10. Дифференциал. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 3

Действительно,g(1) = f (a + 1 · ∆x) = f (a + ∆x),g(0) = f (a) = d 0 f (a).Для вычисления производных функции g(t) рассмотрим ее как сложную функцию g(t) == f (x), x = a + t∆x. Согласно свойству инвариантности формы записи дифференциала первогопорядка, ∂∂dx1 + . .

. +dxn f (x) =dg(t) = df (x) =∂x1∂xn ∂ ∂∂∂=∆x1 dt + . . . +∆xn dt f (x) =∆x1 + . . . +∆xn f (x)dt,∂x1∂xn∂x1∂xnЗаменяя в (10.14) производные функции g(t) согласно полученным формулам, приходим к равенству (10.15). IКак и в случае функций одного переменного, при a = 0 формулу Тейлора (10.15) частоназывают формулой Маклорена. Число m, определяющее количество слагаемых в формулеÔÍ-12и при k = m + 1 и t = ϑ ∈ (0, 1) ∂m+1∂g (m+1) (ϑ) =∆x1 + . .

. +∆xnf (a + ϑ∆x) = d m+1 f (a + ϑ∆x).∂x1∂xnÌÃÒÓИз найденных дифференциалов функции g(t) при t = 0 (что равносильно x = a) получаем ∂k∂g (k) (0) =∆x1 + . . . +∆xn f (a) = d k f (a), k = 1, m,∂x1∂xnÔÍ-12так как при фиксированных a и ∆x имеем dxi = d(ai +t∆xi ) = ∆xi dt, i = 1, n. Повторяя процессдифференцирования, находим ∂2∂d 2 g(t) = d(df (x)) =∆x1 + . . . +∆xn f (x)dt2 ,∂x1∂xn. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂k∂∆x1 + . . . +∆xn f (x)dtk ,d k g(t) = d(d k−1 f (u)) =∂x1∂xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓg 0 (0) g 00 (0)g (m) (0) g (m+1) (ϑ)++ ... ++.1!2!m!(m + 1)!ÔÍ-12ÔÍ-12g(1) = g(0) +ÌÃÒÓÌÃÒÓгде ϑ ∈ (0, 1) — некоторое число. В частности, при t = 1 (если T > 1) имеемÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ38ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10.

ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ39Тейлора, называют порядком формулы Тейлора. Последнее слагаемое в формуле Тейлора(10.15) называют остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член можнотакже записать в видеo(|∆x|m )(10.17)(читается: «o малое от |∆x|m »), и тогда его называют остаточным членом в формеПеано.

Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет видf (x + ∆x) =mXd k f (x)k=0k!+ o(|∆x|m ).(10.18)Пример 10.7. Запишем формулу (10.15) для функции двух переменных f (x, y) в случаеm = 2:f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) + fx0 (x, y)∆x + fy0 (x, y)∆y +1 0000+fx2 (x, y)(∆x)2 + 2fxy(x, y)∆x∆y + fy002 (x, y)(∆y)2 +21+ d 3 f (x + ϑ∆x, y + ϑ∆y).3!ÔÍ-12f (a + ∆a) − f (a) = f 0 (a + Θ∆a)∆a,0 < ϑ < 1,илии известна как формула конечных приращений.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-120 < ϑ < 1,ÔÍ-12f (a + ∆a) = f (a) + f 0 (a + Θ∆a)∆a,(10.19)ÌÃÒÓlf (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) или lf (x) = f (a) + f 0 (a)ξ,ÌÃÒÓгде ξ = x − a, и называют линейным (или первым) приближением функции f в точке a.Линейные приближения функций широко используют при изучении локальных свойств(т.е.

в окрестности заданной точки) математических моделей объектов, которые описываютсясложными функциональными зависимостями. Наиболее широкое применение линейные приближения нашли в теории дифференциальных уравнений, приближенных методах решения задачматематической физики, методах оптимизации, теории случайных процессов и др.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка m = 0 имеет видf (a + ∆x) = f (a) + df (a) + o(|∆x|) = f (a) + f 0 (a) dx + o(|∆x|).ÔÍ-12Отбрасывая в этой формуле остаточный член, получаем приближенное представление lf функции f в окрестности точки a.

Его обычно записывают в видеÌÃÒÓЗамечание 10.3. При m = 1 формула Тейлора (10.18) с остаточным членом в форме Пеанов окрестности точки a ∈ Rn имеет видÌÃÒÓЗамечание 10.2. Формула Тейлора (10.18) с остаточным членом в форме Пеано справедлива при более слабых предположениях о функции f , чем формула Тейлора (10.15) с остаточнымчленом в форме Лагранжа: она справедлива, если функция f имеет непрерывные частные производные до порядка m включительно в окрестности точки x и частные производные порядкаm + 1 в окрестности точки x, непрерывные в самой точке x.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10.

ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓpЭто выражение можно рассматривать как значение функции f (x, y) = x2 + y 2 в точке скоординатами x = 12,01, y = 4,98. Полагаем a = 12, b = 5, ∆x = 0,01, ∆y = −0,02. Тогдаf (x, y) = f (a + ∆x, b + ∆y) ≈ f (a, b) + fx0 (a, b)∆x + fy0 (a, b)∆y.√В точке (12, 5) значение функции равно 122 + 52 = 13.

Вычисляем частные производныефункции:p0p0xyfx0 (x, y) =x2 + y 2 = p,fy0 (x, y) =x2 + y 2 = p.xyx2 + y 2x2 + y 2В результате получаемp√12512,012 + 4,982 ≈ 122 + 52 + √· 0,01 − √· 0,02 =122 + 52122 + 5212101= 13 +−= 13 +≈ 13,0015.1300 1300650Полученное значение отличается от точного лишь в пятом знаке после запятой. Если необходимо оценить точность R полученного приближения, можно использовать формулу Тейлорас остаточным членом в форме Лагранжа. В рассматриваемом случаеy2,(x2 + y 2 )3/200fxy(x, y) = −xy,2x + y 2 )3/2fy002 (x, y) =x2.(x2 + y 2 )3/2ПоэтомуR<25(∆x)2 + 130|∆x∆y| + 169(∆y)2961=· 10−4 < 0,3 · 10−4 .2 · 1232 · 123Отметим, что значение R, которое вычислено подстановкой в (10.20) значений x = 12, y == 5 и которое, очевидно, можно рассматривать как приближение остаточного члена в формеЛагранжа, приблизительно равно 0,19 · 10−4 .

Это близко к полученной нами оценке сверху. #Пример 10.9. Плоская деталь имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 100 мм и углом при вершине 45◦ . Насколько изменится расход материала, требуемого дляизготовления детали, если угол при вершине увеличится на 1◦ , а боковая сторона уменьшитсяна 1 мм?ÔÍ-12Дифференциалы функций нескольких переменных могут использоваться для анализа чувствительности функций на изменение тех или иных аргументов.ÌÃÒÓy 2 (∆x)2 − 2xy∆x∆y + x2 (∆y)21,R = d2 f (a + ϑ∆x, b + ϑ∆y) =(10.20)22(x2 + y 2 )3/2где x = a + ϑ∆x, y = b + ϑ∆y, 0 < ϑ < 1.

Используя неравенства px 6 13, y 6 5 в числителедроби и оценивая снизу знаменатель дроби с помощью неравенства x2 + y 2 > 12, получаемÔÍ-12fx002 (x, y) =ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 10.8. Вычислим приближенное значениеp12,012 + 4,982 .ÔÍ-12ÔÍ-12Дифференциалы функций нескольких переменных и формула Тейлора для функций нескольких переменных могут использоваться в приближенных вычислениях примерно так же, как ив случае действительных функций одного действительного переменного.

Применение аппарата функций нескольких переменных предпочтительнее, когда в вычисляемом выражении естьнесколько величин, которые могут меняться независимо друг от друга. Покажем это на нескольких примерах.ÌÃÒÓÌÃÒÓ10.5. Дифференциалы в приближенных вычисленияхÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ40ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ41Площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной l и углом ϕ при вершине равнаS(l, ϕ) = 0,5 l2 sin ϕ.

Полагая ∆l = −1 мм, ∆ϕ = π/180, получаем∆S(l, ϕ) ≈ dS(l, ϕ) = Sl0 (l, ϕ) ∆l + Sϕ0 (l, ϕ) ∆ϕ == l(sin ϕ) ∆l +√l2125 √(cos ϕ) ∆ϕ = −50 2 +π 2 ≈ −9,004.29ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Таким образом, площадь, пропорциональная количеству расходуемого материала, уменьшитсяна 9 мм2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ................... . . .

.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..................313131363740ÔÍ-12......ÔÍ-12ÌÃÒÓ......ÌÃÒÓÔÍ-12. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .ÔÍ-12ÌÃÒÓ......ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 10. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . .10.1. Дифференциал функции нескольких переменных10.2. Дифференцируемость сложной функции . . . . .10.3.

Дифференциалы высших порядков . . . . . . . .10.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5. Дифференциалы в приближенных вычисленияхÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.