4. Характеристический многочлен и собственные значения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 4ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙМНОГОЧЛЕНИ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓХарактеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. Следматрицы линейного оператора и его инвариантность.

Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва). Теорема о линейной независимостисобственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейногооператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такогобазиса (без док-ва). Существование базиса из собственных векторов в случае действительныхи некратных корней характеристического уравнения.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓДля произвольной квадратной матрицы A = (aij ) порядка n рассмотрим определитель a11 − λa...a121n a21a22 − λ . .

.a2n det(A − λE) = , . . . . . . . . . . . . . . . . an1an2. . . ann − λ где E — единичная матрица, а λ — действительное переменное. Относительно переменного λэтот определитель является многочленом степени n и может быть записан в видеχA (λ) = det(A − λE) =nX(−1)k dk λk ,(4.1)k=0ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.1. Характеристическое уравнение матрицыПример 4.1. Найдем характеристическое уравнение матрицы7 2 0A =  0 1 3 .0 3 4Для этого раскроем определитель:7−λ201−λ3 = 7 − λ (1−λ)(4−λ) − 9 = −λ3 + 12λ2 − 30λ − 35.χA (λ) = 0 034−λÌÃÒÓÔÍ-1244ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Определение 4.1.

Многочлен χA (λ) = det(A − λE) называют характеристическиммногочленом матрицы A, а уравнение χA (λ) = 0 — характеристическим уравнениемматрицы A.ÌÃÒÓÌÃÒÓгде множители (−1)k введены для удобства.ÌÃÒÓВыясним, как связаны между собой характеристические многочлены подобных матриц.Теорема 4.2. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают.J Пусть квадратные матрицы A и A0 одного порядка подобны, т.е. существует такая невырожденная матрица P того же порядка, что A0 = P −1 AP . Тогда в силу свойств определителейимеемχA0 (λ) = det(A0 − λE) = det(P −1 AP − λP −1 EP ) = det P −1 (A − λE)P == det P −1 det(A − λE) det P = det(A − λE) = χA (λ).IÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 4.1 (теорема Кэли — Гамильтона).

Для любой квадратной матрицы характеристический многочлен является ее аннулирующим многочленом. #Квадратную матрицу можно использовать в качестве значения переменного в произвольноммногочлене. Тогда значением многочлена от матрицы будет матрица того же порядка, что иисходная. Интерес представляют такие многочлены, значение которых от данной матрицы естьнулевая матрица. Их называют аннулирующими многочленами. Оказывается, что одним изтаких аннулирующих многочленов для матрицы является ее характеристический многочлен.ÌÃÒÓИтак, характеристическое уравнение заданной матрицы имеет вид −λ3 + 12λ2 − 30λ −− 35 = 0. #ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ45ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯравный сумме диагональных элементов матрицы A.

Этот коэффициент называют следомлинейного оператора A (следом матрицы A) и обозначают tr A (tr A) или sp A (sp A).Коэффициент d0 характеристического многочлена совпадает со значением этого многочлена приλ = 0 и равен определителю линейного оператора A.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение корректно, так как характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. При этом коэффициенты dk характеристического многочлена, представленного в виде (4.1),также не связаны с используемым базисом, т.е. являются инвариантами относительно выбора базиса.

Другими словами, коэффициенты dk отражают свойства самого оператора, а не егоматрицы A, являющейся записью оператора в конкретном базисе.Коэффициенты dk могут быть выражены в виде многочленов от элементов матрицы оператора. Таким образом, хотя коэффициенты матрицы меняются при замене базиса, некоторыевыражения от этих коэффициентов остаются неизменными.

