Отзыв оппонента 1 (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты)

ОТЗЫВ ефпцнального оцпоиента, доктора физико-математических паук, доцента Холостовой Ольги Владпмнровиьг о днссертационней работе Шерстнева Квгенип Викторовича кМоделпровапне прилнвией эволюции орбитального движении спутника в гравитациеиием поле вазкеупругей плапетьз»| представлеиней па еонскацие ученой степени кандидата физико-математических паук по специальности 65ЛЗЛЗ еМатематическое меделпревапие, чиеленпьзе методьз н комплексы преграмм» Актуальность темы Определение долгосрочной эволюции орбит больших и малых тел, составляющих Солнечную систему, является одной из актуальных задач небесной механики. В процессе эволюции необходимо учитывать малые дисснпативные силы.

В Солнечной системе в качестве таких сил выступают приливные силы, возникающие изза того, что планеты не являются абсолютно твердымп телами. Из-за гравитационного взаимодействия планеты и спутника на поверхности планеты образуются приливные горбы, которые перемещаются в вяз коуп ругом теле планеты в направлении, противоположном вращению, Этп процессы сопровождаются рассеянием энергии н приводят к эволюции как вращательного движения планеты, так и орбитального движения спутника. В связи с развитием радиолокационных, лазерных, космических и других современных средств„методов наблюдений больших и малых тел Солнечной системы значительно увеличилась точность определения координат данных тел и предъявляются все более высокие требования к математической модели, с помощью которой описывается движение небесных объектов.

Диссертационная работа Е.В. Шерстнева посвящена исследованию движения спутника, моделируемого материальной точкой, в гравитационном поле деформируемой планеты. Рассмотренные в работе задачи являются модельными ~рн изучении приливной эволюции орбитального движения небесных тел. В диссертационной работе планета моделируется либо вязкоупругим телом, либо телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупругой оболочки. В качестве методов ~с~~ед~вания используются ~~т~ды аналитической механики ~и~~с~ с б~~кон~~ным числом степеней свободы, асимптотнческие методы, численные методы. Используется метод разделения движений, разработанный В.Г. Вильке для механических систем с бесконечным числом степеней свободы.

Содержание п осповньге результаты работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 86 наименований, и приложения, содержшцего графические материалы и программные коды. Объем диссертации составляет 158 страниц.

Во введецпп устанавллвается актуальность темы исследования, дается обзор работ по теме диссертации, приводится краткое описание работы и излагаются основные результаты. В первой главе изучается движение спутника в гравитационном поле планеты, которая моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом из материала Кальвина-Фойгта, имеющим шаровую форму в естественном недеформироваином состоянии. С использованием вариациоиного принципа Даламбера-Лагранжа и метода разделенна движений получена система уравнений движения в векторном виде, описывающая динамику механической системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.

Изучена ограниченная постановка задачи, когда предполагается, что масса планеты много больше массы спутника и вектор угловой скорости планеты можно считать постоянным. Показано, что в этом случае существует одно стационарное двнжепие, при котором спутник движется по круговой орбите и угловая скорость вращения планеты совпадает с орбитальной.

Это стационарное движение является неустойчивым. Переход к каноническим переменным Делоне„ применение метода усреднения по быстрым угловым переменньпн, численное интегрирование полученной системы уравнений в плоском и пространственном случаях позволил выявить более детально ряд эффектов эволюции орбитального движения спутника. Во второй главе движение системы планета спутник исследуется на основе полной возмущенной системы уравнений движения без ограничения постоянства вектора угловой скорости планеты. Получено векторное уравнение, описывающее орбитальное движение спутника в гравитационном поле планеты с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Проведено исследование устойчивости спщионарных решений.

