Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовые свойства атомов

МГТУ им. Н.Э. БауманаМартинсон Л.К., Смирнов Е.В.Методические указания к решению задач по курсу общей физики.Раздел «Квантовые свойства атомов».Москва, 2003.В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой теории атомов, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задачи приведены условия задач для самостоятельного решения. Представленный материал предполагает проработку раздела курса общей физики «Элементы квантовой механики».Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им.

Н.Э. Баумана.1. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ.К числу важных физических объектов относятся атомные системы. Наиболее простымииз таких систем являются водородоподобные атомы, т. е. атомы или ионы, в которых одинединственный электрон движется в кулоновском поле ядра с зарядом +Ze, где е - элементарныйэлектрический заряд, Ζ - атомный номер элемента. Для атома водорода Z=1, для однократно ионизированного атома гелия Не+ Ζ=2, для двукратно ионизированного атома лития Li++ Z=3.В 1913 г. Η.

Бор предложил теорию, которая позволила рассчитать полную энергиюэлектрона в водородоподобных атомах. Одним из постулатов этой теории является тот, согласно которому электрон может двигаться вокруг ядра только по таким стационарным орбитам,для которых момент импульса электрона имеет определенные дискретные значения L = n! , гдеn=1, 2, 3, … - номер стационарной орбиты, ! - рационализированная постоянная Планка. Теория Бора не является законченной теорией атомных систем и не может описать всех их свойств,так как она не учитывает наличия у электрона волновых свойств.Полностью описать свойства водородоподобных атомов смогла только квантовая механика.

В этой теории для того, чтобы найти волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона в водородоподобном атоме, необходимо решить стационарное уравнениеШредингераˆ = Eψ(1.1)Hψгде Ĥ - оператор полной энергии (гамильтониан), а Е - полная энергия электрона.Так как потенциальная энергия электрона, находящегося в электрическом поле ядра нарасстоянии r от него,Ze 2(1.2)U(r)= ,4πε 0 rто гамильтониан Ĥ в рассматриваемой задаче2ˆ = - ! Δ +U(r) ,H2m0где m0 - масса электрона.Уравнение Шредингера (1.1) может быть представлено в виде2m Ze 2 (1.3)Δψ + 2 0  E +ψ=04πε 0 r ! Уравнение (1.3) удобнее решать в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совпадает с центром ядра атома. Будем считать ядро неподвижным. В такой системе координат волновая функция имеет вид ψ=ψ(r, θ, φ), а оператор Лапласа1(1.4)Δ = Δ r + 2 Δθ,ϕrсодержит радиальную частьΔr =и угловую часть1 ∂  2 ∂ rr 2 ∂ r  ∂ r (1.5)1 ∂ ∂ 1 ∂2(1.6).sinθ+sinθ ∂θ ∂θ  sin 2θ ∂ϕ2Волновая функция, являющаяся решением уравнения (1.3), зависит от трех квантовых чисел.1.

Главное квантовое число n принимает значенияn=1, 2, 3, …и определяет полную энергию электрона в заданном квантовом состоянииm0e4Z2Z2(1.7)⋅ 2 = -13, 6 2 эВ .En = 2 2 232π ε0 ! nnВ связанном состоянии электрон в атоме имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений. На рис. 1 приведен энергетический спектр электрона в атоме водорода (Ζ=1). Положительные значения энергии на этом рисунке соответствуютсвободному электрону, поэтому изображенный на рисунке переход 2 соответствует отрывуэлектрона от ядра, т.

е. ионизации атома. Из (1.7) следует, что величина энергии ионизацииатома водорода Ei=Е1=13,6 эВ.2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l в квантовых состояниях с заданнымзначением главного квантового числа n может иметь следующие значения:l=0, 1, ..., (n - 1).∆ θ,ϕ =Это квантовое число определяет орбитальный угловой момент импульса электронаL = ! l(l +1)и соответствующий магнитный моментp M = µ Б l(l +1) .Здесь универсальная постоянная(1.8)(1.9)e!Дж= 0,927 ⋅ 10-232m0Тлслужит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется м а г н е т о н о м Б о р а .3.

