Лекционный курс от Русакова (1087061), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Всякая СМО предназначена дляобслуживания какого – то потока заявок (требований), поступающих в какие – тослучайные моменты времени.Обслуживание заявки продолжается какое – то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайныйхарактер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие – топериоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок(они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другиеже периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями инепрерывным временем.
Состояние СМО меняется скачком в моменты появлениякаких - то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента,когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).Предмет теории массового обслуживания – построение математическихмоделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, ихпроизводительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующиминас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показателиописывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть:среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее числозанятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожиданияобслуживания и т.д.Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этойработы Марковский, т.е.
потоки событий, переводящие систему из состояния всостояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса оченьусложняется и его редко удается довести до конкретных аналитическихзависимостей. На практике не Марковские процессы с приближением приводятся кМарковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковскиепроцессы.Классификация систем массового обслуживанияПервое деление (по наличию очередей):1. СМО с отказами;2. СМО с очередью.В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты,получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, неуходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, какорганизована очередь – ограничена или не ограничена.
Ограничения могуткасаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплиныобслуживания».Итак, например, рассматриваются следующие СМО: СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживанияограничено); СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявкиобслуживаются вне очереди и т.д.Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в какомсостоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят.Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от временитребующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станковзависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.КлассификацияСМОдалеконеограничиваетсяприведеннымиразновидностями, но этого достаточно.Математические модели простейших систем массового обслуживанияНиже будут рассмотрены примеры простейших систем массовогообслуживания (СМО).
Понятие «простейшие» не означает «элементарные».Математические модели этих систем применимы и успешно используются впрактических расчетах.Одноканальная СМО с отказамиДано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает. Поток обслуживаний имеетпростейший поток заявок с интенсивностьюинтенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО ивероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S0 – каналсвободен; S1 – канал занят. Переход из S0 в S1 связан с появлением заявки инемедленным началом ее обслуживания.
Переход из S1 в S0 осуществляется, кактолько очередное обслуживание завершится (рис.4).Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказамиВыходные характеристики (характеристики эффективности) этой и другихСМО будут даваться без выводов и доказательств.Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемыхв единицу времени):где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежуткувремени между поступающими заявками - );– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времениобслуживания)(средняядолязаявок,Относительнаяпропускнаяспособностьобслуживаемых системой):Вероятностьнеобслуженной):отказа(вероятностьтого,чтозаявкапокинетСМООчевидны следующие соотношения:и.Пример. Технологическая система состоит из одного станка.
На станок.поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа. Если при поступленииСреднее время изготовления одной детали равнозаявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другойстанок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы ивероятность отказа по изготовлению детали.Решение.Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке..Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другиестанки.N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла изпрактических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датскимматематиком Эрлангом.Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с. Поток обслуживаний имеет интенсивность.
Заявка,интенсивностьюзаставшая систему занятой, сразу же покидает ее.Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО;вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ;среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднеечисло занятых каналов).Решение.
Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числузаявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов): S0 – в СМО нет ни одной заявки; S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальныесвободны); S2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальныесвободны); ... Sn – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).Граф состояний СМО представлен на рис. 5Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказамиПочему граф состояний размечен именно так? Из состояния S0 в состояние S1систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка,система переходит из S0 в S1). Если система находилась в состоянии S1 и пришлаеще одна заявка, то она переходит в состояние S2 и т.д.Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть системанаходится в состоянии S1 (работает один канал).
Он производит обслуживаний вединицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S1 в состояние S0 нагруженаинтенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S2 (работают дваканала). Чтобы ей перейти в S1, нужно, чтобы закончил обслуживание первыйканал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равнаи т.д.Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМОопределяются следующим образом.Абсолютная пропускная способность:где n – количество каналов СМО;– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналысвободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S0);Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний дляобщую формулу (безсхемы «гибели и размножения». Напишем сначала длядоказательства):Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутсяследующим образом.Вероятность того, что СМО находится в состоянии S1, когда один канал занят:Вероятность того, что СМО находится в состоянии S2, т.е.
когда два каналазаняты:Вероятность того, что СМО находится в состоянии Sn, т.е. когда все каналызаняты.Теперь для n – канальной СМО с отказамиПри этомОтносительная пропускная способность:Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом;.Вероятность отказа:Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной..Очевидно, чтоСреднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемыходновременно):При этом.Пример. Имеется технологическая система (участок), состоящая из треходинаковых станков. В систему поступают для обработки детали в среднем через. Если при0,5 часа ( ). Среднее время изготовления одной деталипоступлении заявки на изготовление детали все станки заняты, то детальнаправляется на другой участок таких же станков. Найти финальные вероятностисостояний системы и характеристики (показатели эффективности) данной СМО.,т.е.
в среднем две заявки на обработку деталей в час..Граф состояний системы представлен на рис.7Рис.7Граф состояний для рассматриваемого примераВозможные состояния системы:S0 – в СМО (на участке) нет ни одной заявки;S1 – в СМО (на участке) одна заявка;S2 – в СМО (на участке) две заявки;S3 – в СМО (на участке) три заявки (заняты все три станка).Вероятность того, что все станки свободны:Вероятность того, что один станок занят:Вероятность того, что два станка заняты:Вероятность того, что все три станка заняты:Т.е. в среднем в этой системе обрабатывается 1,82 дет/ч (примерно 91 %направляемых деталей), при этом примерно 9 % деталей направляется дляобработки на другие участки. Одновременно в среднем работает в основном один).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