Показано, что в такой постановке существуют две стационарные круговые орбиты. Движение спутника по орбите меньшего ралиуса является неустойчивым, а по орбите большего радиуса — аснмптотически устойчивым. Для описания приливной эволюции орбитального движения получена система уравнений движения 6-го порядка в канонических переменных Делоне. Проведена процедур~ усреднени~ по быстрым угловым иерем~иным, и получена эволюци~н~ая система дифференциальных уравнений, Путем численного интегрирования построены фазовые портреты в частных случаях, изображающие картину эволюции орбитального движения, а также графики зависимости большой полуоси, эксцентриснтета, наклонения орбиты спутника от времени.

В качестве примеров рассмотрены планеты Солнечной системы н их спутники. Полученные в статье эффекты приливной эволюции движения спутников соответствуют данным наблюдений. В частиосз.'и, из полученных уравнений следует, что спутник Марса Фобос приближается к планете, а второй спутник Деймос удаляется от нее. Для исследования эволкщионной системы уравнений, полученной во второй главе диссертации, была разработана программа на языке Руйоп с пользовательским интерфейсом с возможностями интегрирования системы с заданием начальных условий, построением графиков эксцентриситета е, наклонения !, болыпой полуоси а орбиты спутника на заданном промежутке времени, с возможностью динамического перемещения по интервалу интегрирования и отображением текущей позиции на графиках.

Построена 30 визуалнмцня модели движения спутника. В третьей главе планета моделируется телом„состоящим из твердого ядра и жестко прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки. Выводится система уравнений возмущенного движения, которая по структуре совпадает с уравнениями, полученными в первой главе. Получено уравнение поверхности деформированной планеты сжатой по оси вращения без учета приливных деформаций. Получено соотношение, позволяющее по величине приливного горба установить отношение внутреннего н внешнего радиусов вязкоупругого слоя, В третьей главе диссертации изучаются также приливные деформации вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника.

Планета моделируется телом, состоящим из твердого ядра н жестко прикрепленной к нему вязкаупругой оболочки, а притягивакиций центр и спутник моделируются материальными точками. Найдена функция, описывающая зависимость высоты приливного горба в фиксированной точке поверхности планеты от времени. Построены графики этой функции для планеты «Замяв>„движущейся в гравитационном поле Солнца н Луны. Достоверность результатов и обоснованность выводов работы Все результаты, полученные в диссертации, строго обоснованы в рамках применяемых методов аналитической механики и аснмптотических методов.

Корректность полученных моделей подтверждается результатами численного анализа. Получаемые выводы качественно согласуются с результатами других исследований приливной эволюции орбитального движения небесных тел. Научнаи новизна работы Основные результаты работы являются новыми и оригинальными. Для каждой рассмотренной в работе модели системы «планета+спутника получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая движение системы с учетом сил гравитационного взаимодействия и возмущений, вызванных упругостью и диссипацией; исследован ряд стационарных решений полученных систем; изучена эволюция параметров орбиты спутника; проведено исследование приливной деформации планеты. Теоретическая и практическая значимость работы Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезными специалистам, занимаюпшмся небесной механикой, прикладной математикой в научноисследовательских центрах и технических университетах, обучшощих студентов по направлениям подготовки «Прикладная математика», «Механика и математическое з моделирование».

Часть результатов может быть использована в спутниковых системах навигации„геодезии, геофизике. Диссертации соответствует и. 9 «Положения о присуждении ученых степеней», она представляет собой законченную научно-квалификационную работу, в которой исследованы задачи орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. Работа выполнена на высоком научном и методическом уровне, четко изложена и аккуратно оформлена, Диссертационная работа Шерстнева Е,В. прошла необходимую апробацию в ходе обсуждения ее результатов на научных конференциях и семинарах. Основные результаты работы опубликованы в 12 работах, в том числе в 3 работах в журналах, рекомендованных ВАК РФ, Автореферат полностью отражает содержание и выводы диссертации.

По диссертации имеются следующие замечании: 1. Значительная часть диссертации посвящена построению систем дифференциальных уравнений движения различных моделей системы «вязкоупругая планета + спутник». Прн этом из текста остается неясным, использовался ли ранее применяемый подход при исследовании аналогичных (нлн более простых) модельных систем.