kkvant (Учебник - Основы квантовой механики), страница 8

Например, дальше мы увидим, что для справедливости постулата об измерении динамических переменных, сформулированного на стр. 26, необходимо,чтобы оператор любой динамической переменной был линейным. Требования клинейному оператору таковы:Â(aΦ) = aÂΦ, (Φ1 + Φ2 ) = ÂΦ1 + ÂΦ2 ,(4.2)Операторы могут действовать не только на функции, но и на другие объекты, ноздесь мы не будем строить общую теорию операторов.131где a — произвольное комплексное число. Используя эти свойства, легко доказать,что для любого линейного оператора справедливо равенствоÂai Φi=iai ÂΦi .(4.3)iЧитателю будет полезно самому проверить, что все операторы динамических переменных, которые были введены в предыдущем параграфе, являются линейнымиоператорами.Еще одно свойство операторов в квантовой механике следует из очевидного требования, чтобы среднее значение любой динамической переменной было действительным, т.

е. Â∗ = Â. Чтобы сформулировать это свойство, нам потребуютсяновые понятия.Во-первых, определим комплексно сопряженный оператор Â∗ , который получается из оператора  заменой i → −i. Если мнимая единица не входит явно воператор Â, то, конечно, Â∗ = Â. В таком случае говорят, что  — действительный оператор. Во-вторых, для оператора  можно ввести транспонированныйоператор Â, который определяется равенством(4.4)Φ1 (ÂΦ2 ) dV = Φ2 (ÂΦ1 ) dV,где Φ1 и Φ2 — произвольные функции координат. Наконец, введем эрмитовосопряженный оператор1∗† =  .(4.5)Предлагаем читателю в качестве упражнения проверить, что эрмитово сопряженный оператор удовлетворяет соотношениюΦ∗1 ÂΦ2∗dV=Φ∗2 † Φ1 dV,(4.6)где Φ1 , Φ2 — две произвольные функции.Рассмотрим теперь среднее значение динамической переменной, которой соответствует оператор Â.

Используя определение эрмитово сопряженного оператораи равенство (4.6), запишем∗ ∗∗ ≡Ψ ÂΨ dV= Ψ∗ † Ψ dV ≡ † .Так как для произвольного квантового состояния Ψ должно выполняться равенствоA∗ = A, то оператор любой динамической переменной обязан удовлетворятьусловию† = Âэрмитовый оператор.(4.7)Название операции (4.5) связано с фамилией французского математика XIX векаШарля Эрмита.132Операторы, удовлетворяющие условию (4.7), называются эрмитовыми или самосопряженными операторами.Подводя итог, можно сформулировать необходимое требование к операторамдинамических переменных или, другими словами, — к операторам наблюдаемыхфизических величин:• Операторы, которые соответствуют динамическим переменным, обязаныбыть линейными эрмитовыми операторами.4.2.Произведение операторовВо многих приложениях квантовой механики возникает произведение операторов.

Смысл символа ÂB̂ становится очевидным, если справа поставить функциюΨ, на которую действуют операторы. Из выражения ÂB̂Ψ видно, что сначала нафункцию Ψ действует оператор B̂, а затем — оператор Â. Это правило нужнохорошо запомнить, иначе можно получить неверные результаты.Пусть Â — эрмитовый оператор динамической переменной A, а B̂ — эрмитовыйоператор другой динамической переменной B. Естественно предположить, то произведение операторов ÂB̂ тоже соответствует динамической переменной, котораяесть произведение исходных динамических переменных. Однако это не всегда такпо следующим причинам.

Во-первых, результат действия произведения операторов на волновую функцию может зависеть от их порядка в произведении, т. е. вобщем случаеÂB̂Ψ = B̂ ÂΨ.Чтобы убедиться в этом, достаточно взять  = x̂ и B̂ = p̂x . Так как∂Ψ∂∂Ψx̂p̂x Ψ = −i x,p̂x x̂Ψ = −i(xΨ) = −i x+Ψ ,∂x∂x∂x(4.8)видно, что x̂p̂x = p̂x x̂. Во-вторых, если операторы  и B̂ — эрмитовые, это ещене означает, что ÂB̂ — тоже эрмитовый оператор. Можно доказать (см. упражнение 4.7), что для любых двух операторов справедливо равенство(ÂB̂)† = B̂ † † ,(4.9)т. е. эрмитово сопряженный оператор произведения равен произведению эрмитовосопряженных операторов, но взятых в обратном порядке.

