Лекция 6 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 3

Поэтому минор Мп−1 матрицы Ап обычно обозначают M ij .Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется величина Aij  ( 1)i  j M ij .Из определения детерминанта матрицы An сразу следует, что определитель матрицы равенсумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения этойnni 1j 1строки (столбца): det( A)   aij Aij   aij Aij ………………………………………….(*)nС другой стороны,a Ai 1ijik 0 при j  k иna Aj 1ijkj 0 при i  k …………….(**)Т.е. сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнениядругой строки (столбца) равна нулю.

{Фактически, мы получаем определитель с двумяодинаковыми строками (столбцами)}Определение 3. Транспонированная матрица из алгебраических дополнений называется A11  An1 присоединенной матрицей: A       .A  A nn  1nТеорема 2. A  A  A  A  det( A)  E.{При умножении k −ой строки А на k − ый столбец A получается det(A) (*), при умножениина любой другой столбец A получается ноль (**) }Следствие.A1 1 Adet( A)2 3 2 3  10  12  2;Пример.

Найти обратную матрицу для A  . {d 4 5 4 5  5 3  1 1  5 3   5/ 2 3/ 2 A11  5; A12  4; A21  3; A22  2. A  .(проверка)} . A  2  4 2    21  4 2  Замечания. 1. Полезно запомнить, что обратная матрица второго порядка получается из исходнойследующим образом: элементы главной диагонали меняются местами, у элементов второйдиагонали изменяется знак. Полученная матрица делится на определитель.2. Обратная матрица может быть получена с помощью элементарных преобразований.

Для этогосоставляется матрица  A E  и левая часть элементарными преобразованиями приводится кединичной. При этом матрица Е преобразуется в обратную {б/д}. Последний пример:7 2 3 1 0   1 3/ 2 1/ 2 0   1 3/ 2 1/ 2 0   1 0 5/ 2 3/ 2  1 1  5 3 .; A  1 2 1   0 1 21 2  4 2  4 5 0 1   4 5 0 1   0Свойства обратной матрицы.111. det( A1 ) . { det( A1  A)  det( E )  det( A1 )det( A)  1 (св.7,8 §3)  det( A1 ) .}det( A)det( A)2. ( A  B)1  B 1  A1 . {( AB)  ( B 1 A1 )  AEA1  E}3.

( A1 )1  А. {Из определения A1 следует, что А и A1 − взаимно обратные матрицы.}В заключение докажем критерий существования обратной матрицы:Теорема 3. Обратная матрица A1 существует тогда и только тогда, когда А − невырожденнаяматрица, т.е. det( A)  0.{1. Пусть A1 существует. Т.к. она равна присоединенной матрице, деленной на определитель, топоследний не равен нулю. 2. Пусть det( A)  0. По Сл.Т.2 обратную матрицу можно вычислить.}§7. Решение матричных уравнений.Использование обратных матриц позволяет решать простые матричные уравнения относительноквадратных матриц. Рассмотрим пример одной из таких задач. Решить уравнение AXB + C = D,x x 2 11 4 1 23 2,B  ,C  ,D  , X   11 12  − неизвестная матрица.где A   3 2 1 3 0 21 1 x21 x22 Матрица Х равна: X  A1 ( D  C ) B 1.

Пользуясь замечанием 1 предыдущего параграфа, имеем: 2 1  1  3 4 2 0  2 1   2 0   3 4   16 21 A1  ,B  , D C  , X . 3 2 1 1 1 1 3 2   1 1  1 1  26 34 Замечание. Так как умножение матриц не коммутативно, необходимо внимательно смотреть затем, с какой стороны следует умножать правую часть на обратные матрицы.§8. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1a x  a x    a x  b 21 1 22 22n n2Определение 1. Система уравнений называется системой mam1 x1  am 2 x2    amn xn  bmлинейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ).Такая запись уравнений носит название координатной формы записи.Более компактной записью является матричная форма.

Нетрудно видеть, что левая частьсистемы представляет собой вектор, полученный умножением матрицы системы Amn на векторнеизвестных x . В правой части получается вектор правых частей b (оба вектора – столбцы).Использование этой закономерности позволяет записывать системы в более компактном виде:Ax  b − матричная форма записи. В случае невырожденной квадратной матрицы решениесистемы может быть записано в виде x  A1b .Рассмотрим еще несколько общих понятий, относящихся к СЛАУ.Определение 2. СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.Если решений не существует, система называется несовместной.Определение 3.

СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: b = 0, называетсяоднородной. В противном случае система называется неоднородной.Для однородных СЛАУ имеют место несколько общих утверждений.Теорема 1. Однородная СЛАУ всегда совместна.{Нулевой вектор всегда является решением однородной СЛАУ}Теорема 2. Множество решений однородной СЛАУ образует линейное пространство.{Пусть y и z − решения системы Ax  0  A( y   z )   Ay   Az  0  0  0 , т.е. ихлинейная комбинация тоже решение.

Выполнение аксиом − очевидно.}8Замечание. Пространство решений однородной СЛАУ является, очевидно, подпространствомлинейного пространства n – мерных векторов R n .§9. Квадратные СЛАУ. Правило Крамера.Рассмотрим вначале СЛАУ с квадратной матрицей А − число уравнений равно числунеизвестных: A  An , x T  ( x1,, xn ), b T  (b1,, bn ): Ax  b .Правило Крамера.Обозначим определитель матрицы буквой d , а определители матриц, полученных из А заменойk – го столбца столбцом правых частей b через dk .Теорема (правило Крамера).

Если определитель матрицы системы d  0 , то система имеетdединственное решение, которое может быть получено по формулам: xk  k , k  1, 2,, n.dn1 1d{ x  A1b  Ab x1   Ak 1bk  1 ; x2 ,, xn – аналогично. Единственность − от противного.}dd k 1d§10. Критерий совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капелли.Вернемся к общим СЛАУ Ax  b . Введем еще одно понятие.Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца правыхчастей, называется расширенной матрицей системы: ( A b ) .Теорема (Кронекера – Капелли).

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширеннойматрицы равен рангу исходной матрицы системы, т.е. rang(A b ) = rang(A) .{1. Система совместна. Правая часть есть линейная комбинация столбцов матрицы,коэффициенты которой равны координатам вектора решения. Т.е. rang(A b ) = rang(A) .2. rang(A b ) = rang(A) . Следовательно, в качестве базисного минора расширенной матрицыможно взять базисный минор матрицы А.

По теореме о базисном миноре (§4) правые частиравны линейной комбинации базисных столбцов матрицы. В качестве решения можно взятькоэффициенты этой линейной комбинации.}§11. Общее решение СЛАУ.Определение. Множество решений системы линейных алгебраических уравнений Amn x  bназывается общим решением этой системы. Т.е. любой вектор этого множества есть решение илюбое решение этой системы принадлежит указанному множеству.Из §8 следует, что общим решением однородной системы является некоторое подпространствопространства R n .

Для неоднородной системы это не так: общее решение неоднородной системыне образует линейного пространства.{Нулевой вектор (0,0,…,0) не является решением исходной системы.}Итак, дана совместная система Amn x  b , матрица которой имеет ранг равный r. Для простотыбудем считать, что базисный минор матрицы находится в левом верхнем углу (этого всегдаможно добиться перестановкой строк и изменением нумерации неизвестных).

Оставим первые rуравнений системы и перенесем неизвестные xr 1,, xn в правую часть. Если теперь дать этимнеизвестным произвольные фиксированные значения, то по Т. Крамера полученная системабудет иметь единственное решение (определитель системы = базисному минору ≠ 0). Эторешение (вместе с xr 1,, xn ) является решением исходной системы, так как все строкирасширенной матрицы (по критерию Кр. – К. ) есть линейные комбинации базисных.Можно показать, что любое решение может быть получено таким же образом. Достаточновзять xr 1,, xn из предложенного решения и первые неизвестные определятся однозначно потеореме Крамера.

Тем самым, указанный метод позволяет получить общее решение системы.В общем случае базисного минора будем называть неизвестные, не входящие в базисный минор,свободными, а, входящие в него – зависимыми.9На практике матрицу системы сначала приводят к ступенчатому виду, затем выбирают базисныйминор и , таким образом, зависимые и свободные неизвестные.

При этом, желательно всепреобразования производить только со строками, чтобы сохранить нумерацию неизвестных.После этого зависимые переменные выражают через свободные и записывают общее решение.Рассмотрим на примере данный алгоритм и сделаем несколько общих выводов. x1  x2  x3  x4  71 1 1 1 7  1 1 1 1 7    1 1 1 1 7   x3 , x4 свободные3x1  2 x2  x3  x4  2  3 2 1 1 2    0  1  2  2 23     0 1 2 2 23 x1 , x2 зависимыеx2  2 x3  2 x4  23  0 1 2 2 23   0 1 2 2 23  x1  16  c3  c4 x3  c3   x1  x2  7  c3  c4Пусть . x2  23  2c3  2c4 x4  c4   x2  23  2c3  2c4Последняя формула, вообще говоря, дает общее решение данной системы при произвольныхзначениях с3 и с4 .