Ðèñ. 1.5Ìíîãîóãîëüíèê âåðîÿòíîñòåé10xiËåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû5Êðîìå îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èçó÷àþò òàêæå äâóìåðíûå, òð¼õìåðíûå è ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Ðàññìîòðèì òî÷êó íà ïëîñêîñòè ñî ñëó÷àéíûìè êîîðäèíàòàìè (ξ; ζ).Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáå ñîñòàâëÿþùèå äèñêðåòíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ò.å. ìíîæåñòâî èõ çíà÷åíèé êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.90.3.

Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ïåðå÷åíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèéýòîé âåëè÷èíû, ò.å. ïàð ÷èñåë (xi ; yj ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, èèõ âåðîÿòíîñòåé pij = P {ξ = xi ; ζ = yi }.ÎïðåäåëåíèåÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþò â âèäåêîòîðîé óêàçûâàþò âñå çíà÷åíèÿ xi , yi ,ζ è èõ âåðîÿòíîñòè pij .ζy1 . . . yjξ\x1 p11 . . . p1j............òàáëèöû ñ äâîéíûì âõîäîì, âêîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ξ è.........ymp1m...pi1 . . . pij .

. . pim...............xn pn1 . . . pnj . . . pnmÒàê êàê ñîáûòèÿ {ξ = xi , ζ = yi }, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mïîïàðíî íåñîâìåñòíû è â ñóììå äàþò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå, ñóììà âñåõâåðîÿòíîñòåé ðàâíà 1.Çíàÿ äâóìåðíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé (íî íå íàîáîðîò). Íàïðèìåð, äëÿξ èìååì:xi...P {ξ = xi } = P {ξ = xi , ζ = y1 } + P {ξ = xi , ζ = y2 } + . .

.m∑pij = pi· .. . . + P {ξ = xi , ζ = ym } =(90.1)j=1Àíàëîãè÷íî äëÿ ζ ïîëó÷èìP {ζ = yi } =n∑pij = p·j .(90.2)i=1Èòàê, ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòðîêàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíèéñòîëáåö, ìû ïîëó÷èì ðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ξ . Ñëîæèâ âåðîÿòíîñòè ïî ñòîëáöàì è çàïèñàâ èõ â ïîñëåäíþþ ñòðî÷êó, ìû ïîëó÷èìðàñïðåäåëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ζ .6Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû90.2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåÇàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.

Îäíàêî èíîãäà óäîáíåå õàðàêòåðèçîâàòü å¼ ñ ïîìîùüþíåñêîëüêèõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòîäíî èç ñâîéñòâ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ ÷èñëîâûõõàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Îïðåäåëåíèå 90.4. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M (ξ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ å¼çíà÷åíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè:M (ξ) = x1 p1 + x2 p2 + .

. . + xn pn .(90.3)90.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ýòî âïîëíå îïðåäåë¼ííîå ÷èñëî.Çàìå÷àíèå90.2. Åñëè y = f (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿäèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ζ = f (ξ) òàêæå áóäåò ñëó÷àéíîéâåëè÷èíîé è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:Çàìå÷àíèåM (f (ξ)) = f (x1 ) · p1 + · · · + f (xn ) · pn .Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû7Ïðèìåð 90.4. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èç ïðèìåðà 90.3 íàéòèìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Ð å ø å í è å: M (ξ) = 1 · 0,1 + 2 · 0,4 + 5 · 0,3 + 10 · 0,2 = 4,4.Îòâåò: M (ξ) = 4,4.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.90.5.

Èç 10 îöåíîê äàííîãî ñòóäåíòà 7 òðîåê, 2 ÷åòâ¼ðêè è 1 ïÿòåðêà. Êàêîâà ñðåäíÿÿ îöåíêà äàííîãî ñòóäåíòà?ÏðèìåðÐ å ø å í è å: Ïðîñòûå âû÷èñëåíèÿ äàþò ðåçóëüòàò:7·3+2·4+1·5= 3,4.10Çàïèñàâ ýòè âû÷èñëåíèÿ â âèäå7213,4 = 3 ·+4·+5· ,101010ïîëó÷èì, ÷òî ñðåäíÿÿ îöåíêà ðàâíà ñóììå ïðîèçâåäåíèé îöåíîê íà èõîòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.

