Краткий курс лекций (Лекционный курс по ТерВеру), страница 2

Такая выборка называется упорядоченной илиразмещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается,важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называетсянеупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способамиможно произвести ту или иную выборкуБез возвращенияС возвращениемСочетанияРазмещенияn(n − 1)...(n − m + 1)Anm = n(n − 1)...(n − m + 1)C nm ==m!n!m!(n − m )!C nm = C nm+ m −1Anm = n mФормулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики.

Для того,чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужноупорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядкомэлементов. Выборки, отличающиесятолько порядком элементов, называютсяAmперестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm= Amm =m!. Поэтому С тn = n .PmФормулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательствоприведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).Пример.

Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара(n=3). Приведем эти выборки.1) Размещения с возвращением(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) A32 = 32 = 9.2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) A32 = 6 .3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3)C 22+3−1 = C 42 = 6C 32 = 3 .Пример. Задача о выборке бракованных деталей.В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей.Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?стр.

502.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно C Nn . Мы выбираем mбракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей безбрака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такомуС m C n−mвыбору благоприятствует C Mm C Nn −−mM случаев. Поэтому искомая вероятность равна p = M nN − M .CNГеометрическая вероятностьФормула классической вероятности применяется только в схеме случаев, чтособой«долю»встречается довольно редко.

Отношение Р(А)= NA/N представляетблагоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитываютвероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное числоравновозможных исходов.Событие А – волчок касается плоскоститочкой из окрашенного сектора.Множество точек на ободе в окрашенномсекторе имеет мощность континуума. Делим всюокружность на N маленьких одинаковых дуг. Числодуг на окружности, принадлежащих окрашенномусектору, пусть равно NA.Nϕα.Р ( А) = lim A = A =N →∞ Nϕ Ω 2πmes ΩВ общем случае имеется мерасоответствующая Ω (в нашем случае mes Ω = 2 π ) имера mes А, соответствующая А (в нашем случаеmesА = α )mesA ϕ A l A V A===и т.д.Р ( А) =mesΩ ϕ Ω l Ω VΩПример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов наопределенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит.Какова вероятность встречи?Выберем начало системы координат в точке (10, 10).

Отложим по осям системы координат xвремя прихода первого студента, y – время прихода второго студента.Тогда множество |x-y|<1/4, 0<x<1, 0<x<1, 0<y<1содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь)mesA равна 1- (3/4)2 = 7/16. Так как mesΩ =1, то P(A) = 7/16.11/41/41Статистическая вероятностьФормулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы толькодля случая равновозможных исходов.

В действительности мы на практике имеем место снеравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайногособытия, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определитьстр. 602.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.вероятность того, что в испытании произойдет событие А.

Для этого в одинаковых условияхпроводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и А . Частотой событияА будем называть отношение числа NA испытаний, в которых зафиксировано событие А кобщему числу N испытаний.Вероятностью события А называется предел частоты события А приN→ A .Такнеограниченном увеличении числа испытаний n → ∞ , т.е.Р ( А) n→∞Nопределяется статистическая вероятность события.Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям длявероятности события P(A) выполнены три основных свойства:P(A)≥0, 2) P(Ω)=1, 3) P(A1+ …+An) = P(A1) + …+P(An), если A1, An попарно несовместны.Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.А.Н.

Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарныхсобытий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное числособытий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий,удовлетворяющая трем аксиомам:1) не отрицательность P(A)≥0, ∀A∈Β - сигма – алгебре событий на Ω2) нормировка P(Ω) = 13) расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1, …An … выполненоP(A1+ …+An+ …) = P(A1) + …+P(An) +…(счетная аддитивность).Итак, по А.Н.

Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числоваянеотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события),заданная на сигма – алгебре событий.Если Ω состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебрыΒ может рассматриваться алгебра S событий.

Тогда по аксиоме 3 вероятность любого событияA равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.Вероятностным пространством называется тройка (Ω, Β, P).Свойства вероятности1) P ( A) = 1 − P( A) .Всамомделе, A + A = Ω ,A, Aнесовместны.Поаксиоме3P( A + A) = P ( A) + P( A) = P(Ω) = 1 .2) P(∅) = 0. Так как ∀A A+∅ = A, по аксиоме 3 P(A+∅) = P(A) + P(∅) = P(A) ⇒P(∅) = 03) Если A⊂ B, то P(A) ≤ P(B).

