Отзыв автореферат 3 (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений)

отзыв на автореферат диссертации Даевой Софьи Георгиевны на тему «Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование„численные методы и комплексы программ» Задача дифракции монохроматической акустической волны на жестком теле„ограниченном замкнутой поверхностью, является классической. Такая задача описывается уравнением Гельмгольца в области вне тела с граничным условием Неймана на его поверхности.

Эта задача уже давно была сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода„которое обычно служит для доказательства существования решения, построения низкочастотных и высокочастотных асимптотик, а также используется для построения численных методов решения задачи. Вместе с тем„другой класс задач: дифракция акустических волн на незамкнутых бесконечно тонких жестких экранах, не моэкет быть сведен к таким уравнениям 1т.к. они должны одновременно обеспечивать выполнение граничного условия на обеих сторонах поверхности). Такие задачи могут быть сведены к интегральному уравнению 1-го рода с сильной особенностью. Достоинством последнего подхода является то, что он одинаково применим как к задачам дифракции волн на тонких экранах, так и к задачам дифракции на объектах, ограниченных замкнутыми поверхностями.

Поэтому разработка численных методов решения краевых задач дифракции волн на системах тел и экранов сложной формы на основе аппарата граничных интегральных уравнений с сильно сингулярными интегралами представляется актуальным и перспективным научным направлением. При численном решении задач дифракции волн на тонких экранах известен подход с рассмотрением указанного интегрального уравнения с сильной особенностью как псевдодифференциального в пространствах Соболева.

При этом в основе численных схем обычно лежит конечно- элементный вариант метода 1 алеркина. В диссертации применен другой подход, в котором интеграл с сильной особенностью рассматривается в смысле конечного значения по Адамару. При этом для аппроксимации интегрального уравнения применяются кусочно постоянные аппроксимации неизвестной функции и метод коллокации. Такой метод является более простым в реализации и в большей степени позволяет учитывать преобладание влияния близких элементов.

За основу взята идея численного метода, ранее предложенного в работах И.К.Лифанова. При этом в представленной диссертации осуществлено уточнение квадратурных формул, получаемое за счет выделения в интегральном уравнении в явном виде характеристической гиперсингулярной части и дополнительной регулярной части, что является новым результатом, представляющим интерес с точки зрения численных методов решения интегральных уравнений. Важным результатом диссертации является доказательство сходимости численных решений интегрального уравнения на сетке к точному в случае задачи на плоском экране.

Этот результат диссертации также является новым и при этом служит важным подкреплением достоверности получаемых численных результатов. Для практической оценки работоспособности предложенного метода автором проведен ряд вычислительных экспериментов, где на примерах модельных задач показано хорошее согласование получаемых численных решений с известными теоретическими и численными данными других авторов. В качестве замечаний следует отметить: в приведенной в автореферате теореме о сходимости метода предположение об однозначной разрешимости уравнений, по-видимому, актуально при рассмотрении уравнения (15) с произвольной регулярной частью требуемого вида.

Однако. известно, что рассматриваемая краевая задача на плоском экране однозначно разрешима. Поэтому возникает вопрос: не является ли уравнение (15), возникающее в рассматриваемой задаче дифракции однозначно разрешимым, а сделанное предположение в теореме излишним? - в пояснениях к рисунку 3 автореферате не указано, как вводился угол на приведенных диаграммах направленности. Однако, сделанные замечания не снижают принципиально общую оценку работы. В работе получены результаты, представляющие теоретический интерес с точки зрения численных методов решения краевых задач и имеющие практическую значимость с точки зрения приложений к решению внешних задач акустики, Диссертация выполнена на высоком научном уровне и является завершенной квалификационной работой, удовлетворяющей требованиям Положения о порядке присуждения ученых степеней, а ее автор Даева Софья Георгиевна заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико- математических наук по специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

доктор физико-математических наук, профессор, заместитель декана факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М,В.Ломоносова 14 декабря 2015 г,' .' ' '-"..' -У'--"-'7 Е.В.Захаров » адрес организации: Ч9991'1 СЙ-"1':Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебой'"корт»ус, факультет ВМК телефон: +7 (495) 939-30-10 Е-гпа11: сп)с.'» см~ьцл 0 .