10. Дифференциал. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 10ÌÃÒÓÌÃÒÓДИФФЕРЕНЦИАЛПолный дифференциал ФНП.

Производная сложной функции. Частная и полная производныеФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.Формула тейлора для ФНП (без док-ва). Применение дифференциала ФНП к приближеннымвычислениям.тприращение этой функции в точке x в зависимости от приращения ∆x = (∆x1 ∆x2 . . . ∆xn )независимых переменных можно представить в виде∆f (x) = fx0 1 (x)∆x1 + fx0 2 (x)∆x2 + .

. . + fx0 n (x)∆xn + α(∆x)|∆x|,где fx0 i (x), i = 1, n, — частные производные функции f (x), а функция α(∆x) является бесконечно малой функцией при ∆x → 0. Как и в случае функций одного переменного, можно ввестиследующее понятие.Определение 10.1. Линейную относительно ∆x часть полного приращения функции f (x),дифференцируемой в точке x, т.е. выражениеfx0 1 (x)∆x1 + fx0 2 (x)∆x2 + . . . + fx0 n (x)∆xn(10.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓПусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в окрестности точки x == (x1 , x2 , . . . , xn ) и дифференцируема в этой точке.

Тогда, согласно следствию 9.1, полноеÔÍ-12ÔÍ-1210.1. Дифференциал функции нескольких переменных(10.2)Для полного приращения дифференцируемой функции нескольких переменных имеем равенство(10.3)∆f (x) = df (x) + α(∆x)|∆x|,где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.Слагаемые fx0 i dxi в правой части равенства (10.2) называют частными дифференциалами функции f (x) в точке x. Каждое слагаемое fx0 i dxi представляет собой линейную частьчастного приращения ∆i f (x) функции f (x) в данной точке.На функции нескольких переменных можно распространить правило дифференцированиясложной функции, установленное для функций одного действительного переменного.Пусть на некотором множестве A ⊂ Rm определены функции gi : A ⊂ Rm → R, i = 1, n,причем (g1 (x), g2 (x), . .

. , gn (x)) ∈ B ⊂ Rn при x ∈ A. Пусть на множестве B задана функцияf : B ⊂ Rn → R. Тогда на A определена сложная функция F (x) = f g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x) .ÔÍ-1231ÔÍ-1210.2. Дифференцируемость сложной функцииÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓdf (x) = fx0 1 (x)dx1 + fx0 2 (x)dx2 + . . . + fx0 n (x)dxn .ÌÃÒÓÔÍ-12Дифференциалы независимых переменных xi , i = 1, n, как и для функции одного переменного, по определению равны приращениям этих переменных: dxi = ∆xi . С учетом этогодифференциал функции f можно записать в видеÔÍ-12ÔÍ-12называют (полным) дифференциалом функции f и обозначают через df (x).ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ32Сложную функцию F (x) часто задают в виде z = f (u1 , u2 , .

. . , un ), ui = gi (x1 , x2 , . . . , xm ),i = 1, n, вводя дополнительный набор переменных u1 , u2 , . . . , un . Эти переменные называютпромежуточными переменными, подчеркивая роль, которую они играют при заданиисложной функции.Отметим, что если функции gi (x1 , x2 , . . . , xm ), i = 1, n, определены в некоторой окрестностиU (a) точки a = (a1 , a2 , . . . , am ) ∈ Rm , bi = gi (a), i = 1, n, и функция f (u1 , u2 , .

. . , un ) определена в окрестности точки b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn , то в некоторой окрестности U 0 (a) ⊂ U (a) точкиa определена сложная функция F (x) = f g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x) , которая, согласно теореме 8.6,является непрерывной в точке a.Теорема 10.1. Если функции gi (t), i = 1, n, дифференцируемы в точке a ∈ R, а функцияf (u1 , u2 , . .

. , un ) дифференцируема в точке b = (b1 , b2 , . . . , bn ), где bi = gi (a), i = 1, n, то внекоторой окрестности точки a определена сложная функция F (t) = f g1 (t), g2 (t), . . . , gn (t) ,дифференцируемая в точке a, причем(10.4)J Условие дифференцируемости функции f в точке b предполагает, что эта функция определенав некоторой окрестности U(b, σ) точки b. Так как функции gi дифференцируемы в точке a,они определены в некоторой окрестности этой точки и являются непрерывными функциями вточке a. Значит, согласно определению непрерывности, существует такая окрестность U(a, δ),σв которой определены все функции gi , i = 1, n, и выполняются неравенства |gi (t) − gi (a)| < √ .ÔÍ-12dF (a)∂f (b) dg1 (a) ∂f (b) dg2 (a)∂f (b) dgn (a)=++ ...