Магнитное квантовое число m в квантовых состояниях с заданным значением орбитального квантового числа может принимать (2l + 1) различных значений:m=0, ± 1, ± 2, ... , ± l.Магнитное квантовое число определяет проекции механического и магнитного моментов навыделенное внешним полем направление z:(1.10)Lz = m ! ,M(1.11)pz = mµ Б .Для обозначения квантовых состояний электрона в атоме используют спектроскопические символы (табл.

1).Таблица 1µБ =Квантовое число lСимвол состояния0s1p2d3f……Следующие квантовые числа обозначают буквами g, h и далее по латинскому алфавиту.Перед спектроскопическим символом указывают значение главного квантового числа n.Поэтому электрон в квантовом состоянии с n=1 и l=0 обозначается символом 1s, а в состоянии сn=2 и l=1 - символом 2р и т. д.Приведем выражения для нормированных волновых функций ψnlm(r, θ, φ) в некоторыхквантовых состояниях электрона в водородоподобных атомах (табл.

2). В качестве характерного размера выберем первый боровский радиус4πε 0 ! 2a== 0,529 ⋅10-10 м ,2m0 erа в качестве безразмерной радиальной координаты – величину ρ = Z .aТаблица 2n12l00mψnlm3201 Z πa01 Z 4 πaexp ( -ρ )32Состояние1s( 2 - ρ ) ⋅ exp  -ρ 22s322101 Z ρ a  ρ ⋅ exp  - 2  ⋅ cosθ4 π  21+11 Z ρ a  ρ ⋅ exp  - 2  ⋅ sinθ ⋅ exp (iϕ )8 π  2р32322р1 Z  ρ2р21-1  ρ ⋅ exp  -  ⋅ sinθ ⋅ exp ( -iϕ )8 πa 2Состояние с наименьшей полной энергией электрона (1s - состояние) называется основным состоянием атома, а все остальные - возбужденными состояниями. Переход 1 на рис.

1 соответствует возбуждению атома водорода.Возбужденный атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при таком переходе квант энергии излучения. Поэтому, если переход осуществляется изсостояния с главным квантовым числом n1 в состояние с главным квантовым числом n2, то!ω12 = En1 - En2С учетом (1.7) отсюда находим частоту излучения при таком переходе 1 1ω12 = Z 2 R  2 - 2  , n1 > n2 , n2 n1 где постоянная РидбергаR=m0 e4= 2, 07 ⋅10162332π ε 0 !(1.12)(1.13)c-1 .Согласно (1.13), оптический спектр излучения водородоподобного атома состоит изспектральных серий, каждая из которых задается номером n2 нижнего энергетического уровня,на который происходят переходы.

Спектральные серии имеют следующие названия: n2=1 - серия Л а й м а н а (ультрафиолетовое излучение); n2=2 - серия Б а л ь м е р а (видимый свет); n2=3 серия П а ш е н а (инфракрасное излучение) и т. д. Для атома водорода (Ζ=1) на рис. 1 изображены переходы, соответствующие линиям излучения серий Лаймана и Бальмера.В релятивистской квантовой механике (П. Дирак, 1928 г.) состояние электрона в атомехарактеризуют уже заданием четырех квантовых чисел. Четвертое квантовое число принимаетдва значения: ms=± s и называется спиновым квантовым числом, причем для электрона спинs=1/2.

Спин электрона характеризует собственные, т. е. не связанные с движением в атоме, механический LS и магнитный pSM моменты электрона, которые определяются выражениями:3(1.14)!;2M(1.15)pS = 2μ Б s(s +1) = 3μ Б .Проекции этих моментов на выделенное в пространстве направление:!(1.16)LSZ = mS ! = ± ;2M(1.17)pSZ= 2mS μ Б = ±μ БСледовательно, электрон в атоме обладает как орбитальным моментом импульса L, так испиновым (собственным) моментом импульса LS. Сумма этих двух моментов дает полный момент импульса электрона в атоме, величина которого определяется выражением(1.18)L j = ! j ( j +1) .LS = ! s(s +1) =Здесь j - квантовое число полного момента.

