Приложения к лекциям (Лекционный курс по ТерВеру)

Основные перечислительные правила1. Правило произведенияЕсли первое событие может произойти n1 способами, а второе - n2 способами независимо отпервого, то совместная реализация может произойти n1⋅n2 способами.2. Правило суммыЕсли первое событие может произойти n1 способами, а второе - n2 способами независимо отпервого, то первое или второе события могут произойти n1+n2 способами.Комбинаторный метод вычисления вероятностейПри подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, частоиспользуются известные формулы комбинаторики.

Каждая из комбинаторных формул определяетобщее число элементарных исходов в некотором идеализированном эксперименте по выбору наудачу mэлементов из n различных элементов исходного множества E = {e1, e2, ..., en}.При постановке каждого такого эксперимента строго оговорено, каким способом производитсявыбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально отличные схемывыбора: в первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это значит, что отбираютсялибо сразу все m элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранныйэлемент исключается из исходного множества).

Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно собязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиваниемисходного множества перед следующим выбором. После того, как выбор тем или иным способомосуществлен, отобранные элементы (или их номера) могут быть либо упорядочены (т.е. выложены впоследовательную цепочку), либо нет. В результате получаются следующие четыре различныепостановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа n различных элементовмножества Е.А.

Схема выбора, приводящая к сочетаниямЕсли опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания, то различнымиисходами следует считать m-элементные подмножества множества E, имеющие различный состав.Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят название сочетания из nэлементов по m, а их общее число N(Ω) определяется по формуле:Cmn = n!/[m!(n - m)!] = n(n - 1)...(n - m + 1)/m!.Для чисел Cmn, называемых также биномиальными коэффициентами, справедливы следующиетождества, часто оказывающиеся полезными при решении задач:Cmn = Cn-mn (свойство симметрии),Ckn+1 = Ckn + Ck-1n; C0n = 1 (рекуррентное соотношение),C0n + C1n + ... + Cnn = 2n (следствие биномиальной формулы Ньютона).Пример 1. Множество Е содержит 10 первых букв русского алфавита.

Сколько различных алфавитов изтрех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность того, что случайновыбранный алфавит будет содержать букву «a»?Решение Число различных алфавитов равно числу трехэлементных подмножеств множества Е (числусочетаний из 10 элементов по 3): N(Ω) = C310 = 10⋅9⋅8/(1⋅2⋅3) = 120.Пусть событие A - случайно выбранный алфавит из трех букв, содержащий букву «a».

Число элементовмножества А равно числу всех возможных способов отобрать две буквы из девяти (из десяти буквисключена буква «a»), т.е. равно числу сочетаний из 9 элементов по 2: N(A) = C29 = 9⋅8/2 = 36.Таким образом, Р(A) = N(A)/N(Ω) = 36/120 = 0,3.Б. Схема выбора, приводящая к размещениямЕсли опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по меревыбора в последовательную цепочку, то различными исходами данного опыта будут упорядоченные mэлементные подмножества множества Е, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком ихследования.

Получаемые при этом комбинации элементов (элементарные исходы) называютсяразмещениями из n элементов по m, а их общее число N(Ω) определяется формулой:Amn = Cmn⋅m! = n!/(n - m)! = n(n - 1)...(n - m + 1).Если n = m, то опыт фактически состоит в произвольном упорядочивании множества Е, т.е.сводится к случайной перестановке элементов всего множества.

Тогда N(Ω) = Ann = n!.Пример 2. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке.Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?Решение. Так как упорядочивается все множество из 8 элементов, то N(Ω) = A88 = 40320. Событию Аблагоприятствуют такие размещения, когда два отмеченных лица сидят рядом: всего 8 различныхсоседних пар мест за круглым столом, на каждой из которых отмеченные лица могут сесть двумяспособами, при этом остальные 6 человек размещаются на оставшиеся места произвольно, поэтому поформуле о числе элементов прямого произведения множеств получаем N(A) = 2⋅8⋅6!.

