Лекционный курс от Русакова, страница 3

Благодаряэтому понятию, уравнение “вход-выход”-состояние принимает вид:YT = A(T, z(τ), XT), (2.1)где XT, YT - входной и выходной процесс на интервале времени T;A(*)- оператор выходов.Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входнымпроцессом и начальным состоянием и не зависит от того, каким образом системабыла переведена в это состояние.

Отсюда ясно, что уравнение (2.1) ограничиваеткласс рассматриваемых систем только такими системами, функционированиекоторых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.Для полного описания процесса функционирования системы необходимозадать условия определения состояния системы.

Для этого вводится понятиеуравнения состояния:z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (2.2)гдеB(*) - оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) отпары (z(τ), Xτt), которая задана на интервале  t, и называемый операторомперехода.Уравнения (2.1) и (2.2) имеют достаточно логичное обобщение и намногомерный случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторныйвид:X  X , Y  Y ,Z  ZТаким образом, модель функционирования системы должна обеспечиватьпрогнозированиепроцессафункционированиянавсеминтервалефункционирования T (множество времени) по заданному вектору начальногосостояния Z ( ) записанном в векторном виде входному процессу X (T).Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задатьмножества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а такжемножество возможных состояний системы Z и операторы выхода A и переходаB.

Модель функционирования системы без предыстории представляет собойкортежMF = <T, X, Y, Z, A, B>. (2.3)Если все компоненты в (2.3) известны, модель функционирования полностьюопределена и может быть использована для описания и изучения свойственныхсистеме процессов функционирования. Множества и операторы, составляющиеобщесистемную модель (2.3), могут обладать различными свойствами,совокупность которых позволяет конкретизировать характер функционированиясистемы:N – непрерывность;L – линейность;C – стационарность;P – стохастичность (вероятность).Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модельконкретизируется до системной модели.Системные свойства:1).Если интервал функционирования системы Т = [  , ] представляетотрезок оси действительных чисел, заданный началом  и концом  , то системафункционирует в непрерывном времени.

Если, кроме того непрерывныоператоры А и В, то система наз. непрерывной.2).С т.зр. реакции на внешнее воздействие объекты подразделяют налинейные и нелинейные. Линейными наз. такой объект, реакция которого насовместное воздействие 2-х любых внешних возмущений равно сумме реакцийна каждое из этих воздействий, приложенных к системе порознь.F 0 ( x1 (t )  x2 (t ))  F 0 ( x1 (t ))  F 0 ( x2 (t )) - принцип суперпозиции,F 0 (0)=0 (начальное состояние системы),где F 0 - оператор объекта, устанавливает связь входа и выхода.Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции.3).Поскольку стационарная система при фиксированном начальномсостоянии Z(t0) одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся толькосдвигом по времени, входные воздействия, то наложение интервала t0, t наоси времени не оказывает влияния на процесс функционирования системы.Модель М для стационарных систем не содержит в явном виде интервалфункционирования Т.4)Если в модели М операторы А и В каждой паре (X, V, Z(t0))(вход, состояние) ставят в соответствие единственные значения Y и Z,описываемая этой моделью система называется детерминированной.

Длястохастической (вероятностной) системы Y и Z, случайные величины, заданныезаконами распределения.Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшемтермин «модель функционирования» для краткости может заменяться термином«модель» с сохранением исходного смысла) обладают исключительно высокойстепенью общности. Они, безусловно, необходимы для теоретическихисследований и полезны, так как выявляют общие закономерности, присущиевесьма широкому классу систем.

Но в повседневной практической деятельностиинженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели гораздо менее общие, но позволяющие производить конкретные вычисления.Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы,пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных,характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениямдругих переменных. Однако между системными и конструктивными моделяминет противоречия.

По мере накопления знаний о системе, уточнения иконкретизации ее свойств и характеристик системная модель естественнымобразом преобразуется в конструктивную. Следовательно, конструктивнаямодель может и должна закономерно вырастать из более общей системноймодели. Такой - истинно системотехнический подход – представляется болееобоснованным, чем априорное задание конструктивной модели исследователем,использующим для этого лишь свою интуицию и субъективные представления овозможностях тех или иных математических схем.Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построениямодели функционирования системы определяются процессом реализациисистемотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель системная модель  конструктивная модель  машинная модель».Моделирование процессов функционирования конкретной системыдолжно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3),определения их содержательного смысла и областей изменения.

Согласномодели (2.3), необходимо определить: интервал времени, на котором насинтересует функционирование системы; множество входных и выходныхвоздействий и области их возможных изменений; множество характеристиксостояния системы и область их возможных изменений.Классификация системных моделейMMNLCP - легко мат.описаниеДаMNLCP - нет адекватногоNMMмат.описанияM ДаM(трудно)LMMИнверсия (N) – данноеMN ДаMNCсвойство неMNMNвыполняется,MNMNнапример нетMNMNсвойстваMNLC ДаMNLнепрерывностиPMNLCMNLMNLCMNLОбщесистемная и системные модели обладая высшей степенью общностиустанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточноширокому классу систем. В инженерной практике используют так называемыеконструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения однихпеременных, характеризующих систему по заданным или измереннымзначениям других переменных.КМ – может и должна вырастать из большой общей системной моделипутем конкретизации ее свойств.При построении моделей функционирования систем применяютследующие подходы:1) непрерывно-детерминированныйподход(дифференцированныеуравнения);2) дискретно-детерминированный (конечные автоматы);3) дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);4) непрерывно-стохастический подход (системы СМО)5) обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)Основы теории массового обслуживанияТеория массового обслуживания составляет один из разделов теориивероятностей.

В этой теории рассматриваются вероятностные задачи иматематические модели (до этого нами рассматривались детерминированныематематические модели). Напомним, что:Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта(системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайныхфакторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оцениваетбудущее с позиций вероятности тех или иных событий.Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условияхнеопределенности.Рассмотримсначаланекоторыепонятия,которыехарактеризуют«стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие взадачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции),вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть полученыиз опыта.

Такую неопределенность называют еще «благоприятной»,«доброкачественной».Понятие случайного процессаСтрого говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Прощепривести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например,процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы»)подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).

Но до техпор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие наспараметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс какдетерминированный, неслучайный.Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа такихустройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасльпромышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс, если она стечением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое),причем, заранее неизвестным случайным образом.Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станкивремя от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этойсистеме, случаен.2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте поопределенному маршруту.

Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибкиэкипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.Марковский случайный процессСлучайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, еслидля любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущемзависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда икак система пришла в это состояние.Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0.и все, что былоМы знаем характеристики состояния системы в настоящемпри t < t0 (предысторию процесса).

Можем ли мы предугадать (предсказать)будущее, т.е. что будет при t > t0? В точности – нет, но какие-то вероятностныехарактеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, чточерез некоторое время система S окажется в состоянии S1 или останется всостоянии S0 и т.д.Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пустьx – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моментувремени t0 количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов соответственно – x0,численныйy0. Нас интересует вероятность того, что в момент времениперевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в какомсостоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какойпоследовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются.

Ноимеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. Ипри изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теориимассового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массовогообслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайныепроцессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если еговозможные состояния S1, S2, … можно заранее определить, и переход системы изсостояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моментывозможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, анеопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием инепрерывным временем.Пример.