Лекция 6 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 2

Отсюда следует, что при умножении не квадратныхматриц, их нельзя менять местами по определению.2) В случае умножения квадратных матриц, произведение, вообще говоря, зависит от порядкасомножителей (т.е. произведение матриц не коммутативно).3) Полезно заметить, что формула для вычисления элемента произведения совпадает сформулой вычисления скалярного произведения векторов в декартовой системе координат.Определение. Если произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей(т.е.

АВ = ВА), то эти матрицы называются перестановочными между собой.Свойства арифметических операций.1. А +В = В + А2. А + (В + С) = (А + В) + С3. (   )A   A   A4.  ( A  B)   A   B5. А(ВС) = (АВ)С6. А(В +С) = АВ + АС7. (А + В)С = АС + ВС8. АЕ = ЕА = А{Первые 4 свойства очевидны.

Докажем одно из последующих, например, св – во 6:nnnl 1l 1l 1dijл   ail (blj  clj )   ail blj   ail clj  d ijп1  d ijn 2 }Из двух первых операций (т.е. линейных операций) и их свойств (св. 1 – 4) следует, чтоматрицы одинаковой размерности образуют линейное пространство. Доказатьсамостоятельно, что dimL(Amn) = m×n , приведя пример базиса этого пространства.4Свойства арифметических операций для транспонированных матриц.1) ( A  B)T  AT  BT . 2) ( A)T   AT .

3) ( A  B)T  BT  AT . {Слева – строки А на столбцыВ и транспонирование. Справа – столбцы В на строки А , т.е. уже транспонированная.}§3. Определитель квадратной матрицы и его свойства.Одной из важнейших характеристик квадратных матриц является ее определитель илидетерминант: An  det( An ) . Дадим рекуррентное определение этого понятия.ab ad  bc.cd2) Определитель третьего порядка вычисляется по формулеa11 a12 a13aa23aaaaa21 a22 a23  a11 22 a12 21 23  a13 21 22 .a32 a33a31 a33a31 a32a31 a32 a33Таким образом, вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению трехопределителей второго порядка.

Каждый из них получается вычеркиванием строки и столбца,которые содержат элемент, стоящий перед этим определителем. Знаки перед слагаемымивычисляются по формуле ( 1)i  j , где i и j − индексы этого элемента. Данная формуланазывается разложением определителя по первой строке. Определитель четвертого порядкавыражается по этому же правилу через определители третьего порядка и так далее.Утверждение.

Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу {б/д}.Перечислим без доказательства основные свойства определителей.1. Столбцы и строки определителя равноправны. Следствие: det( A)  det( AT ).2. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.3. Постоянный сомножитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.4. Если к любой строке (столбцу) определителя прибавить любую другую строку (столбец),умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.5.

Если одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные, то определительравен нулю.6. Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак.7. det(E) = 1.8. det( A  B)  det( A)  det( B) (определитель произведения равен произведениюопределителей)9.

Определитель диагональной и треугольных матриц равен произведению диагональныхэлементов.Определение. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.1) Определитель второго порядка равен:§4. Миноры и ранг матрицы.Рассмотрим матрицу Amn . Выберем k произвольных строк и k произвольных столбцовэтой матрицы ( k  min{m, n} ).Определение 1. Минором k – го порядка матрицы А (обозначается Мk) называетсяопределитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк истолбцов матрицы А.Определение 2.

Рангом матрицы А (rang(A)) называется максимальный порядок минора,отличного от нуля. Т.е., rang(A) = r, если 1)  M r  0 , 2)  M k  0 при k  r. Любой минор,имеющий порядок r, называется базисным минором матрицы А. (Из определения сразуследует, что r  min{m, n} )Строки и столбцы матрицы А, на которых строится базисный минор, так же называютсябазисными.Имеет место очень важное утверждение:Теорема о базисном миноре.

