Краткий курс лекций (Лекционный курс по ТерВеру), страница 5

1902.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиM (X ) =σ2π+∞1∫ xeσ 2π+∞∫ ye−( x−a )2σ+∞1∫e−2π2y2+∞1dx = ( x =σy + a ) =2−∞2y2−Доцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.2∫ (σy + a )e−y22dy =−∞12π = a .2π2π−∞−∞Вычислите аналогично D( X ) = σ 2 , СКО = σ .Обозначимплотностьстандартногонормальногоdy + ady = 0 + aϕ (x ) =M ( X ) = a = 0, D( X ) = σ 2 = 1 )распределения(приx2−21e ,2πобозначим функцию распределения стандартного нормального распределенияΦ(x ) =где Φ 0 ( x ) =x12π12π∫e−x22dx =−∞x∫e−x221+ Φ 0 (x ) ,2dx - интеграл Лапласа. Значения Φ 0 ( x ) можно найти в стандартных0таблицах.Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины наотрезок [a,b].P{a < X < b} =b1σ 2π∫e−( y − m )22σ 2dy x →=( y − m ) / σa12π(b − m ) / σ∫) σ e(a − m−x22dx =/b−ma−m= Φ0  − Φ0  .

При вычислении вероятности полезно учитывать нечетность σ  σ функции Φ 0 ( x ) :Φ 0 (− x ) =12π−x∫e0−x22ydx = y =− x = − ∫ e−y22dy = −Φ 0 ( x ) .0Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех mсправедлива локальная формула Муавра – Лапласаm − npP(m, n ) npq ≈ ϕ ( x ), x =.npqЕсли в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех mсправедлива интегральная формула Муавра – Лапласа m − np m − np m2 − np  ≈ Φ ( x 2 ) − Φ( x1 ) = Φ 0 ( x 2 ) − Φ 0 (x1 ),≤≤P(m1 ≤ m ≤ m2 ) = P 1 npqnpqnpq.m1 − npm2 − npx1 =, x2 =npqnpqЭто означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становитсянормальным.Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события отвероятности.

Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра –Лапласа.m − np  m n=  − p.Заметим, чтоnpq  n pqстр. 2002.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.Запишем интегральную формулу Муавра – Лапласаt2b−mnp1−P a << b ≈∫a e 2 dtnpq2πв видеnn m n≈P a<  − p<bpq  npq  pqb12πnpq∫ae−t22dt .npqПоэтомуn n m − Φ0 a.P a <  − p  < b  ≈ Φ 0  bpqpqnЕсли интервал симметричен, − ε = a, b = ε , то по нечетности Φ 0 ( x )mP − p < ε  ≈ 2Φ 0  ε nn .pq Примеры.1) (3.42) Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов.

Вероятность вызова за минуту0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов?Здесь n =1000, p = 0,0005, λ = np =0.5. P ≈ 1 − P(0, 0,5) − P(1, 0,5) = 1 − 0,606 − 0,303 = 0,091 (по таблицеP(m, λ ) ).2) (3.43) Известно, что 20% автомобилей нарушают скоростной режим. Какова вероятностьтого, что из 1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальнойформулойМуавра-Лапласаприn=1000,p=0,2,m=300.210 − 2000,292npq = 1000 0,2 0,8 = 12,65, x == 0,79, ϕ (0,79) = 0,292, P ≈≈ 0,0212,6512,653) (3.44) Монету подбрасывают 10000 раз. Найти вероятность того, что частота выпадениягерба будет отличаться от 0,5 не более, чем на 2%.Здесь надо пользоваться интегральнойm2=600.ТогдаформулойМуавра-Лапласаприn=10000,р=1/2,m1=400,npq = 10000 0,5 0,5 = 50, x1 = −2, x 2 = 2, P ≈ Φ 0 (2 ) − Φ 0 (− 2 ) = 2 0,47725 = 0,9545.Другие распределения, часто используемые в инженерных расчетах.Распределение Вейбулла. Это распределение с плотностьюx<00,p(x ) = βαβx β −1e −α x , x ≥ 0 (α > 0, β > 0)и функцией распределенияx<00,.F (x ) = β1 − e −α x , x ≥ 0Если β = 1 , то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, а при β = 2 - враспределение Релея.Достаточно близкую к распределению Вейбулла плотность имеет гамма –распределение:x<00, γ γ −1.p(x ) =  λ x− λx Γ(γ ) e , x ≥ 0 (λ > 0, γ > 0 )стр.

2102.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиЗдесь Γ(γ ) =+∞∫xДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.γ −1 − xe dx - гамма-функция.0Если γ = k - целое число, то гамма-распределение превращается в распределение1kЭрланга порядка k. Если k – нечетное число, γ = , λ = , то гамма-распределение222превращается в распределение ℵ (хи-квадрат) распределение с k степенями свободы. Приγ = 1 (так как Γ(γ + 1) = γΓ(γ ), Γ(n ) = (n − 1)! ) гамма-распределение переходит вэкспоненциальное. Для всех рассмотренных распределений составлены таблицы, по которымможно определять значения функций распределения.Лекция 6Двумерные случайные величиныСовокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве(Ω, Β, Ρ ) , называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором,X,Y называют координатами случайного вектора.Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функциейраспределения случайных величин X,Y называетсяF ( x, y ) = P{X < x, Y < y}.Свойства функции распределения.0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1 (Это – свойство вероятности, а F ( x, y ) - вероятность).F ( x, y ) - неубывающая функция по каждому из своих аргументов.