Так как B = A+ B\A, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(B\A), но поаксиоме 1 P(B\A)≥0Пример. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шари записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1)получитькомбинацию 111,2) из номеров шаров составить возрастающуюпоследовательность?стр. 702.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 43, 1), NA=1, P = ¼3, 2) NA = C 43 , таккак возрастающую последовательность можно составить всегда из не повторяющихся номеров,P = C 43 / 43 .В случае б) N = C 43 ,1) P = 0, так как номера шаров не повторяются, то NA =0, 2) P = 1, таккак N = NA = C 43 .Пример. Пять человек садятся в поезд метро, состоящий из пяти вагонов. Каковавероятность того, что они окажутся в разных вагонах?Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пятиэлементов по пять N = 55.

Число элементарных событий, составляющих А, равно 5! Поэтому Р= 5!/ 55.Лекция 2Условная вероятность.Часто приходится вычислять вероятность события А при дополнительном условии, чтопроизошло событие В. Такую вероятность будем называть условной и обозначать Р(А/В)(вероятность события А при условии, что событие В наступило).Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называетсябезусловной. Это – обычная, определенная выше вероятность.Рассмотрим пример. Пусть в данной аудитории присутствует N студентов. Среди них NA–любящих математику, NB – любящих физику, NАВ – любящих и математику, и физику.

Лекторслучайно выбирает одного студента. Введем следующие события:А – случайно выбранный студент любит математику, В – физику, АВ – и математику, ифизику. На диаграммах Венна это выглядит так.Тогда вероятности этих событий равны:N A mesA=,(2.1)NmesΩNmesB, .(2.2)P( B) = B =NmesΩNmesAB.(2.3)P( AB) = AB =NmesΩЭто безусловные вероятности.Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятность того, что случайновыбранный любитель физики любит еще и математику. В этом случае количество всехвозможных исходов NB (выбираем только любителей физики), а количество благоприятныхисходов – NАВ.На диаграмме Венна это выглядит такР ( А) =стр. 802.11.2005Основы теор.

вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Тогда, учитывая (2.2) и (2.3), получимNmesAВ mesΩ ⋅ P( AB) P( AB)==Р ( А / В ) = AB =NBmesВmesΩ ⋅ P( B)P( B)(2.4)Мы рассмотрели частный случай. Введем в общем случае следующее формальноеопределение.Определение.

Пусть В – событие, имеющее ненулевую вероятность, а А произвольноесобытие.Р ( АВ)Р( А / В) =.(2.5)ПоложимР( В)Определенную таким образом величину Р(А/В) будем называть условной вероятностьюсобытия А при условии В.Формула вероятности произведения событий(теорема умножения вероятностей). Независимые событияИз формулы условной вероятности найдем вероятность события АВ и воспользуемсявозможностью поменять А и В местами из-за коммутативности произведения событий. Из (2.5)получимР(АВ) = Р(В)·Р(А/В) = Р(А)·Р(В/А).(2.6)Вероятность совместного наступления двух событий (вероятность произведения этихсобытий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другогопри условии, что первое событие произошло.Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числасобытий.Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностейэтих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляетсяпри условии, что все предыдущие имели место.nn −1i =1i =1Р (∏ Аi ) = Р( А1 ) ⋅ Р( А2 / A1 ) ⋅ P( A3 / A1 A2 ) ⋅ ...

⋅ P( An / ∏ Ai )(2.7)Событие А будем называть независимым от события В, еслиP(A/B) = P(A),(2.8)т.е. если условная вероятность равна безусловной вероятности.Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяетвероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность ихпроизведения равна произведению их вероятностейnni =1i =1Р (∏ Аi ) = ∏ Р( Аi ) .(2.9)Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость всовокупностиПример 1. Наугад вытаскивается одна карта из тщательно перетасованной колоды в 36карт.А – вытащенная карта – дама;Р ( А) = 4/36 = 1/9;1) Дополнительная информация: произошло событие В – вытащена карта бубновоймасти, Р ( B) = 1/4, P( AB ) =1/36.P( A / B) =P( AB) 1 / 36== 1 / 9;1/ 4P( B)P ( A) = Р( A / B) ⇒ А и В – независимы.стр.