Наиболее просто выражается коэффициентdn−1 = a11 + a22 + . . . + ann ,ÌÃÒÓÔÍ-12Определение 4.2. Характеристическим многочленом линейного оператораA: L → L называют характеристический многочлен его матрицы A, записанной в некоторомбазисе, а характеристическим уравнением этого оператора — характеристическоеуравнение матрицы A.ÔÍ-12Рассмотрим линейный оператор A: L → L, действующий в линейном пространстве L. Выберем в линейном пространстве L некоторый базис b и запишем в этом базисе матрицу A = (aij )линейного оператора A. Согласно следствию 3.3 матрица A−λE является матрицей линейногооператора A − λI, где I — тождественный оператор. Определитель det(A − λE) матрицылинейного оператора A − λI, согласно следствию 3.2, от выбора базиса не зависит. Значит,характеристический многочлен χA (λ) матрицы A является также характеристическим многочленом любой другой матрицы оператора A и совпадает с определителем линейного оператораA − λI.

Мы можем ввести следующее определение.ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.2. Характеристическое уравнение линейного оператораÌÃÒÓПример 4.2. В линейном пространстве K2 [x] многочленов степени не выше двух элементы1, x, x2 образуют базис. Матрица A линейного оператора дифференцирования в этом базисеимеет вид0 1 0A =  0 0 2 .0 0 0Пример 4.3. В линейном пространстве Kn [x] многочленов степени не выше n содержатсяdc= 0 = 0 · c, многочленымногочлены нулевой степени, т.е. постоянные функции. Так какdxнулевой степени p(x) = c 6= 0 являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число λ = 0 — собственным значением этого оператора.

#ÔÍ-12Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением.ÌÃÒÓЗамечание 4.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собственных векторах квадратной матрицы. При этом имеют в виду следующее. Матрица A порядка n является матрицей некоторого линейного оператора в фиксированном базисе,действующего в n-мерном линейном пространстве.

Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном арифметическом пространстве Rn , то матрица A определяетлинейный оператор A, отображающий вектор x ∈ Rn со столбцом координат x в вектор состолбцом координат Ax. Матрицей A как раз и является матрица A.

Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляетсясо столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этомне всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы «операторные» термины.ÔÍ-12Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора. Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор x одновременно удовлетворяет двум равенствам Ax = λx и Ax = µx,то λx = µx, откуда (λ − µ)x = 0. Если λ − µ 6= 0, умножим равенство на число (λ − µ)−1 и врезультате получим, что x = 0. Но это противоречит определению собственного вектора, таккак собственный вектор всегда ненулевой.Каждому собственному значению отвечают свои собственные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если x — собственный вектор линейного оператора A с собственным значением λ, т.е.

Ax = λx, то для любого ненулевого действительного числа α имеемαx 6= 0 и A(αx) = α(Ax) = αλx = λ(αx). Значит, и вектор αx является для линейногооператора собственным.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Определение 4.3. Ненулевой вектор x в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора A: L → L, если для некоторого действительногочисла λ выполняется соотношение Ax = λx.

При этом число λ называют собственнымзначением (собственным числом) линейного оператора A.ÌÃÒÓÌÃÒÓ4.3. Собственные векторылинейного оператораÌÃÒÓÔÍ-12и приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение этого линейного оператора:λ3 = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓ −λ10 0 −λ2 00 −λ ÌÃÒÓÌÃÒÓВычислив определительÔÍ-12ÌÃÒÓ46ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 МНОГОЧЛЕНÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙИ СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯÌÃÒÓТеорема 4.3. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значениемлинейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристическогоуравнения этого оператора.J Н е о б х о д и м о с т ь.

Пусть число λ является собственным значением линейного оператораA: L → L. Это значит, что существует вектор x 6= 0, для которогоЗапишем векторное равенство (4.3) в каком-либо базисе b. Матрицей линейного оператораA − λI будет матрица A − λE, где A — матрица линейного оператора A в базисе b, а E —единичная матрица, и пусть x — столбец координат собственного вектора x. Тогда x 6= 0, авекторное равенство (4.3) равносильно матричному(A − λE) x = 0,(4.4)Теорема 4.4.