10. Дифференциал. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2

Тогда z есть сложная функция переменных x и y: z = z(x, y) = g(f (x, y)), причемu — единственное промежуточное переменное. В данном случае m = 2, n = 1 и мы имеем двеформулы вида (10.8):ÔÍ-12ÔÍ-12dy(t)∂y(u, v) du(t) ∂y(u, v) dv(t)=+,dt∂udt∂vdtПример 10.1. У сложной функции y(u, v), u = u(t), v = v(t), один аргумент t, как и уфункций u(t) и v(t) (т.е.

в данном случае m = 1). Согласно (10.4), находимÌÃÒÓПроизводную сложной функции z = f (g1 (t), g2 (t), . . . , gn (t)) (т.е. действительной функциидействительного переменного, получаемой через несколько промежуточных переменных), вычисляемую в соответствии с формулой (10.11), называют полной производной функцииf (g1 (t), g2 (t), . .

. , gn (t)).ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓÌÃÒÓПример 10.4. Найдем дифференциал dz дифференцируемой сложной функции двух переменных z = f (u, v), где u = x + y, v = xy.В данном случае dz = zx0 dx + zy0 dy, гдеzx0 = fu0 u0x + fv0 vx0 = fu0 + fv0 y,zy0 = fu0 u0y + fv0 vy0 = fu0 + fv0 x,а частные производные функции f (u, v) вычисляются в точке (x + y, xy). Таким образом,dz = (fu0 + fv0 y) dx + (fu0 + fv0 x) dy. #mX∂F (a)∂xjгдеdui =mXdgi (a)j=1dxjdxj—дифференциал функции gi в точка a.

Таким образом,nX∂f (b)i=1∂uidui .Мы видим, что дифференциал dz сложной функции z = f g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x) выражается через дифференциалы du1 , du2 , . . . , dun промежуточных переменных так же, как и в случае, когдаnP∂f (u)эти переменные являются независимыми. Другими словами, если z = f (u), то dz =dui∂uiи эта формула не зависит от того, каковы переменные du1 , du2 , . . . , dun , промежуточные илинезависимые. Это свойство дифференциала и называют инвариантностью его формы записи.Замечание 10.1.

Для дифференциала функции нескольких переменных сохраняются свойства дифференциала функции одного переменного. Например, для дифференцируемых функций f, g: Rn → Rm и произвольного действительного числа c верны равенства d(cf ) = cdf ,d(f ± g) = df ± dg. Кроме того, справедливы еще два равенства: d(f g) = f dg + gdf иd(f /g) = (gdf − f dg)/g 2 (в точках, где g 6= 0).ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12i=1ÌÃÒÓdF (a) =ÔÍ-12j=1m XnnmnXXX∂f (b) dgi (a)∂f (b) X dgi (a)∂f (b)dxj =dxj =dxj =dui .∂udx∂udx∂uijijij=1 i=1i=1j=1i=1ÌÃÒÓДифференциал функции нескольких переменных, как и функции одного действительногопеременного, имеет свойство, которое называют инвариантностью формы записи дифференциала.

Фактически это свойство есть простая и удобная форма представления правиладифференцирования сложной функции.Пусть функции gi : Rm → R, i = 1, n, дифференцируемы в точке a ∈ Rm , а функция f : Rm →→ R дифференцируема в точке b = (b1 , b2 , . . . , bn ), где bi = gi (a), i = 1, n. Согласно следствию10.1, сложная функция F (x) = f g1 (x), g2 (x), .

. . , gn (x) дифференцируема в точке a, а ее дифференциал в точке a в соответствии с определением дифференциала и правилом дифференцирования сложной функции имеет видÌÃÒÓÔÍ-12где частные производные функции f вычисляются в точке u = u(x, y), v = v(x, y), w = x.ÔÍ-12ÌÃÒÓ∂z∂f ∂u ∂f ∂v∂f ∂w∂f ∂u ∂f ∂v∂f=++=++,∂x∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x∂u ∂x ∂v ∂x ∂w∂z∂f ∂u ∂f ∂v∂f ∂w∂f ∂u ∂f ∂v=++=+,∂y∂u ∂y∂v ∂x ∂w ∂y∂u ∂y∂v ∂yÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ35ÔÍ-12z(x, y) = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = x, находимdF (a) =ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10.

ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓd(df (x)) =nX∂df (x)j=1∂xjdxj =n XnX∂ 2 f (x)j=1 i=1∂xj ∂xidxi dxj ,(10.12)представляющее собой дифференциал от дифференциала функции f (x), называют дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначают d 2 f (x). В этой связидифференциал df (x) называют дифференциалом первого порядка функции f .Из теоремы 9.1 следует, что для существования в точке x дифференциала второго порядкафункции f необходимо существование всех частных производных второго порядка этой функции в точке x.

Достаточным же условием существования дифференциала является условие, чтоуказанные производные являются непрерывными функциями в точке x (см. теорему 9.3).Если дифференциал первого порядка является линейной функцией переменных dx1 , dx2 , . . . ,dxn , то дифференциал второго порядка, согласно представлению (10.12), является квадратичнойформой относительно этих переменных.

В матричной записи дифференциал второго порядкаимеет видтd 2 f (x) = dx f 00 (x) dx,(10.13)Здесь выражение в скобках возводится в степень k по обычным алгебраическим правилам,причем полагают, чтоm ∂∂mdxi=dxmi ,∂xi∂xmimгде использовано обозначение dxmi = (dxi ) .ÔÍ-12дифференциал k-го порядка функции f ∈ C k удобно записывать в виде ∂k∂kd f (x) =dx1 + . . .