СледовательноР(A) = N(A)/N(Ω) = 2/7.В. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениямиЕсли опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества E = {e1, e2, ..., en}, но безпоследующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные mэлементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержатьповторяющиеся элементы. Например, при m = 4 наборы {e1, e1, e2, e1} и {e2, e1, e1, e1} неразличимы дляданного эксперимента, а набор {e1, e1, e3, e1} отличен от любого из предыдущих. Получающиеся врезультате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее числоопределяется формулой N(Ω) = Cmn+m-1.Пример 3.

В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа налитературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятностиследующих событий: А - заказаны книги из различных разделов наук, В - заказаны книги из одного итого же раздела науки.Решение. Число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно, очевидно, числу сочетанийс повторениями из 16 элементов по 4, т.е. N(Ω)= C416+4-1 = C419.Число исходов, благоприятствующих событию A, равно числу способов отобрать безвозвращения четыре элемента из 16, поэтому Р(A) = N(A)/N(Ω) = C416/C419 ≈ 0,47.Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов выбрать один элемент из16, поэтому Р(B) = N(B)/N(Ω) = C116/C419 ≈ 0,004.Г.

Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениямиЕсли выбор m элементов из множества E = {e1, e2, ..., en}, производится с возвращением и супорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами будут всевозможные mэлементные наборы (вообще говоря, с повторениями), отличающиеся либо составом элементов, либопорядком их следования. Например, при m = 4 наборы {e1, e1, e2, e1}, {e2, e1, e1, e1} и {e1, e1, e3, e1}являются различными исходами данного опыта. Получаемые в результате различные комбинацииназываются размещениями, с повторениями, а их общее число определяется формулойN(Ω)= nm.Пример 4.

Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита E = {а, б, к,о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результатебудет выложено слово «мама»?Решение. Число равновероятных исходов равно числу размещений с повторениями из 5 элементов по 4т.е. N(Ω)= 54. Слову «мама» соответствует лишь один возможный исход.

Поэтому Р(A) = N(A)/N(Ω) =1/54 ≈ 0,0016.Д. Схема упорядоченных разбиенийПусть множество E состоит из m различных элементов. Рассмотрим опыт, состоящий вразбиении множества E случайным образом на s подмножеств E1, E2, ..., Es таким образом, что:1. Множество Еi содержит ровно ni элементов, где i = 1, 2, ..., s.2. Множества Еi упорядочены по количеству элементов ni.3. Множества Еi, содержащие одинаковое количество элементов, упорядочиваются произвольнымобразом.

Например, при n = 7, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 3 разбиения {E1 = {e1, е2}, Е2 = {e3, е4}, Е3 = {e5, е6, e7}}и {E1 ={e3, е4}, Е2 ={e1, е2}, Е3 = {e5, е6, e7}} являются различными исходами данного опыта.Число всех элементарных исходов в данном опыте определяется формулойN(Ω) = n!/(n1! ⋅ n2! ⋅ ... ⋅ ns!).Пример 5. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в дватрехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Каковавероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?Решение. Разбиения в данном опыте характеризуются следующими параметрами: s = 3, n = 10, n1 = 3, n2= 3, n3 = 4.

Тогда N(Ω) = 10!/(3!⋅3!⋅4!) = 4200.Пусть событие А - Петров и Иванов попадут в одни четырехместный номер. Благоприятствующиесобытию А исходы соответствуют разбиениям со следующими параметрами: s = 3, n = 8, n1 = 3, n2 = 3,n3 = 2. Тогда N(A) = 8!/(3!⋅3!⋅2!) = 560. Искомая вероятность Р(A) = N(A)/N(Ω) = 560/4200 = 2/15.Случайные величиныСлучайной величиной (СВ) Х называется действительная функция X = X(ω), определенная намножестве элементарных исходов Ω, такая, что для любого действительного x множество тех ω ∈ Ω,для которых X(ω) < x, принадлежит полю событий W(Ω).