Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовые свойства атомов, страница 2

Найдите наиболее вероятное расстояние rB электрона от ядра в водородоподобноматоме, находящемся в 1s - состоянии. Определите вероятность нахождения электрона в областиr≤rB.Решение. В основном 1s - состоянии (n=1, l=0, m=0) волновая функция электрона в водородоподобном атоме1 Zψ100 = πa32 rexp  -Z  aне зависит от угловых координат.Поэтому по смыслу волновой функции вероятность dP обнаружить электрон в тонкомшаровом слое радиуса r и толщины dr в сферически симметричном квантовом состоянии2dP = ψ100 dV.Здесь dV=4πr2dr - объем рассматриваемого шарового слоя. Следовательно,dP = ψ100 4πr 2 dr = ω ( r ) dr,где радиальная плотность вероятности23rZω ( r ) = 4   r 2exp  -2 Z  .aaНаиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет расстояние rB, для которогорадиальная плотность вероятности ω(r) будет максимальна.Приравняв производную ω(r) по r к нулю, получим, что при r=rBr2Zrr Z2r ⋅ exp  -2 Z  - r 2exp  -2 Z  = 2r ⋅ exp  -2 Z  1 - r  = 0 .aaaa aОтсюда находим, чтоZrB = .aВероятность того, что электрон находится в шаровой области r≤rB,rBP ( r ≤ rB ) = ∫ ψ1000a Z221Z ⋅ 4πr dr =  π a r-2 Za223a Z∫e-2 Zra⋅ 4πr 2 dr =01 rr 1⋅ d  2 Z  = ∫ x 2 e-x dx. 2Z  e∫2 0 aa 2 0Интегрируя по частям, получаем21 -x 2P ( r ≤ rB ) = e (-x - 2 x - 2 ) = 1- 5e-2 = 0,323.20=Задача 1.5.

Вычислите вероятность нахождения электрона в основном состоянии в атоме водорода вне границ классической области движения.Решение. Полную энергию электрона в основном состоянии в атоме водорода найдем из (1.7)при Z=1 и n=1. Имеемm0 e4E=.32π 2 ε 20 ! 2Так как по классическим представлениям полная энергия Ε движущейся частицы не можетбыть меньше ее потенциальной энергии U, то в границах классической области движения E≥U.Потенциальная энергия электрона в поле ядраe2U(r)= .4πε 0 rПоэтому классическая теория допускает движение электрона, находящегося в основном состоянии, лишь в области пространства, для которойm0e 4e2≥.32π 2 ε 20 ! 24πε 0 rОтсюда находим границу шаровой области, в которой может двигаться электрон с точки зренияклассической теории:8πε 0 ! 2rКЛ == 2a,m0 e2где а - первый боровский радиус.Вероятность нахождения электрона вне классической области движения∞∞1 - 2r2P ( r ≥ rКЛ ) = ∫ ψ100 ⋅ 4πr 2 dr = ∫ 3 e a ⋅ 4πr 2 dr =2a2 a πa∞2∞1  2r  - 2ar  2r  1 2 -x= ∫   e ⋅ d   = ∫ x e dx.2 2a  a  a  24Интегрируя по частям, находим∞1  -x 2P ( r ≥ rКЛ ) = e ( -x - 2 x - 2 ) = 13e-4 = 0, 238.24Таким образом, искомая вероятность обнаружить электрон в основном состоянии атома водорода вне границ области, разрешенной для движения электрона в классической механике, оказалась равной 23,8 %.Задача 1.6.

Электрон в атоме водорода находится в квантовом состоянии, описываемой волновой функцией вида ψ = А ( 1 + αr ) е β r , где А, α и β - некоторые постоянные. Определите значения постоянных Α, α, β и полную энергию электрона Е.Решение. Уравнение Шредингера для атома водорода (1.3) можно записать в следующем виде:e2!2Δψ ψ = Eψ.2m04πε 0 rПоскольку заданная в условии задачи волновая функция зависит только от радиальной координаты r, то оператор Лапласа Δ содержит только радиальную часть (1.5), т.

