Лекция 6 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола)

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ( AK3.R5S.RU )Введение. Основные понятия и определения.§1. Аксиоматика линейных пространств.Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…} называется множество, относительноэлементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результатыэтих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительноопераций сложения и умножения на число): a  b  L;   a  L,   .(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)Для a, b, c  L и  ,   эти операции удовлетворяют следующим условиям:1. a + b = b + a (коммутативность сложения).2.

(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).3. 0  L  a  0  a (существование нулевого элемента) .4. a  L  a  a  0 (существование противоположного элемента).5. 1·а = а.6.  (  a)  ( )a.7. (α + β)а = αа + βа (дистрибутивность).8. α(а + b) = αa + αb (дистрибутивность).Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.{От противного: 01,02; 01+02=01 и 02+01=02 (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 01=02}Теорема 2.

a  L противоположный элемент – единственен.{Пусть для a  L a1 и a2  a1  (a  a2 )  a1  0  a1;(a1  a)  a2  0  a2  a2  a1  a2 }Теорема 3. 0·а = 0.{ 0a  0a  0  0a  a  a  (0  1)a  a  a  a  0 }Теорема 4. a  (1)a  a.{ a  (1)a  (1  1)a  0a  0 }Примеры. ,V2 ,V3 , Rn , C[0a ,b] , Pn ( x), R : (  ,   ), Amn .§2.

Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.Определение 1. Суммаnk 1k ak ; k , ak  L называется линейной комбинацией элементов а1,а2,…,аn с коэффициентами λk .Определение 2. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейнозависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация сnкоторыми равна нулю, т.е.  1 ,, n   k ak  0.12  n2 0k 1Определение 3.

Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейнонезависимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:n 1 ,, n   k ak  0.12  n2 0k 1Имеют место несколько простых утверждений.Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). a1,…,an – линейнозависима  когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.{1.(необходимость: {ak} – л.з.

):n akk 1k 0 . Пусть, для определенности, k   ak  а1 – линейная комбинация остальных.k 2  1 n1  0  a1   2.(достаточность: am – л.к.): am nk 1,k mnk ak   k ak  0, m  1 0  л. з. }k 11Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.{ 0a1  0a2    0an1  1  0  0; 1  0 }Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.{ 1a1    mam  0am1    0an  0; 12    m2  0 }Примеры.1) a , b  л.з.

 a  b  a  b  b  a . 2) a , b , c  л. з.  когда они компланерны.3) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.§3. Базис. Размерность. Координаты.Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементовпринадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:1) Система {e1,, en }  линейно независима.2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е.

является линейной комбинациейnэлементов e1 , e2 ,, en ): a  L 1 ,, n   a  k ek .k 1Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3некомпланарных вектора), в пространстве Rn (канонический базис), в пространстве многочленовстепени ≤ n − (1,х,х2,…,хn).Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.nnnk 1k 1k 1{Пусть a  k ek    k ek   (k   k )ek  0   k  k k }Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисеназываются коэффициенты разложения по этому базису.(В силу Т.1 это определение корректно) 1 Будем писать: a    .   nВ дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случаебудем писать строку координат в явном виде: (1 ,, n ), либо как a T .Теорема 2.

При сложении векторов их координаты складываются: a  b  (1  1,, n  n ).nnnk 1k 1k 1{ a  b  k ek    k ek   (k   k )ek }Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:nnk 1k 1λа = (λα1,…,λαn). {  a    k ek   ( k )ek }Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называетсямаксимальное число линейно независимых элементов этого пространства.Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.Теорема 4.

Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числавекторов.Примеры. V2 ; V3 ; Rn.§4. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножествоэлементов L, которое само является линейным пространством.Т.е.

подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число исодержит нулевой элемент. (Все аксиомы выполняются автоматически).Примеры. V2  V3 , {P3 ( x)}  {P5 ( x)} , множество решений однородной СЛАУ.2Определение 2. Рангом системы векторов (a1, a2 ,, am ) называется максимальное числолинейно независимых векторов этой системы. Обозначают: rang (a1, a2 ,, am ) .Определение 3. Линейной оболочкой системы элементов (a1, a2 ,, am ) , принадлежащих L ,называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов (иногда говорят линейнаяmоболочка, натянутая на систему векторов): S(a1 ,, am )   k ak ; i  . k 1Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейнымпространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либобазис этого пространства.Теорема 1.

(Основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы (a1, a2 ,, am ) ,линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.m 1{Пусть, для определенности, am   k ak , а b  S (a1,, am )  произвольный . Тогдаmm 1m 1k 1m 1k 1k 1k 1k 1b    k ak    k ak   m  k ak   (  k   mm )ak , т.е. b  S (a1 ,, am1 ) }Следствие.

Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов:dim S (a1,, am )  rang(a1,, am ).Глава 1. Теория матриц и системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).§1. Матрицы. Основные определения.Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.Матрицу, состоящую из m строк и n столбцов, будем обозначать Amn , а числа m и nназывать ее размерами. Числа, составляющие матрицу, называют ее элементами. Элементматрицы, стоящий в i−той строке и j−ом столбце обозначается aij (первый индекс – номерстроки, второй – столбца).

Таким образом: a11 a12  a1n aa22  a2 n 21Amn  ( aij )     am1 am 2  amn Определение 2. Матрица, все элементы которой – нули, называется нулевой матрицей.Определение 3. Две матрицы называются равными, если их размеры совпадают и всесоответственные элементы попарно равны: Amn  Bkl  m  k  n  l  aij  bij  i, j .Определение 4. Матрица, все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А(при этом, естественно, ее столбцы будут равны строкам А), называется транспонированной к Аи обозначается АТ.Из определения сразу следуют несколько элементарных свойств:T, то В  Bnm .1. Если B  Amn2.

bij  a ji i, j .3.A T T A.Определение 5. Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (m = n)называется квадратной и обозначается An .Совокупность элементов квадратной матрицы (a11, a22 ,, ann ) называется главной диагональю.Квадратная матрица, все элементы которой ниже (выше) главной диагонали равны нулю,называется верхней треугольной (нижней треугольной) матрицей.Определение 6. Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю( aij  0, i  j ), называется диагональной матрицей.Диагональная матрица с единичными элементами называется единичной матрицей.31 0  00 1  0.Единичную матрицу будем обозначать буквой Е: E     0 0  1Определение 7.

Квадратная матрица называется симметричной, если АТ = А, т.е. aij = aji.§2. Простейшие операции над матрицами и их свойства.1. Сложение (вычитание) матриц.Суммой (разностью) двух матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме(разности) соответствующих элементов слагаемых: Amn  Bmn  (aij  bij ).Из определения сразу следует, что складывать (вычитать) можно только матрицы одинаковойразмерности.2. Умножение матрицы на число.Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой равенпроизведению элемента исходной матрицы на это число:  A  ( aij ).3.

Произведение матриц.Произведением матриц Amn  Bnk называется матрица Cmk , каждый элемент которой cij равенсумме попарных произведений элементов i– ой строки матрицы А на элементы j – го столбцаnматрицы В: cij   ail blj ; i  1  m, j  1  k .l 1 2 0 3   3   2  3  0  ( 1)  3  2   12 Пример.  1 1  1   1   1  3  1  ( 1)  ( 1)  2    0  0 4 1   2   0  3  4  ( 1)  1  2   2      Замечания. 1) Умножать матрицы можно только в том случае, когда число строк правойматрицы равно числу столбцов левой.