4. Характеристический многочлен и собственные значения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 4

Например, фундаментальную систему решений составляют столбцы (2 1 0) итÌÃÒÓ(0 1 2) .Таким образом, базисом из собственных векторов матрицы A является система   320e1 = 5 , e2 = 1 , e3 = 1  ,602ÔÍ-12Ранг матрицы системы равен двум, поэтому фундаментальная система состоит из одного столбтца. Например, можно взять столбец (3 5 6) .Для собственного значения λ2 = 1 получаем систему   6 −12 6x10 10 −20 10   x2  =  0  .12 −24 12x30Отметим, что матрица P преобразования подобия представляет собой матрицу перехода изодного базиса в другой, т.е.

ее столбцы представляют собой столбцы координат векторов новогоÔÍ-12а сама матрица A подобна диагональной матрице−1 0 0 0 1 0 .0 0 1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓРазмерность второго собственного подпространства равна 3 − 1 = 2.Сумма размерностей обоих подпространств равна трем. Следовательно, базис из собственных векторов существует. Он собирается из базисов собственных подпространств. Чтобыего построить, нужно для каждого собственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ (A − λE)x = 0. Фундаментальная система решений представляет собойбазис линейного пространства решений однородной СЛАУ, в нашем случае собственного подпространства матрицы.Для собственного значения λ1 = −1 получаем систему   8 −12 6x10 10 −18 10   x2  =  0  .12 −24 14x30ÌÃÒÓÔÍ-12Значит, размерность первого собственного подпространства равна 3 − 2 = 1.Аналогично находим размерность второго собственного подпространства.

Вычисляем рангсоответствующей матрицы A − λ2 E:6 −12 6Rg(A − λ2 E) = Rg  10 −20 10  = 1.12 −24 12ÔÍ-12ÌÃÒÓпространства, в нашем случае — трем. Отметим без доказательства, что размерность собственного подпространства линейного оператора (матрицы) не превышает кратности соответствующего собственного значения. Проверим это на собственном подпространстве, отвечающемсобственному значению λ1 , для чего вычислим ранг матрицы A − λ1 E:8 −12 6Rg(A − λ1 E) = Rg  10 −18 10  = 2.12 −24 14ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ54ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓстолбцы матрицы P определяются векторами2 01 1 .0 2Пример 4.9.

Линейный оператор, действующий в трехмерном линейном пространстве, внекотором базисе имеет матрицу6 −5 −3A =  3 −2 −2  .2 −20ÔÍ-12Можно ли, изменив базис, привести матрицу этого оператора к диагональному виду?Составляем характеристическое уравнение линейного оператора:6−λ−5−33 −2 − λ−2 = 0.2−2 0 − λ Раскрывая определитель, получаемÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Оба собственных подпространства линейного оператора, отвечающие двум собственнымзначениям, имеют размерность 3 − 2 = 1.

Поэтому линейно независимая система из собственных векторов данного оператора может содержать максимум два вектора и по соображениямразмерности не может быть базисом.ÔÍ-12Корнями характеристического уравнения являются числа λ1 = 1 кратности 2 и λ2 = 2.Для определения размерностей собственных подпространств линейного оператора, отвечающихэтим двум значениям, вычислим ранги соответствующих матриц:5 −5 −3Rg(A − λ1 E) = Rg  3 −3 −2  = 2,2 −2 −14 −5 −3Rg(A − λ2 E) = Rg  3 −4 −2  = 2.2 −2 −2ÌÃÒÓÌÃÒÓλ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12базиса, записанные в старом. В нашем случае«нового» базиса e1 , e2 , e3 :3P = 56ÌÃÒÓ55ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.............

. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..................444445464851ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Характеристический многочлен и собственные значенияХарактеристическое уравнение матрицы . . . . . . . . . . . . . .Характеристическое уравнение линейного оператора . . .

. . . .Собственные векторы линейного оператора . . . . . . . . . . . . .Вычисление собственных значений и собственных векторов . . .Свойства собственных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-1256ÌÃÒÓЛекция 4.4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.