е.1 ∂  2 ∂  ∂2 2 ∂+.r=r 2 ∂r  ∂r  ∂r 2 r ∂rНайдем первую и вторую производные волновой функции ψ по r:Δ=∂ψ∂=Ae β r + A α re β r ) = A (α + β ) e β r + A αβ re β r ;(∂r ∂r∂2ψ= A (α + β ) βeβr + Aαβeβr + Aαβ 2 reβr = A ( 2α + β ) βeβr + Aαβ 2 reβr2∂rПодставляя производные в уравнение Шредингера, получим2A2A!2 A ( 2α + β ) β eβr + Aαβ2 reβr +−(α + β ) eβr + αβreβr  −2m0 rre2A (1 + αr ) eβr = EA (1 + αr ) eβr .−4πε 0 rβrСокращая обе части равенства на Ae и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r, приходим к соотношениюe2  0  !2e2!22−1 r −2 (α + β ) −4αβ + β ) −α − E +( + r −4πε 0 4πε 0 2m0 2m02 !+ r +1  −αβ 2 − αE  = 0. 2m0Для того чтобы левая часть этого равенства обращалась в нуль при любых значениях r, необходимо, чтобы коэффициенты при всех степенях r были равны нулю.

Это приводит к следующейсистеме уравнений !2 2β + E = 0;2m0 ! 2e224αβ+β+() 4πε α + E = 0;2m0022!e (α + β ) += 0.4πε0 m0Из первого уравнения этой системы находим!2 2E=−β .2m0Подставляя это значение во второе уравнение, получаемm e21β=− 0 2 =− .8πε 0 !2aТеперь из третьего уравнения находимm e21α=β=− 0 2 =− .8πε 0 !2aСледовательно, постоянные α и β найдены, а полная энергия электронаm0 e4!2 2E=−β =−.2m0128π2 ε 02 ! 2Теперь волновая функция может быть записана в видеr  − 2raψ = A 1 −e .2a Коэффициент А найдем из условия нормировки волновой функции∞2∫ ψ ( r ) ⋅ 4πr dr = 1.20Подставляя в это соотношение найденную волновую функцию, получим2∞rr  −a 24 πA 2 ∫  1 − e r dr = 1 .2a0Вводя новую переменную интегрирования x=r/a, приводим это равенство к виду∞1 4πA2 a 3 ∫  x 2 − x3 + x 4  e− x dx = 1.4 0Вычисляя по частям интегралы∞∞∞I1 = ∫ x e dx = 2, I 2 = ∫ x e dx = 6, I3 = ∫ x 4e − x dx = 24 ,2 −x03 −x0находим, что08πA2a3=1.ОтсюдаA=Итак, волновая функция электрона18πa 3=12 2πa 3.r  − 2raψ (r ) =1 −  e2 2πa3  2a точно соответствует волновой функции ψ200, описывающей квантовое состояние 2s - электрона(см.

табл. 2). Найденная полная энергия электрона также соответствует формуле (1.7) для n=2.Задача 1.7. Для основного состояния электрона в атоме водорода определите средние значенияследующих величин: а) расстояния электрона от ядра r, б) модуля силы взаимодействия электрона и ядра; в) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.Решение. В соответствии с основными положениями квантовой механики среднее значениефизической величины f, которой соответствует квантово-механический оператор Φ̂ , определятся соотношениемˆ ψ dV .< f >= ∫ ψ ∗ Φ1"N1. Так как оператор радиальной координаты r̂ = r есть оператор умножения на эту координату, а в основном состоянии электрона в атоме водорода волновая функция1∗ψ = ψ = ψ 100 =πa 3то∞< r >= ∫ ψ100 ( rˆ ψ100 ) 4πr 2 dr =0∞32r∞e−ra,∞4 3 − 2arr e dr =a3 ∫0a  2r  −a3 2r  a= ∫   e a d   = ∫ x3e− x dx = ⋅ 6 = a.4 0 a 42 a  402.

Кулоновская сила взаимодействия электрона с ядромe2FK ( r ) =4πε 0 r 2зависит только от радиальной координаты. Поэтому оператор этой физической величиныF̂K = FK ( r ) есть оператор умножения на функцию FK ( r ) . Следовательно, среднее значение кулоновской силы взаимодействия∞∞2r−1e2< FK >= ∫ ψ100 Fˆ K ψ100 4πr 2 dr = 3 ∫e a ⋅ 4πr 2 dr =2πa 0 4πε0 r0()∞∞2r−e2e2e2−xa d  2r  ==eedx. 2 ∫2πε0 a 2 ∫02πε0 a 2 a  2πε0 a 0Можно отметить, что с такой силой электрон взаимодействует с ядром, находясь от него наaрасстоянии r =.23.