Любая строка (столбец) матрицы А является линейнойкомбинацией базисных строк (столбцов). {б/д}5Любую матрицу Amn можно рассматривать как упорядоченную систему из m n – мерныхили n m – мерных векторов. Теорема о базисном миноре позволяет доказать следующуюфундаментальную теорему:Теорема 1. Ранг матрицы равен рангу системы векторов, составляющих эту матрицу.{Для определенности рассмотрим систему строк матрицы (S). Выберем произвольныйбазисный минор Mr . По предыдущей теореме любая строка матрицы, не принадлежащаябазисным, линейно выражается через базисные. Следовательно, ее можно исключить изсистемы не изменив ранг самой системы (Введение, §4, Т.1).

Отсюда получаем, чтоrang(S) ≤ r. Но, если ранг будет строго меньше r, то одна из строк базисного минора будетлинейной комбинацией остальных и Mr = 0 (§3,св.5), что противоречит условию. Такимобразом – rang(S) = rang(A)}Следствием Т.1 для квадратных матриц является обобщение свойства 5 §3:Теорема 2. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда его строки(столбцы) линейно зависимы.{Необходимость. Пусть det(An) = 0  r < n  одна из строк – линейная комбинацияостальных  строки линейно зависимы.Достаточность. Строки линейно зависимы  одна из строк – линейная комбинацияостальных.

По свойству 5§3 det(An) = 0 (Вычтем эту линейную комбинацию из рассмотреннойстроки и получим определитель с нулевой строкой)}§5. Вычисление ранга матрицы.Для вычисления ранга матрицы используется два метода.I.Метод окаймляющих миноров.Определение 1. Окаймляющими минорами некоторого фиксированного минора называются всеминоры, полученные добавлением к нему дополнительного столбца и дополнительного строкиданной матрицы ( M kO1 ).Метод заключается в отыскании произвольного отличного от нуля минора и вычисления всехминоров, его окаймляющих. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен рангуисходного минора.

В противном случае операция повторяется. Обоснованием метода служитТеорема 1. rang(A) = r, если M r  0 и M rO1  0. {б/д}II. Метод элементарных преобразований.Определение 2. Элементарными преобразованиями называются следующие:1. Перестановка двух строк (столбцов).2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.Теорема 2. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.{При указанных преобразованиях любой минор матрицы (как обычный определитель) можетизменить свое значение только следующим образом: M k*   M k ,   0 }Определение 3.

Матрица В, полученная из А элементарными преобразованиями, называетсяэквивалентной А ( B  A ).Определение 4. Первый ненулевой элемент строки будем называть отмеченным.Определение 5. Матрица называется ступенчатой, если отмеченный элемент каждой строкирасположен правее отмеченного элемента предыдущей.Теорема 3.

Любая матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.{Доказательство носит конструктивный характер и будет продемонстрировано на примере}Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.02 1 1 0 2 1  1 0 2 1  1 0 2 1  1(2)3(1) 3 2 0 4  0 2 6 1  0 2 6 10261 (3)  2(1)  А 2 2 10 1 0 2 6 1  0 0 0 0 000 7 (4)  (1)    1 2 4 5  0 2 6 6   0 0 0 7   000 0 (в рамках −отмеченные элементы матрицы) Алгоритм может быть применен к любой матрице.6Теорема 4. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.{Снова продемонстрируем на том же примере: rang(A) = 3; в качестве базисного минора возьмем1 0 1минор, составленный из строк 1,2,3 и столбцов 1,2,4: 0 2 1  14  0 }0 0 7§6.

Обратная матрица.Для квадратной матрицы важную роль играет понятие обратной матрицы.Определение 1. Матрицей, обратной матрице А (обозначается A1 ), называется матрица,удовлетворяющая условию: A  A1  A1  A  E .Теорема 1. Обратная матрица (если она существует) − единственна.{Пусть у матрицы А есть 2 обратных: В и С. Рассмотрим произведение ВАС:ВАС = (ВА)С = ЕС = С. С другой стороны ВАС = В(АС) = ВЕ = В. Отсюда В = С}Для вычисления обратной матрицы необходимо ввести еще несколько понятий.Легко заметить, что минор (n – 1) − го порядка у квадратной матрицы Аn можно определять, незадавая строки и столбцы, а, указав один элемент aij , вычеркнуть i−ю строку и j−ый столбец, напересечении которых он находится.