Êàê îòìå÷àëîñü, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñòàáèëèçèðóåòñÿ âîêðóã âåðîÿòíîñòè.Èç ñêàçàííîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà èõ ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ðàâíàñðåäíåìó çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.8Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÇàìå÷àíèå 90.3. Ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà ¾ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå¿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íà ðàííåì ýòàïå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â îñíîâíîì çàíèìàëàñü àçàðòíûìè èãðàìè è èãðîêà èíòåðåñîâàë ñðåäíèé îæèäàåìûé âûèãðûø.Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.1.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíñòàíòû ðàâíî êîíñòàíòå:M (C) = C.Òàê êàê êîíñòàíòà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ:Äîêàçàòåëüñòâî.ξ Cp 1,å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå î÷åâèäíî ðàâíîM (C) = C · 1 = C.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû92. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü âûíîñèòñÿ çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:M (C · ξ) = C · M (ξ).Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ òàáëèöåé 90.1, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàCξ , î÷åâèäíî, çàäà¼òñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:Äîêàçàòåëüñòâî.Cξ Cx1 Cx2 . . .

Cxnpp1p2 . . . pnè å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî:M (Cξ) = Cx1 p1 +Cx2 p2 + . . .+Cxn pn = C(x1 p1 + . . .+xn pn ) = CM (ξ).10Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ âåëè÷èí:M (ξ + ζ) = M (ξ) + M (ζ).90.4.

Êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 1 è 3,M (ξ + C) = M (ξ) + C.Çàìå÷àíèå90.5. Ñâîéñòâà 2 è 3 ïîçâîëÿþò äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn è ÷èñåë C1 , . . . , Cn íàïèñàòü:Çàìå÷àíèåM (C1 ξ1 + . . . + Cn ξn ) = C1 M (ξ1 ) + . . . + Cn M (ξn ). ÷àñòíîñòè: M (ξ − ζ) = M (ξ) − M (ζ).Äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùååñâîéñòâî, äàäèì îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû11Îïðåäåëåíèå 90.5. Äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζíàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòè pij â çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ) ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ:pij = pi· · p·j .Êàê áóäåò ïîêàçàíî â ëåêöèè 94 (çàìå÷àíèå 94.1) ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èçíèõ íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ äðóãîé.Åñëè, íàïðèìåð, äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ èìåþòçàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå òàáëèöàìè 90.2 è 90.3, òî èõïðîèçâåäåíèå áóäåò èìåòü ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå òàáëèöåé 90.4.Òàáëèöà 90.2ξx1x2pp1p2Òàáëèöà 90.3ζy1y2pg1g2Òàáëèöà 90.4ξ · ζ x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2p p1 g1 p1 g2 p2 g1 p2 g2Äåéñòâèòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 90.5, íàïðèìåð, äëÿïåðâîé âåðîÿòíîñòè èç òàáëèöû 90.4 èìååì:P {ξ · ζ = x1 y1 } = P {ξ = x1 , ζ = y1 } = P {ξ = x1 } · P {ζ = y1 } = p1 g1 .12Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÒåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:4.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé:M (ξ · ζ) = M (ξ) · M (ζ).Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàäàâàåìûõ òàáëèöàìè 90.2, 90.3, 90.4, ñòóäåíòàì ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåñòèñàìîñòîÿòåëüíî.Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ äâóìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ n-ìåðíîé äèñêðåòíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàþò â âèäå òàáëèöû ñ n âõîäàìè, â êîòîðîéóêàçûâàþò çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé pi1 ,i2 ,··· ,in òîãî, ÷òî n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ1 , ξ2 , · · · , ξn ) ïðèíÿë çíà÷åíèå (xi1 , xi2 , · · · , xin ), ãäåêàæäàÿ êîìïîíåíòà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà.Çíàÿ n-ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå pi1 ,i2 ,··· ,in ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé pi1 , pi2 , · · · , pin (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ,íåâåðíî).Ëåêöèÿ 90 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû13Îïðåäåëåíèå 90.6. Íåçàâèñèìûìè íàçûâàþòñÿ n äèñêðåòíûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, åñëè âåðîÿòíîñòè pi1 ,i2 ,··· ,in ðàâíû ïðîèçâåäåíèþñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿþùèõ:pi1 ,i2 ,··· ,in = pi1 · pi2 · .