Краткий курс лекций (Лекционный курс по ТерВеру)

Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Краткий курс математического анализав лекционном изложениидля студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана(третий семестр)Лекция 11ВероятностьВ теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исходкоторых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большогочисла экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистическойустойчивости).Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исходопыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опытаслучаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях,не подчеркивая их случайность.Пространством элементарных событий Ω (исходов) называется множество всехэлементарных событий (исходов).

{ω1, …ωn …}, если в результате опыта обязательно наступаеткакой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой).Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечноемножество элементарных событий.Случайным событием (событием) называется подмножество пространстваэлементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами событияявляются элементарные события, образующие это событие.Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (ω1=Г) или решкой (ω1=Р).Ω=(Г,Р).Пример. Бросаются две монеты Ω = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}Пример.

Капля дождя падает на прямоугольную площадку.Ω= {(x,y), a<x<b, c<y<d}Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта,оно содержит все элементарные события и обозначается Ω.Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данногоопыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается ∅.Действия над событиями.События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиямнад множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.Пространство Ω будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкойпрямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника.

Результатоперации над событиями будем заштриховывать.Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событиеВ – выбор десятки.1Лекции 1,2 написаны по лекциям В.Ф. Панова с добавлением авторского материала и примеровстр. 102.11.2005Основы теор. вер. и матем.

статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Суммой двух событий А и В называется событиеС = А + В (или С = А ∪ В), состоящее из элементарныхсобытий, принадлежащих либо А, либо В.Пример.С = А + В – выбор любой червонной карты или любойдесяткиПроизведением двух событий А и В называется событиеD = AB (или D = A ∩ B), состоящее из элементарныхсобытий, принадлежащих и А и В.Пример.

АВ – выбор десятки червейРазностью двух событий А и В называется событиеА\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащихА и не принадлежащих В.Пример. А\В –выбор любой червонной карты, кроме десяткиКлассификация событийСобытие, состоящее из всех элементарных событий,не содержащихся в А, обозначим А и будем называтьпротивоположным событием.Пример.

А –выбор червонной карты;А –выбор любой карты другой масти.. А = Ω\АДвасобытия А и В будем называть совместными,если каждое из них содержит хотя бы одно общееэлементарное событие, т.е если АВ ≠ Ø.Пример. А – выбор червонной карты иВ – выбор десятки – совместные события, так какАВ = выбор червонной десятки ≠ ØЕсли общих элементарных событий у событий А и Внет, то их будем называть несовместными событиями(АВ = Ø).Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}.В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5}Очевидно, что А и В несовместны.Полная группа событий – это совокупность nсобытий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательноnпроизойдет, т.е.∑Аi =1i=Ωстр. 202.11.2005Основы теор.

вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Свойства операций над событиями1. Ω =Ø2. А + А = А6. А Ω = А7. А Ø = Ø3. А А = А4. А + Ω = Ω5. А + Ø = А8 А =А9. А + А = Ω10. А А = ØКоротко. Если А ⊆ В, тоА+В=ВАВ=АКоммутативность операцийА + В = В + А;АВ=ВААссоциативность операцийА + (В + С) = (А + В) + С = А + В + СА(В С) = (А В) С = А В СДистрибутивность операции сложения относительно умноженияА (В + С) = А В + А СДистрибутивность операции умножения относительно сложенияА + (В С) = (А + В)(А + С)Пример.

Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.В самом деле, BA⊂A, AC⊂A, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.Правило двойственности (теорема де Моргана)Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (дажесчетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем заменысобытий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы назнак произведения, при оставлении порядка операций неизменным∞∞k =1k =1∑ Ak = ∏ Ak ,Пример.∞∞k =1k =1∏ Ak = ∑ AkА + В = А⋅ BАВ = А + ВАлгебра событий.Пусть Ω - пространство элементарных событий.

Алгеброй событий S называется такаясистема случайных событий S, что1) S⊃Ω, 2) ∀ A, B ⊂ S ⇒ A+B⊂S, AB⊂S, A\B⊂S.Следствие ∅= Ω\Ω ⊂ SПусть Ω содержит конечное число элементов, Ω= {ω1,…ωn}. Тогда алгебру S можно построитькак множество всех подмножеств Ω.S={∅, {ω1}, … {ωn}, {ω1,ω2}, …{ω1,ωn}, …{ωn-1,ωn}, …{ω1, …,ωn}}, в ней всего 2nэлементовАналогично стоится алгебра для счетного числа событий.стр. 302.11.2005Основы теор. вер.

и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можнозаключить, произошли или нет события A, B , A+B, AB, A\B, поэтому события должнывыбираться из определенного класса – алгебры событий.Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен.Вводится σ- алгебра событий.Сигма-алгеброй (σ-алгеброй) событий Β называется непустая система подмножествпространства элементарных событий, такая что1) A⊂Β⇒ A ⇒Β,2) A1, A2, …An, …⊂Β⇒( A1+A2+ …+An+, …)⊂Β, ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An ⋅ ...) …⊂Β.Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.Вероятность.Классическое определение вероятности событияВ классическом определении вероятности исходят из того, что пространствоэлементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все ониравновозможные.Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющиеполную группу.В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в томсмысле, что элементарные события равновозможны, т.е.

представляют собой случаи.Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или,как говорят, благоприятствующих событию А).Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев,NAблагоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е.P(A) =. ДанноеNопределение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = {ω1, ω2,…,ω6}N = 6.А – количество очков кратно трем А = {ω3,ω6} NA = 2.2 1Р ( А) = = .6 3N =36.2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {ω11, ω12,…,ω66};ωkl = (ak, bl), k,l = 1,6А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 44 1Р ( А) == .36 93.

В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.А – шар черный.bР( А) =.a+bИсходя из классического определения вероятностей, легко доказатьвероятности:(NA = N);1) Р(Ω) = 12) 0 ≤ Р( А) ≤ 1( 0≤ NA ≤ N) ;3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)( NA+B=NA+NB)и их следствия(NØ) = 0;4) Р(Ø) = 0( А + А = Ω, А А = Ø,Р(А) + Р( А ) = 1);5) Р( А ) = 1- Р(А)6) Если А ⊆ В , то Р(А) ≤ Р(В)(NA ≤ NB).стр. 4свойства02.11.2005Основы теор. вер.

и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложнымявляется определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующихисходов.Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Рпредставляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых можетбыть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполненаm1 ⋅ m2 ⋅ ...

⋅ mn способами.Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов.Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборемы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. Аможем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшегочисла шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мыможем учитывать порядок появления шаров.