Лекционный курс от Русакова, страница 4

Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждыйиз которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), послечего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранеенеизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:S0 - оба станка исправны;S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;S3 - оба станка ремонтируются.Переходы системы S из состояния в состояние происходят практическимгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка илиокончания ремонта.При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобнопользоваться геометрической схемой – графом состояний.

Вершины графа –состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния вРис.1. Граф состояний системысостояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.1.Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т.к.предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга.Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.Потоки событийПоток событий – последовательность однородных событий, следующих одноза другим в какие-то случайные моменты времени.В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другиепримеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине ит.д.Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t –рис. 2.Рис.2. Изображение потока событий на оси времениПоложение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то однареализация потока.Интенсивность потока событий ( ) – это среднее число событий,приходящееся на единицу времени.Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.Поток событий называется стационарным, если его вероятностныехарактеристики не зависят от времени.В частности, интенсивность стационарного потока постоянна.

Поток событийнеизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерногохарактера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постояннои от времени не зависит.Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двухнепересекающихся участков времени и (см.

рис.2) число событий, попадающихна один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другимисловами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иныемоменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своимисобственными причинами.Поток событий называется ординарным, если события в нем появляютсяпоодиночке, а не группами по нескольку сразу.Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским),если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеетпоследствий.Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание.

Ониграет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормальногораспределения среди других законов распределения. А именно, при наложениидостаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков(сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий кпростейшему.Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседнимисобытиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное)распределение с плотностьюгде - параметр показательного закона.Для случайной величины T, имеющей показательное распределение,есть величина, обратная параметру, а среднеематематическое ожиданиеквадратичное отклонениеравно математическому ожиданиюУравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Финальныевероятности состоянийРассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями инепрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S изсостояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий(потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потокисобытий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс,протекающий в системе, будет Марковским.Итак, на систему, находящуюся в состоянии , действует простейший потоксобытий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок»).системы из состояния в состояние (на графе состояний по стрелкеДля наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляютинтенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге(стрелке). - интенсивность потока событий, переводящий систему из состоянияв .

Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченныйграф приведен на рис.3.Рис.3. Размеченный граф состояний системыНа этом рисунке - интенсивности потока отказов; - интенсивности потокавосстановлений.Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того,ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е. ремонтом каждого станка занятотдельный специалист.Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее переводит потокотказов первого станка. Его интенсивность равнагде- среднее время безотказной работы первого станка.Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первогостанка.

Его интенсивность равнагде- среднее время ремонта первого станка.Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящихсистему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный графсостояний системы, строится математическая модель данного процесса..Пусть рассматриваемая система S имеет - возможных состоянийВероятность - го состояния- это вероятность того, что в момент временисистема будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого моментавремени сумма всех вероятностей состояний равна единице:Для нахождения всех вероятностей состоянийкак функций временисоставляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, вкоторых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правилосоставления этих уравнений приведем здесь без доказательств.

Но прежде, чем егоприводить, объясним понятие финальной вероятности состояния.Что будет происходить с вероятностями состояний при? Будут листремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и независят от начального состояния системы, то они называются финальнымивероятностями состояний.где - конечное число состояний системы.Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины(функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что– это по – существу среднееФинальная вероятность состоянияотносительное время пребывания системы в этом состоянии.Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3.

Их финальные вероятностиравны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельномстационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – всостоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждомуравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данногосостояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих изданного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностейвсех потоков, входящих в - е состояние, на вероятности тех состояний, изкоторых эти потоки исходят.Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего примера:Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, казалосьбы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободногочлена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольногомножителя.

Однако можно воспользоваться нормировочным условиеми с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можноотбросить (оно вытекает как следствие из остальных).Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей потоков равны:.Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочноеусловие:.Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40 % временибудет проводить в состоянии S0 (оба станка исправны), 20 % - в состоянии S1(первый станок ремонтируется, второй работает), 27 % - в состоянии S2 (второйстанок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S3 (оба станкаремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценитьсреднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.Пусть система S в состоянии S0 (полностью исправна) приносит в единицувремени доход 8 условных единиц, в состоянии S1 – доход 3 условные единицы, всостоянии S2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода.Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будетравенусловных единиц.Станок 1 ремонтируется долю времени, равную.

Станок2 ремонтируется долю времени, равную. Возникает задачаоптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого иливторого станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму.Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта,повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравненийс четырьмя неизвестными.Задачи теории массового обслуживанияПримеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции,ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другиетехнологические системы, системы управления гибких производственных систем ит.д.Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц,которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки,роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.).