Поскольку оператор потенциальной энергии Û = U ( r ) есть оператор умножения на функцию=e2,4πε0 rто среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром в рассматриваемом квантовом состоянии равноU (r ) = −∞< U >= ∫ ψ10002∞∞2r−1e22ˆU ψ100 4πr dr = − 3 ∫e a ⋅ 4πr 2 dr =πa 0 4πε 0 r()∞2ree2 2r  − a  2r =−xe − x dx. e d   = −∫∫4πε 0 a 0  a 4πε 0 a 0 a Отсюдаm0e 4e2< U >= −=−.4πε0 a16π2 ε02 ! 2Задача 1.8. Определите среднее значение кинетической энергии <EK> и среднюю квадратическую скорость vКВ, электрона, находящегося в основном состоянии в атоме водорода.Решение.

Оператор кинетической энергии в квантовой механике имеет видÊK = −!2∆.2m0Учитывая, что атом находится в основном состоянии (n=1, l=0) и ψ=ψ100 , где1ψ 100 =πa 3e−ra,запишем формулу для расчета среднего значения кинетической энергии электрона в виде∞()< EK >= ∫ ψ100 Eˆ K ψ100 4πr 2 dr .0Определим действие оператора ÊK на волновую функцию ψ100: ∂2 2 ∂ ! 2  ∂ 2 ψ 100 2 ∂ψ 100 +ψ=−+ 2 100.2 m0  ∂ r 2r ∂r r ∂r  ∂rВычислив первую и вторую производные ψ100 по r,r−∂ψ1001=−e a;∂rπa 5Ê K ψ100 = −!2!2∆ψ100 = −2 m02 m0r−∂ 2 ψ1001a=−e,∂r 2πa 7находим, чтоÊK ψ100 = −!22m0r 1 2  −a− e .5 arπa1Поэтому∞< EK >= ∫0=−=!22m0 a 2!22m0 a 21πa 3e−ra !2  1−5 2m0  πar 1 2  −a2 −  e ⋅ 4πr dr =a r 1 ∞  2 r  2 − 2 r  2r  ∞  2 r  − 2 r  2 r   ∫   e a d   − 2∫   e a d    = a  0 a  a   2 0  a ∞ ∞ −x!21 2 −x −=xedxxedx.2 ∫2∫ma220 00Таким образом, средняя кинетическая энергия электрона в 1s-состоянии равна!2m0 e 4< EK >==.2m0 a 2 32π2 ε02 ! 2Важно отметить, что с учетом найденного в задаче 1.7 среднего значения потенциальнойэнергии <U> электрона в этом же квантовом состоянии можно доказать, что сумма среднихзначений кинетической и потенциальной энергий равна полной энергии электрона в основномсостоянии.

Действительно,< EK > + < U >=m0 e 4m0 e 4m0 e 4−=−= E1 .32π2 ε 02 ! 2 16π2 ε 02 ! 232π2ε 02 ! 2Средняя квадратическая скорость электронаv КВ!2 < EK >e2= <v >==== 2, 2 ⋅106m0m0 a 4πε 0 !2м/с .Выполненный расчет показывает, что скорость 1s-электрона в атоме водорода составляет около1 % от скорости света в вакууме.Задача 1.9. Определите средний электростатический потенциал, который создает 1sэлектрон в центре атома водорода.Решение. Объемная плотность электрического заряда в электронном «облаке», окружающем ядро атома водорода,ρ Э ( r ) = −e ψ ,где ψ - волновая функция электрона.

Для 1s-электрона1 rψ100 =exp  −  aπa 3иe 2r ρЭ ( r ) = − 3 exp  −  .πa a Пространственное распределение заряда в данном случае обладает сферической симметрией. Поэтому потенциал dφ, который создается в центре атома тонким сферическим слоемэлектронного облака радиуса r и толщины dr, определяется соотношениемρЭ ( r ) 4πr 2 drer 2r =−dϕ =exp  −  .3πε 0 a4πε 0 r a Интегрируя это выражение по всем значениям r от 0 до ∞, находим искомый потенциал в центре атома:2ϕ=−∞∞ee 2r  2r   2r x e − x dx .  exp  −  d   = −∫∫4πε0 a 0  a 4πε0 a 0 a   a Так как∞∞00−x−x∫ x e dx = ∫ e dx = 1,тоϕ=−e.4πε 0 aПодстановка численных значений констант дает ϕ=-27,2 В.Задача 1.10.