Если † =  и B̂ † = B̂,то формула (4.9) дает(ÂB̂)† = B̂ Âдля эрмитовых операторов.(4.10)Таким образом, для эрмитовых операторов  и B̂ их произведение ÂB̂ тоже является эрмитовым оператором (и, значит, может претендовать на звание динамической переменной), только если ÂB̂ = B̂ Â, т. е. произведение операторов не зависитот порядка сомножителей. Вывод, к которому мы пришли, — пример красивой связи математики и физики в квантовой теории. В самом деле, проверив, можно илинельзя менять порядок операторов динамических переменных в произведении, мызаключаем, можно ли в эксперименте измерить произведение этих динамическихпеременных.334.3.Коммутатор операторовВвиду сказанного выше, в квантовой механике важную роль играет коммутатор двух операторов динамических переменных, который обозначается символом[Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Âкоммутатор.(4.11)Коммутатор обладает очевидными свойствами[Â, B̂] = −[B̂, Â].[Â, Â] = 0,(4.12)Приведем еще два полезных тождества[Â, B̂ + Ĉ] = [Â, B̂] + [Â, Ĉ],(4.13)[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂] Ĉ + B̂ [Â, Ĉ],(4.14)которые часто используются для явного вычисления коммутаторов.

Проверку этихтождеств оставляем читателю в качестве упражнения; нужно просто записать вразвернутом виде правые и левые части и убедиться, что они совпадают.Если [Â, B̂] = 0, т. е. для любой функции Ψ выполняется равенство [Â, B̂]Ψ = 0,то говорят, что операторы Â и B̂ коммутируют. Ясно, что в этом случае можнопереставлять операторы в произведении.На будущее полезно вычислить коммутаторы уже знакомых нам операторовдинамических переменных. Прежде всего заметим, что операторы координат частицы (3.32) коммутируют друг с другом. Очевидно, что любой оператор проекцииимпульса (3.27) коммутирует с любым другим оператором проекции импульса, таккак вычисление частных производных можно проводить в любом порядке.

Кроме того, легко сообразить, что каждый из операторов координат коммутирует соператором “чужой” проекции импульса, т. е.[x̂, p̂y ] = [x̂, p̂z ] = 0,[ŷ, p̂x ] = [ŷ, p̂z ] = 0,[ẑ, p̂x ] = [ẑ, p̂y ] = 0.(4.15)Если, однако, мы возьмем пары операторов x̂ и p̂x , ŷ и p̂y , ẑ и p̂z , то обнаружим,что их коммутаторы не равны нулю.

Действительно, используя формулы (4.8), атакже аналогичные формулы для других проекций, находим[x̂, p̂x ] = i,[ŷ, p̂y ] = i,[ẑ, p̂z ] = i .(4.16)В данном случае коммутаторы являются числами. Строго говоря, коммутаторвсегда является оператором. Поэтому в формулах (4.16) вместо i следовало бынаписать i 1̂, где 1̂ — единичный оператор, действующий на любую функцию Ψпо правилу 1̂Ψ = Ψ.

Для упрощения формул единичный оператор почти всегдаявно не выписывается.Приведем важный пример, показывающий, что коммутатор двух операторовдинамических переменных может выражаться через оператор третьей динамической переменной. Вспоминая определение операторов проекций момента импульса34частицы (3.39) и вычисляя коммутаторы для различных проекций, нетрудно проверить (см. упражнение 4.8.), что[L̂x , L̂y ] = iL̂z ,[L̂y , L̂z ] = iL̂x ,[L̂z , L̂x ] = iL̂y .(4.17)Эти три коммутатора можно кратко записать в виде одного векторного равенстваˆ × Lˆ = iLˆ .L(4.18)ˆ × L)ˆ x = L̂y L̂z − L̂z L̂y ;Проекции оператора в левой части надо вычислять так: (Lостальные две проекции получаются циклической перестановкой индексов x, y, z.Формула (4.18) демонстрирует различие между свойствами векторных операторов×A = 0.и обычных векторов, для которых A4.4.Квантовая неопределенность физических величинВ разделе 3.4.

уже отмечалось, что многократные измерения одной и той жефизической величины в одном и том же квантовом состоянии будут давать, вообщеговоря, различные результаты. На первый взгляд, в этом утверждении нет ничегоудивительного, так как в любом эксперименте всегда действуют случайные факторы. Поэтому и в классической физике считалось, что ни одну динамическуюпеременную практически невозможно измерить абсолютно точно. По классическим представлениям, однако, для повышения точности измерений нет принципиальных ограничений; улучшая приборы, можно получить экспериментальныезначения физической величины, сколь угодно близкие к ее истинному значению.В квантовой механике утверждается, что, кроме разброса экспериментальных результатов, связанного с несовершенством реальных приборов, у физической величины в данном состоянии может быть квантовая неопределенность, котораязависит от самого́ состояния и не может быть устранена повышением точностиприборов.

Грубо говоря, если у физической величины имеется квантовая неопределенность, то мы не можем абсолютно точно измерить эту величину не потому,что наши приборы несовершенны, а потому, что у физической величины простонет никакого “истинного значения” в данном состоянии.Алгебра операторов дает возможность ввести количественную характеристикуквантовой неопределенности физических величин. Эта характеристика вводится по аналогии с так называемой средней квадратичной погрешностью, хорошоизвестной каждому, кто проводил хотя бы простейшие эксперименты.