11 (Типовой расчет (математический анализ), 01 вариант, Кибернетика+ИТ, 2011 (2010))

11 2 Рассмотрим функция ! (г) =,, (г'+!)(гз +9) Степень числителя равна 2, степень знаменателя 4, так что 2 < 4-2. Все полюсы первого порядка г =+! и г =+3! не лежат на действительной оси. Тогда 2 с!г = 2лзфез,~(г)+ гез г'(г)) . Найдем вычеты гезу (г) = 1ип гез г" (г) = 1ип г2 .( -1) (г — !)(г+ !)(г'+ 9) !' 1 1 — 1ип г+,)(г2+9) (!+!)(!'+9) 21 (-!+9) 161 2 (г - 3!) (г — 3!)(г+ 3!)(г'+1) 2 9!' 9 3 ""' (г+ 3!)(г' +1) 6~ ( — 9+1) 481 16! Тогда х' .à — ~й — — 2лт — — + — - ж — — —.

о (х +1)(х'+9) 2 ( 161 16! ) 8! 8 Ответ: —. 8 Ответ: 3 нуля. Задание 16. С помощью вычетов найти оригинал Я) изображения Г(р). Сделать проверку (найти изображение функции у (г), используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно Р(р) ! Р'(р)= ~ .

р'+1 Решение. Задание 9. Используя теорему Руше, найти число нулей функции г (г) в области 23 !каждый нуль считается столько раз, какова его кратность). Р(г)=г' — 5г'+2г+1, 23: 1«Я<2. Решение. Пусть Р(г) = р(г) + р (г), где !Р(г) = г' и р (г) = — Ы + 2г+1, При И = 2, имеем ~!Р(х)! = 2' = 32, ~р (г)~ < ~-5г'~+ !5г~+! = 20+! 0+1 = 31, т е, )р(г)! > !р (х)! . По теореме Раше все пять нулей функции г'(г) лежат в круге К, = (г е 3:И < 2), Определим„сколько из них имеют модуль меньше 1. Пусть г(г)=гя(г)+р(г),гдето(г)=-5г' и р(г)=г'+2г+1.

При Ц =1, имеем ~!е(х)~ =5, ~р(г)! <~г'~+!2г!+!-1~=1+2+1=4, т е. ~!в(г)~ >~~~(х)!. По теореме Раше вседвануляфункции г(г) лежатвкруге К, =(гаЗ;!г!<1). Тогда в кольце !3: 1 <Я < 2 содержится три нуля. .