(В самом деле, еслиx1 < x 2 , то событие ( X < x1 , Y < y ) включено в событие ( X < x 2 , Y < y ) , следовательно,его вероятность меньше)3 F (− ∞, y ) = F ( x,− ∞ ) = 0 (события ( X < −∞, Y < y ), ( X < x, Y <− ∞ ) - невозможные,поэтому их вероятность равна нулю).4 F (+ ∞,+∞ ) = 1 (событие ( X < +∞, Y <+ ∞ ) достоверно).5 P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d ) = F (b, d ) - F (b, c ) - F (a, d ) + F (a, c )12Геометрически, F (b, d ) - площадьполосы левее и ниже точки (b, d ) ,dВычитая из нее F (b, c ) и F (a, d ) ,мы два раза вычтем площадьполосы левее и ниже точки (a, c ) .Для того, чтобы получитьплощадь прямоугольника –cлевую часть равенства, надовычитать эту площадь один раз,поэтому надо добавить ее, т.е.aF (a, c ) в правую часть равенства.6.

F (x, y ) непрерывна слева по каждому из аргументовстр. 22b02.11.2005Основы теор. вер. и матем. статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.7. F ( x,+ ∞ ) = FX ( x ), F (+ ∞, y ) = FY ( y ) . Так как событие ( X < +∞ ) достоверно, топересечение событий ( X < +∞ ) и (Y < y ) есть событие (Y < y ) . Поэтому первое равенствосправедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайныевеличины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения дляодномерной случайной величины.YXx1x2…….xnPYy1p11p21…pn1pY1y2p12p22…pn2pY2…..……………ymp1mp2m…pnmpYmPXpX1pX2…pXnЗдесь pnm = P( X = x n , Y = y m ) , pYm = P(Y = y m ) = p1m+ p2m +…+pnm,pXn = pn1 + pn2 + … +pnm.График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает«лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на pij при переходе через точку (xi ,yj) в положительном направлении по оси OX и по оси OY.

Если зафиксировать x = xi, то приувеличении y эти скачки будут на pi1, pi2, … pim (от нуля до pXi ). Если зафиксировать y = yj, топри увеличении x скачки будут на p1j, p2j, … pnj (от нуля до pYj). Нижние ступени (при x ≤ x1 иy ≤ y1) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>xn, y>ym) находится науровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y эти скачки будут на pY1, pY2, … pYm(от нуля до 1).

Если зафиксировать y > ym, то при увеличении x скачки будут на pX1, pX2, … pXn(от нуля до 1).Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятностьпопадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина Xi – число попаданий при i –том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1, X2)= ( X , Y ) .YXx1=0y1=0q2y2=1qpPXpX1=qx2=1pqp2pX2=pPYpY1=qpY2=pПостроим функцию распределения0, x ≤ 0, y ≤ 0 2q , (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1)F ( x) = q, (0 < x ≤ 1, y > 1) .

В самом деле, при ( x ≤ 0, y ≤ 0) – событие{X<x,Y<y} q, (x > 1, 0 < y ≤ 1)1, ( x > 1, y > 1)невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.При (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}.Поэтому при (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) (0 < x ≤ 1, y > 1) F(x) = P{X=0,Y=0}= q2.При (0 < x ≤ 1, y > 1) событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместныхсобытий {X=0,Y=0} и {X=1,Y=0}. Поэтому при (0 < x ≤ 1, y > 1) F(x) = P{X=0,Y=0}+стр. 2302.11.2005Основы теор. вер. и матем.

статистикиДоцент кафедры «Прикладная математика» Галкин С.В.2P{X=1,Y=0}= q + pq = q(p+q)=q. Аналогично, в случае ( x > 1, 0 < y ≤ 1) F(x) = P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}= q2 + pq = q(p+q)=q.Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайныевеличины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственногоинтеграла от плотности распределения.F ( X , Y ) = P ( X < x, Y < y ) =x y∫ ∫ p(x, y )dxdy .− ∞− ∞Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y инаоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя попеременным верхним пределам, получим∂ 2 F ( x, y ) ∂ 2 F ( x , y )p ( x, y ) ==.∂x∂y∂y∂xСвойства плотности.1.p ( x, y ) ≥ 0 (функция распределения – неубывающая функция).b d2.P(a < X < b, c < Y < d ) = ∫ ∫ p ( x, y )dxdy(по свойству 5 функции распределения)a cСправедливо обобщение P( X ∈ D ) = ∫∫ p( x, y )dxdy .D3.P( x < X < x + ∆x, y < Y < y + ∆y ) ≈ P( x, y )∆x∆y+∞ +∞4.∫ ∫ p(x, y )dxdy = 1 (по свойству 4 функции распределения)− ∞− ∞5.6.P ( X = x, Y = y ) = 0p X (x ) =+∞∫ p(x, y )dy ,pY ( y ) =−∞+∞∫ p(x, y )dx (Свойство 7 функции распределения)−∞Независимость случайных величин.Случайные величины X, Y называются независимыми, если F ( x, y ) = FX ( x )FY ( y ) , гдеFX ( x ), FY ( y ) - функции распределения случайных величин X, Y.Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y,∂ 2 F ( x, y )получим p ( x, y ) == FX' (x )FY' ( y ) = p X (x ) pY ( y ) .∂x∂yСоотношение p ( x, y ) = p X ( x ) pY ( y ) поэтому можно считать определениемнезависимости непрерывных случайных величин.Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в видеpij = P (X = xi , Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j ) = p X i pY j .Математическое ожидание.Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называетсяM ( f ( X , Y )) = ∑ f (xi , y j )pij в дискретном случае,i, jM ( f ( X , Y )) =+∞ +∞∫ ∫ f (x, y ) p(x, y )dxdyв непрерывном случае.− ∞− ∞стр.