Даева отзыв оппонента Крюковского А.С. (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений)

ййОВВ«Раккйскийвавый ивм втетя йКВВВ«Рвсйбу»1 МФ 3 ' 9 1 Ф ШРос Ф~УВ отзыв официального оппонента, доктора физико-математических наук, профессора Крюковского Андрея Сергеевича на диссертационную работу Даевой Софьи Георгиевны «Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численшяс методы и комплексы программ», В диссертационной работе Даевой С.Г, рассмотрена задача дифракции акустических волн на идеально жестких телах. В основе моделирования лежит описание процесса дифракции трехмернои краевои задачей 1!сймана для уравнения Гельмгольца.

Для решения задачи строится числешгая схема, основанная на методе граничных интегральных уравнений. Особешюстыо используемого в диссертации подхода является сведение краевой задачи к уравнениям с сильно сингулярными интегралами (называемыми гиперсингулярными), понимаемыми в специальном смысле. За счет этого строится численная схема, применимая как к задачам дифракции воин на телесных обьектах, так и на тонких экранах. Развитие численных методов прямого моделирования трехмсрш ~х акустических полей на основе решения краевых задач является актуальным, поскольку именно такие методы позволяют эффективно описывать волновые процессы в диапазонах частот, для которых длина волны соизмерима или превосходит размеры отражающих объектов, что в свою очередь имеет большое практическое значение.

В этом направлении активно развиваются различные численные методы. При этом на повестке дня стоит разработка численных алгоритмов, применимых к задачам дифракции па телах и системах тел со сложной геометрией в возможно более широком диапазоне длин волн. Именно на продвижение в этом направлении нацелена представленная работа, Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В первой главе дается постановка задачи дифракции акустической волны на жестких объектах и осуществляется ее сведение к граничному интегральному уравнению с сильно сингулярным интегралом, исследуются свойства ядра интегрального оператора и характеристики решения в дальней зоне (эффективная площадь рассеяния).

Во второй главе строится численная схема решения граничного интегрального уравнения, основанная на его дискретизации с использованием кусочно-постоянных аппроксимаций неизвестной функция. 'При этом автором предварительно осуществлено выделение в явном виде главной особенности в ядре интегрального оператора. После этого для главной части интегрального оператора строится квадратурная формула с коэффициентами, вычисляемыми аналитически. В результате иптсгральпос уравнение сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

третьи глава посвящена математическому обоснованию разработанного в диссертации численного метода для частного случая: дифракции скалярной волны на плоском экране. При этом доказана равномерная сходимость численных решений возникающего в такой задаче гиперсингулярного интегрального уравнения к точному решению этого уравнения на сетке. Четвертая, заключительная глава посвящена программной реализации численного метода. Осуществлено тестирование разработанного числс|шого метода на примерах модельных задач, приведены численные примеры, иллюстрирующие возможности метода. Обоснованность предложенного подхода базируется ца применении строго. математического аппарата при сведении краевой задачи к интегральным уравнениям и построении численной схемы, Г1ри выводс интегрального уравнения использованы известные свойства краевых значений поверхностных потенциалов, обеспечивающие выполнение требуемых граничных условий.

Для случая задачи на тонком экране получены теоретические оценки близости численного и точного решений граничного интегрального уравнения. Кроме того, достоверность получаемых результатов по предложенной вычислительной модели подтверждается результатами численных экспериментов, в которых осуществлено сравнение получаемых численных решений с извсстшлми теоретическими и численными данными. Научная новизна работы. В диссертации построен оригинальный вариант численного метода решения краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца методом граничных интегральных уравнений с гиперсингулярпыми интегралами, основанный на новых квадратурных формулах для таких интегралов. Новым результатом является теоретическое доказательство сходимости построенной численной схемы для краевой задачи на плоском экране.

Новыми также являются результаты численного моделирования модуля полного поля акустического давления на телах, выложенных кольцами и пластинами, полученные методом разработанным в диссертации. Теоретическая значимость исследования состоит с том, что разработана численная схема решения полного ги персии гулярпого интегрального уравнения, содержащего в явном виде характеристический член со степенной особенностью и дополнительный интегральный оператор со слабосингулярным ядром, получено обоснование этой схемы для частного случая.