Оно принимает значения в нашем случае j=l + s иj=l - s,(1.19)j=l + 1/2 и j=l – 1/2,Примеры решения задач.Задача 1.1. Определите для водородоподобного атома радиус n-й боровской орбиты,скорость электрона на ней v и его полную энергию Е.Решение. В теории Бора электрон в атоме может двигаться только по определеннымстационарным орбитам, для которых выполнено условие квантования момента импульса:L = n! , где n=1,2, … - номер орбиты. Для круговых орбит L=m0vr·и условие вращения электрона по стационарной орбите можно записать в виде m0 v 2Ze 2=,4πε 0 r 2 r m vr = nh. 0Решая эту систему уравнений, находим радиус n-й орбиты4πε 0 !2 n 2 a 2⋅ = ⋅n .m0 e2 Z ZДля скорости электрона на n-й орбите получаем значениеZe 2vn =.4πε 0 !nПолная энергия электрона, движущегося по n-й стационарной орбите, равна сумме кинетической и потенциальной энергий:m v2Ze 2E = EK +U = 0 n .24πε 0 rnrn =Подставляя сюда найденные значения rn и vn, находим полную энергию электрона в водородоподобном атомеm0 e4Z2E=⋅.32π 2 ε 20 ! 2 n 2Задача 1.2.

Определите кратность вырождения энергетических уровней водородоподобногоатома.Решение. Кратностью вырождения энергетического уровня называется число возможных квантовых состояний с одинаковым значением полной энергии электрона, равным энергии этогоуровня.Полная энергия электрона в атоме определяется (см. 1.7) значением главного квантовогочисла n. В нерелятивистской квантовой механике Шредингера квантовое состояние электрона ватоме задается тремя квантовыми числами, причем для заданного значения n орбитальное квантовое число l может принимать n значений от 0 до n-1, а каждому значению соответствует(2l+1) значений магнитного квантового числа m.Поэтому кратность вырождения энергетического уровня N в этой теории подсчитаем,найдя число возможных комбинаций чисел l и m для заданного значения квантового числа n.Следовательно, без учета спина электрона, кратность вырождения энергетического уровняn-1N = ∑ ( 2l +1) .l=0Для этой арифметической прогрессии, содержащей n слагаемых, значения первого и последнегочленов прогрессииa1=1, an=2n-1.Поэтому по формуле суммы арифметической прогрессии находим( a + a ) n (1+ 2n - 1) n = n2 .N = Sn = 1 n =22С учетом спина электрона и двух возможных значений спинового квантового числа mS=± 1/2,кратность вырождения уровней удваивается.

Поэтому окончательно, для кратности вырождения n -го энергетического уровня в водородоподобном атоме, получаем значениеN = 2n 2 .Задача 1.3. Определите разность длин волн между головными линиями серий Бальмера λБ иЛаймана λЛ в спектре излучения иона Li++ (Z=3).Решение.

Г о л о в н о й линией спектральной серии излучения водородоподобного атома называется спектральная линия, соответствующая переходу на уровень с главным квантовым числом n2 с ближайшего энергетического уровня, т. е. с уровня, для которого n1=n2 + 1. Так как длялиний серии Лаймана n2=1, а для линий серии Бальмера n2=2, то для частот головных линийэтих серий из (1.13) получаем следующие значения:1 1  3ωЛ = Z 2 R  2 - 2  = Z 2 R;1 2  4 1 1 5ωБ = Z 2 R  2 - 2  = Z 2 R. 2 3  36Длины волн излучений для этих линий2πс8πс2πс 72πсλЛ == 2 ; λБ ==.ω Л 3Z RωБ 5Z 2 RОтсюда находим искомую разность этих длин волн176 πсΔλ = λ Б - λ Л =.15 Z 2 RПодставляя числовые значения, находим Δλ=5,93⋅10-8 м = 59,3 нм.Задача 1.4.