4. Характеристический многочлен и собственные значения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2

Множество L(A, λ) является линейным подпространством в L.A(αx + βy) = A(αx) + A(βy) = αAx + βAy = α(λx) + β(λy) = λ(αx) + λ(βy) = λ(αx + βy).Таким образом, для вектора z = αx + βy выполняется соотношение Az = λz. Если z —нулевой вектор, то он принадлежит L(A, λ). Если же он ненулевой, то, согласно доказанномуÔÍ-12J Выберем произвольные два вектора x, y ∈ L(A, λ) и докажем, что для любых действительныхα и β вектор αx + βy также принадлежит L(A, λ).

Для этого вычислим образ этого векторапод действием линейного оператора A:ÌÃÒÓКаждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его кратность, полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы(этого линейного оператора).Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством, так как это множество не содержитнулевого вектора, который, по определению, не может быть собственным. Но это формальноеи легко устранимое препятствие является единственным.

Обозначим через L(A, λ) множествовсех собственных векторов линейного оператора A в линейном пространстве L, отвечающихсобственному значению λ, с добавленным к этому множеству нулевым вектором.ÔÍ-12которое представляет собой матричную форму записи однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей A − λE порядка n. Эта система имеетненулевое решение, являющееся столбцом координат x собственного вектора x. Поэтому матрица A − λE системы (4.4) имеет нулевой определитель, т.е.

det(A − λE) = 0. А это означает,что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора A.Д о с т а т о ч н о с т ь. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести вобратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det(A − λE) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ(4.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение x. Этоненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (4.3) или ему эквивалентное равенство(4.2).

Мы приходим к выводу, что число λ является собственным значением линейного оператора A. IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(4.3)ÌÃÒÓÌÃÒÓ(A − λI) x = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x.Используя этот оператор, преобразуем равенство (4.2): Ax = λIx, илиÔÍ-12ÌÃÒÓ(4.2)ÌÃÒÓÌÃÒÓAx = λx.ÔÍ-12ÌÃÒÓ47ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓ*Не следует путать два термина: собственное подпространство и собственное подпространство линейногооператора.ÔÍ-12В соответствии с описанной процедурой необходимо выполнить три действия. Первое действие можно опустить, так как оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе.Выполняем дальнейшие действия.ÌÃÒÓПример 4.4.

Найдем собственные векторы и собственные значения линейного оператораA, имеющего в некотором базисе матрицу01 20 1 .A=43 −1 1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Характеристическое уравнение линейного оператора A: L → L, действующего в n-мерномлинейном пространстве L, — это алгебраическое уравнение n-й степени с действительнымикоэффициентами. Среди его корней могут быть комплексные числа, но эти корни не относят ксобственным значениям линейного оператора, так как, согласно определению, собственноезначение линейного оператора — действительное число. Чтобы комплексные корни характеристического уравнения можно было рассматривать как собственные значения линейногооператора, в линейном пространстве должно быть определено умножение вектора на любыекомплексные числа.Как следует из доказательства теоремы 4.3, чтобы вычислить собственные значения линейного оператора A и найти его собственные векторы, нужно выполнить следующие операции:– выбрать в линейном пространстве базис и сопоставить A матрицу A этого линейногооператора в выбранном базисе;– составить характеристическое уравнение det(A − λE) = 0 и найти все его действительныекорни λk , которые и будут собственными значениями линейного оператора;– для каждого собственного значения λk найти фундаментальную систему решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (A − λk E)x = 0.

Столбцыфундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстве L(A, λk ) линейного оператора A.Любой собственный вектор с собственным значением λk принадлежит подпространствуL(A, λk ), и, следовательно, найденный базис в этом подпространстве позволяет представитьлюбой собственный вектор с собственным значением λk .ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.4. Вычисление собственныхзначений и собственных векторовÌÃÒÓÔÍ-12Линейное подпространство L(A, λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора* .

Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора A — такого линейного подпространства H, что для любоговектора x ∈ H вектор Ax также принадлежит H.Инвариантным подпространством линейного оператора является также линейная оболочкалюбой системы его собственных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора.Линейный оператор A: L → L можно рассматривать как линейное отображение любогосвоего инвариантного пространства H в себя. Такое отображение, по сути, есть результатсужения отображения A на линейное подпространство H, и его называют ограничениемлинейного оператора на инвариантное подпространство H.ÔÍ-12ÌÃÒÓсоотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежитмножеству L(A, λ).

IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ48ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓ 3x1 + x2 + 2x3 = 0,4x1 + 3x2 + x3 = 0,3x1 − x2 + 4x3 = 0.Ранг матрицы этой системы равен 2:31 23 1  = 2.Rg  43 −1 4где α — произвольное ненулевое действительное число.3б) При λ = λ2 = 1 система (4.5) имеет вид   −11 2x10 4 −1 1   x2  =  0  ,3 −1 0x30−11 2Rg  4 −1 1  = 2.3 −1 0ÔÍ-12Как и в предыдущем случае, размерность линейного пространства решений равна 2 − 1 = 1 ифундаментальная система решений содержит одно решение. Выберем следующее:1x(2) =  3 .−1ÌÃÒÓВсе множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением λ1 = −3 вкоординатной форме имеет вид1αx(1) = α −1 ,−1ÔÍ-12Поэтому размерность линейного пространства решений системы равна 3 − 2 = 1.

Фундаментальная система решений содержит одно решение, например1x(1) =  −1 .−1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12илиÌÃÒÓÌÃÒÓ3а) Для λ = λ1 = −3 система (4.5) имеет вид   31 2x1043 1x2 = 0  ,3 −1 4x30ÌÃÒÓÔÍ-12откуда λ1 = −3, λ2 = 1, λ3 = 3.3) Находим столбцы координат собственных векторов, решая для каждого из трех собственных значений однородную СЛАУ   −λ 12x10 4 −λ1   x2  =  0  .(4.5)3 −1 1 − λx30ÔÍ-12ÌÃÒÓ2) Находим собственные значения, решая характеристическое уравнение матрицы: −λ 12 4 −λ1 = (3 − λ)(λ2 + 2λ − 3) = 0, 3 −1 1 − λ ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ49ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓкоторый порождает собственное подпространство линейного оператора A, отвечающее собственному значению λ = 3.det(A − λE) = (a11 − λ)(a22 − λ) . .

. (ann − λ) = 0(определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов).Находим все действительные корни этого уравнения:ÌÃÒÓПример 4.5. Найдем собственные значения линейного оператора A, действующего в n-мерном линейном пространстве, матрица A которого в некотором базисе является верхней треугольной порядка n:a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n A= . . . . . .

. . . ,00 . . . annпричем все ее диагональные элементы aii попарно различны, т.е. aii 6= ajj при i 6= j.Составляем характеристическое уравнение матрицы A:ÔÍ-12ÔÍ-123в) Для λ = λ3 = 3 аналогично предыдущим двум случаям находим столбец координатодного из собственных векторов, например 7(3)x = 11  ,5ÌÃÒÓÌÃÒÓВсе множество собственных векторов c собственным значением λ = −1 в координатной формеимеет вид1βx(2) = β  3 ,−1где β — произвольное ненулевое действительное число.λk = akk ,k = 1, n.Как видим, линейный оператор A имеет n попарно различных собственных значений.Рассмотрим собственное подпространство L(A, λr ) линейного оператора A, отвечающеесобственному значению λr , где 1 6 r 6 n. Базис этого подпространства получим как фундаментальную систему решений однородной СЛАУ(A − arr E)x = 0.ÌÃÒÓявляется вектор x1 со столбцом координат (1 0 .

. . 0) . При r = 2 все координаты собственного вектора, начиная с третьей, будут равны нулю, так как они удовлетворяют системе x3a33 − a22a34...a3n  x4 0a44 − a22 . . .a3n  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ..  = 0,.00. . . ann − a22xnÌÃÒÓРанг матрицы A − arr E системы (4.6) равен n − 1. Действительно, с одной стороны, по определению собственного значения det(A − arr ) = 0, т.е. ранг матрицы A − arr E меньше ее порядкаn и не превышает n − 1. С другой стороны, после вычеркивания в матрице r-й строки и r-гостолбца получим верхнюю треугольную матрицу с ненулевыми элементами на диагонали. Этозначит, что ранг матрицы A − arr E не меньше n − 1.Так как матрица СЛАУ (4.6) имеет ранг, на единицу меньший ее порядка, эта СЛАУ имеетфундаментальную систему решений из одного вектора.

Это означает, что подпространствоL(A, λr ) одномерное.Наиболее просто решение системы (4.6) выглядит для r = 1. В этом случае собственнымÔÍ-12(4.6)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ50ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯтÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓполучающейся отбрасыванием в исходной системе первых двух уравнений.