Выполнено тестирование предложенного численного метода при решении ряда задач дифракции акустических волн, показавшее возможности и границы применимости метода. Практическая значимость диссертации состоит в том, что в работе разработаны и программно реализованы алгоритмы решения актуальных задач дифракции звуковых волн, определены перспективы практического использования разработанных алгоритмов для численного решения зала ~ акустики. К недостаткам диссертации можно отнести следующее: — В обзоре литературы не нашли свое отражение работы ведущих отечественных научных школ, посвященные решению задач дифракции как акустических, так и электромагнитных волн методами интсгр гльпых уравнений.

В этой связи следует отметить, что работы руководителей научных школ Кюркчана А.Г., Еремина Ю.А., Самохина А.Б., Пименова Ю,В., Васильева Е.Н. не упомянуты вовсе. Это особенно огорчительно, если иметь ввиду, что разработанные в этих работах методы решения задач дифракции и о некоторым показателям превосходят на настоящий момент метод, предложенный в диссертации. Автору диссертации следовало бы точнее охарактеризовать место своей работы в кругу аналогичных исследований.

— Тестирование численного метода для полного поля проводилось на примере численного решения задач с осевой симметрией путем расчета диаграмм направленности. Известно, что диаграммы направленности могут хорошо согласовываться даже тогда, когда поле в ближней зоне считается неверно.

Например, для задач дифракции на проводящих телах диаграмма направленности иногда вычисляется даже тогда, когда значения тока па поверхности тела не имеет ничего общего реальными. Поэтому сравпспис решений, полученных автором, с точными на примере только диаграмм направленности недостаточно.

Кроме того, в диссертации при тестировании численного метода основной упор сделан на задачи дифракции шюской волны. Случай, когда падающее поле представляет собой точечный источник, представлен только одним примером в конце работы о дифракции звуковой волны, вызванной точечным источником шума на системс зданий, причем этот источник расположен далеко от зданий. Вместе с тем интересно было бы проверить работоспособность метода при приближении источшгка звука к поверхности. С практической точки зрения наибольший интерес в работе представляет раздел 4.5 (дифракция на системе объектов). Однако из текста работы неясно„ как проводился расчет, двумерная задача или трехмерная, какова высота зданий, какой источник излучения и его частота и т.д.

— Следовало бы более подробно описать метод отражения, при решении задач о дифракции воли на телах, расположенных па бссконс шом плоском экране, и численную схему, возникающую при использовании метода отражений. В качестве мелких замечаний необходимо отметить, что в работе отсутствуют приложения, посвященные организации вычислений. Б списке публикаций автора диссертации С.Г. Даевой, присутствует нская С 1 . Лебедева, и нигде нет пояснений, что это одно и тоже лицо, 11спшшо описаны параметры, при которых проводились расчеты. Однако сделанные замечания и отмеченные недостатки принципиально не снижают ценность работы. Диссертация соответствует н.9 «Положения о присуждении ученых степеней», то есть представляет собой закопченную паучцоквалификационную работу, в которой решена научная задача имеющая значение для развития численных методов теории дифракции.

А име|шо: построен новый вариант численного метода решения задач дифракппи звуковых волн на телах и системах жестких тел сложной формы. Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях и семинарах, опубликованы в 3 статьях, изданных в журналах из перечня ВАК. Автореферат правильно отражает содержание диссертации. Соответствие диссертации избранной специальности 05.13. /Х математическое моделирование, численные методы и комилексы про.'рач.и обусловлено наличием оригинальных результатов одновременно из трех областей: численных методов — разработана численная схема решения граничных интегральных уравнений с гиперсипгулярными интегралами; математического моделирования — осуществлено приложение разработанного численного метода к моделированию процесса дифракции акустической волны на жестких телах и определению основных интегральных характеристик акустического поля; комплексов программ — осуществлена программная реализация разработанных численных методов и их верификация на основе вычислительного эксперимента.