+dxn f (x).∂x1∂xnÌÃÒÓДостаточным условием существования дифференциала k-го порядка в области X является k-йпорядок гладкости функции в этой области, т.е. условие f ∈ C k (X).С помощью оператора∂∂dx1 + . . . +dxn∂x1∂xnÔÍ-12где f 00 (x) — матрица Гессе функции f .Итак, если f ∈ C 2 (U ), где U — некоторая окрестность точки x ∈ Rn , то в этой окрестности существуют непрерывные частные производные первого и второго порядка, а значит, в Uсуществуют как дифференциал первого порядка df , так и дифференциал второго порядка d 2 f .Дифференциал второго порядка, зависящий от набора независимых переменных x и вектораих приращений dx (дифференциалов независимых переменных), может оказаться дифференцируемой функцией по совокупности переменных x. Повторяя последовательно процесс вычисления дифференциалов, приходим к дифференциалу функции k-го порядка, который являетсядифференциалом первого порядка от дифференциала (k−1)-го порядка функции f :d k f (x) = d d k−1 f (x) .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓкак функция от переменных x = (x1 , x2 , .

. . , xn ) может оказаться дифференцируемой функциейв точке x. В этом случае выражениеÔÍ-12ÔÍ-12Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R дифференцируема в окрестности точкиx. Тогда ее дифференциалnX∂f (x)dxidf (x) =∂xii=1ÌÃÒÓÌÃÒÓ10.3. Дифференциалы высших порядковÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ36ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ37Пример 10.5. В случае функции двух независимых переменных z = f (x, y) ∈ C 2 имеемdz = fx0 dx + fy0 dy,поэтому000000dx2 + 2fxydxdy + fyydy 2 .d 2 z = d(fx0 dx + fy0 dy) = (fx0 dx + fy0 dy)0x dx + (fx0 dx + fy0 dy)0y dy = fxxЭто же выражение для дифференциала второго порядка функции двух переменных получаетсяи по формуле (10.13):∂2∂000000d 2 f (x, y) =dx +dy f (x, y) = fxxdx2 + 2fxydxdy + fyydy 2 .∂x∂yТак, для функции z = x2 y 3 ее второй дифференциал имеет видÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10.

ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓгдеdu = d(x2 + y 2 ) = 2x dx + 2y dy.Дальнейшее дифференцирование даетd2 z = d(eu + 1) du + (eu + 1) d2 u = eu (du)2 + (eu + 1)d(2x dx + 2y dy) == eu (2x dx + 2y dy)2 + (eu + 1)(2 dx2 + 2 dy 2 ) == 4eu x2 + 2eu + 2 dx2 + 8eu xy dxdy + 4eu y 2 + 2eu + 2 dy 2 ,d2 z(0, 0) = 4 dx2 + 4 dy 2 .2ÌÃÒÓÌÃÒÓ2Тот же ответ можно получить, вычислив производные второго порядка функции z = ex +y ++x2 +y 2 . Отметим, что дифференциал второго порядка не обладает свойством инвариантностиформы записи даже в случае функций действительного переменного.

Если бы это свойствоимело место, мы могли бы записать d2 z = zu002 du2 = eu du2 . Но, сравнивая с предыдущимивычислениями, легко увидеть, что мы при этом теряем слагаемое fu0 d2 u, которое в нашемслучае равно (eu + 1)(2 dx + 2 dy) и не обращается в нуль.ÔÍ-12где u по-прежнему обозначает функцию u(x, y) = x2 + y 2 .Вычислим, например, второй дифференциал функции в точке x = y = 0.

В этой точкеимеем u(0, 0) = 0. Следовательно, в выражение для дифференциала необходимо подставитьx = y = u = 0. В результате получаемÌÃÒÓÔÍ-12Пример 10.6. Найдем второй дифференциал сложной функции z = eu + u, u = x2 + y 2 .Первый дифференциал этой функции можно найти, используя инвариантность формы записидифференциала. Имеемdz = d(eu + u) = (eu + 1) du,ÔÍ-12ÔÍ-12d 2 z = 2y 3 dx2 + 12xy 2 dxdy + 6x2 y dy 2 .Напомним, что если у действительной функции действительного переменного g(t) в интервале (0, T ) существует конечная производная (m+1)-го порядка, то при любом t ∈ [0, T ] имеетместо формула Тейлора (а точнее, формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа):g 0 (0)g 00 (0) 2g (m) (0) m g (m+1) (ϑt) m+1g(t) = g(0) +t+t + ...

+t +t,1!2!m!(m + 1)!ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-1210.4. Формула ТейлораÌÃÒÓ(10.14)Следующая теорема обобщает формулу Тейлора на случай функции нескольких переменных.Теорема 10.2 (теорема Тейлора). Пусть функция нескольких переменных f определенав некоторой окрестности U точки a ∈ Rn , причем f ∈ C m+1 (U ). Если отрезок, соединяющийточки a = (a1 , . .

. , an ) и a + ∆x = (a1 + ∆x1 , . . . , an + ∆xn ), содержится в U , то для функцииf (x) имеет место формула Тейлораf (a + ∆x) =mXd k f (a)k=0k!+d m+1 f (a + ϑ∆x),(m + 1)!(10.15)где ϑ ∈ (0, 1) — некоторое число, а d 0 f (a) = f (a) по определению.J Рассмотрим действительную функцию действительного переменного(10.16)g(t) = f (a + t∆x),определенную на отрезке [0, 1]. Эта функция m+1 раз непрерывно дифференцируема на отрезке[0, 1], и потому для нее справедливо равенство (10.14). Покажем, что это равенство для функциивида (10.16) можно преобразовать в равенство (10.15).