+.dt∂u1dt∂u2dt∂undtÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛокрестность U(b, σ), поскольку |u − b| <σ2· n = σ. Следовательно, в окрестности U(a, δ)nопределена сложная функция F (t) = f g1 (t), g2 (t), . . . , gn (t) .Пусть t ∈ U(a, δ) — произвольная точка, ui = gi (t), i = 1, n, z = f (u1 , u2 , . . .

, un ). Обозначим∆t = t − a, ∆ui = ui − bi , ∆z = z − c, где c = f (b). В силу дифференцируемости функций gi вточке a имеем представление(10.6)(10.7)ÌÃÒÓ∆ui = gi (t) − gi (a) = gi0 (a)∆t + αi (∆t)|∆t|,ÔÍ-12ÔÍ-12Тогда для любого t ∈ U(a, δ) точка u = (ur1 , u2 , . . . , un ), где ui = gi (t), i = 1, n, попадает в(10.5)где ∆u = u − b, αi (∆t) → 0 при ∆x → 0. В силу дифференцируемости f в точке b имееманалогичное представление∆z = f (u) − f (b) =nXfu0 i (b)∆ui + β(∆u)|∆u|,ÌÃÒÓÌÃÒÓnÌÃÒÓi=1где β(∆u) → 0 при ∆u → 0. Подставив (10.5) в (10.6), получим∆F (a) = ∆z =nXfu0 i (bi ) gi0 (a)∆t + αi (∆t)|∆t| + β ∆u |∆u| =i=1=nXfu0 i (bi )gi0 (a)∆t + γ(∆t)|∆t|,гдеvu n 2uX0fui (b)αi (∆t) + β ∆g1 (a), ∆g2 (a), . .

. , ∆gm (a) tgi0 (a)ν(∆t) + αi (∆t) ,i=1∆t.|∆t|ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12и ν(∆t) =i=1ÌÃÒÓγ(∆t) =nXÔÍ-12ÔÍ-12i=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ33Функция β(∆u) бесконечно малая при ∆u → 0, причем на представление (10.6) не влияетзначение этой функции при ∆u = 0. Поэтому можно считать, что β(0) = 0 и что функцияβ(∆u) непрерывна при ∆u = 0.

Но тогда функция β ∆g1 (a), ∆g2 (a), . . . , ∆gm (a) непрерывнапри ∆t = 0, как композиция непрерывных функций. Значит, она является бесконечно малойпри ∆t → 0. rФункция ν(∆t) является ограниченной: |ν(∆t)| = 1. Отсюда вытекает, что функ2n Pgi0 (a)ν(∆t) + αi (∆t) ограничена при ∆t → 0. Следовательно, произведениеция η(∆t) =i=1β ∆g1 (a), ∆g2 (a), . . . , ∆gm (a) η(∆t) есть бесконечно малая функция при ∆t → 0, так как представляет собой произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию. Такимобразом, функция γ(∆t), как сумма бесконечно малых функций, является бесконечно малойфункцией при ∆t → 0. Согласно определению 9.1, представление (10.7) означает, что функnPция F дифференцируема в точке a.

При этом суммаfx0 i (bi )gi0 (a) является, согласно (10.7),i=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛИспользуя промежуточные переменные, равенство (10.8) можно записать следующим образом:nX∂z ∂us∂z ∂u1∂z ∂u2∂z ∂un∂z==++ ... +, j = 1, m.(10.9)∂xj∂us ∂xj∂u1 ∂xj∂u2 ∂xj∂un ∂xjs=1Отметим, что частные производные в (10.9) вычисляются в соответствующих точках, а∂z∂u∂zименно:и s — в точке a, а— в точке b.∂xj∂xj∂usdf ∂u∂z=.∂xjdu ∂xjÌÃÒÓВ равенствах (10.9) следует обратить внимание на то, как в них входят промежуточные иостальные переменные. Запись частных производных сложной функции в виде (10.9) называютправилом дифференцирования сложной функции или, иногда, цепным правилом.Рассмотрим некоторые частные случаи дифференцирования сложных функций при различных значениях n и m.

Будем предполагать, не оговаривая этого специально, что условиятеоремы 10.1 (или следствия 10.1) для этих функций выполнены в соответствующих точках.При n = 1 у функции f всего лишь один аргумент и частная производная будет фактическиобыкновенной производной. Это должно быть отражено в обозначениях производных:(10.10)dz∂f du1∂f du2∂f dun=++ ... +.dt∂u1 dt∂u2 dt∂un dt(10.11)ÔÍ-12где частные и обыкновенная производные вычисляются в соответствующих точках.При m = 1 функции gi имеют один аргумент, а правило дифференцирования сложной функции записывается в виде (10.4) или, если использовать промежуточные переменные, в видеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12получаем формулу (10.8).

IÔÍ-12ÌÃÒÓJ Как и в доказательстве теоремы 10.1 сначала показываем, что сложная функция определена внекоторой окрестности точки a. Затем, фиксируя все переменные, кроме xi и применяя теорему10.1 к сложной функции(i) (i) (i) (i)Fi (t) = f g1 at , g2 at , . . . , gn at , at = (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , am ),ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 10.1. Если функции gi (x1 , x2 , . . . , xm ), i = 1, n, дифференцируемы в точке a == (a1 , a2 , . . .

, am ) ∈ Rm , bi = gi (a), i = 1, n, и функция f (u1 , u2 , . . . , um ) дифференцируема вточке b = (b1 , b2 , . . . , bn ), то в некоторой окрестности точки a определена сложная функцияF (x) = f g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x) , где x = (x1 , x2 , xm ), эта функция дифференцируема в точке a,причем∂f (b) ∂g1 (a) ∂f (b) ∂g2 (a)∂f (b) ∂gn (a)∂F (a)=++ ... +, k = 1, m.(10.8)∂xk∂u1 ∂xk∂u2 ∂xk∂un ∂xkÔÍ-12ÔÍ-12линейной частью приращения функции F , т.е. имеет место равенство (10.4). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ34dg(u)вычисляется в точке u = f (x, y).duПример 10.2. Докажем, что сложная функция двух переменных z(x, t) = g(u), u = x − at,где g — произвольная дифференцируемая в R функция действительного переменного, являетсярешением дифференциального уравнения в частных производных первого порядка∂z∂z+a= 0.∂t∂xДля этого достаточно убедиться, что заданная функция обращает данное уравнение в тождество.

Поскольку z(x, t) удовлетворяет условиям теоремы 10.1, то при вычислении частныхпроизводных zt0 (x, t) и zx0 (x, t) можно воспользоваться цепным правилом, согласно которому∂z(x, t)dg(u) ∂u(x, t)== g 0 (u)= g 0 (x − at),∂xdu u=x−at ∂xu=x−at∂z(x, t)dg(u) ∂u(x, t)0== −ag (u)= −ag 0 (x − at).∂tdu u=x−at ∂tu=x−atПример 10.3. а. Найдем полную производную сложной функции z = f (t, x, y), x = sin t,y = cos t, предполагая, что функция нескольких переменных f : R3 → R дифференцируема в R3 .В данном случае промежуточных переменных два, но удобно ввести третье промежуточноепеременное w = t и рассмотреть сложную функцию z = f (w, x, y), w = t, x = sin t, y = cos t.Используя правило дифференцирования сложной функции, находимгде частные производные функции f вычисляются в точке (t, sin t, cos t).б. Найдем частные производные сложной функции z(x, y) = f (u, v, x), u = u(x, y), v == v(x, y). Вводя, как и выше, промежуточное переменное w = x и записывая сложную функциюÔÍ-12dz∂f dw ∂f dx ∂f dy∂f∂f∂f=++=+cos t −sin t,dt∂w dt∂x dt∂y dt∂w ∂x∂yÌÃÒÓПодставляя найденные частные производные в уравнение, убеждаемся, что в результате онообращается в тождество 0 = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгде производная∂z(x, y)dg(u) ∂f (x, y)=,∂ydu∂yÌÃÒÓÔÍ-12∂z(x, y)dg(u) ∂f (x, y)=,∂xdu∂xÔÍ-12ÌÃÒÓ∂y(u, v)ÌÃÒÓÔÍ-12∂y(u, v)где частные производныеивычисляются в точке u = u(t), v = v(t).∂u∂vПусть z = g(u) — функция одного переменного u, а u = f (x, y) — функция двух переменныхx и y.