Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовые свойства атомов (1076132), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Покоящийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линиисерии Лаймана. Какую скорость приобрел атом? На сколько процентов энергия испущенногофотона отличается от энергии соответствующего перехода в атоме?Решение. Головная линия серии Лаймана соответствует переходу между первым возбужденным и основным состояниями атома водорода. Энергия такого перехода1 1 3∆E = E2 − E1 = !R 2 − 2 = !R.1 2 4εЕсли энергия излученного фотона равна ε, а его импульс p = , то законы сохранения энергииcи импульса в системе «атом - фотон» запишутся в видеmau 2; ∆E = ε +2 ε = m u.a cЗдесь mа - масса атома водорода, а u - скорость «отдачи» атома за счет испускания фотона.Решая записанную систему уравнений, получаем квадратное уравнение относительно искомойскорости u:u 2 + 2cu − 2∆E= 0.maРешая это уравнение, находим скорость атома1∆E 2u = −c + c 1 + 2 .ma c 2 Расчет показывает, что 2∆E<< 1.
Поэтомуma c 21∆E 21 2∆E∆E1+2≈ 1+ ⋅= 1+,2 2ma c 2 ma cma c 2а скорость атома∆E3!R=.ma c 4ma cПодставляя значения физических констант, находим3 ⋅1,05 ⋅10−34 ⋅ 2 ,07 ⋅1016u== 3, 25 м/с .4 ⋅1, 67 ⋅10−27 ⋅ 3 ⋅108Относительное отличие энергии испущенного фотона ε от энергии перехода ΔΕ определяется выражениемu=ma u 2∆E − ε2 ma u 2= 2 =.3∆E3R!!R4Подставляя сюда найденное значение скорости атома u, получаем∆E − ε 3 !R.=∆E8 ma c 2С учетом численных значений входящих в это выражение величин находим∆E − ε= 0 ,55 ⋅10−8 = 5 ⋅10−7% .∆E2. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫВ сложном многоэлектронном атоме каждый из N электронов обладает орбитальным испиновым моментами импульса и соответствующими магнитными моментами, которые взаимодействуют друг с другом.
При этом сложение моментов отдельных электронов в результирующий момент атома для наиболее часто встречающейся у легких атомов связи Рассел - Саундерса (LS - тип связи) осуществляется по схеме.1. Все орбитальные механические моменты отдельных электронов складываются в результирующий орбитальный момент, величина которого(2.1)!L = ! L ( L + 1)определяется квантовым числом L суммарного орбитального момента атома. Число L всегдаявляются целым числом либо нулем.2. Спиновые моменты импульса всех электронов многоэлектронного атома складываются в суммарный спиновой момент(2.2)!S = ! S ( S + 1) .При этом в атомах с четным числом электронов квантовое число S принимает все целые значения от N⋅1/2 (когда спины всех электронов «параллельны») до нуля, если спины электронов попарно компенсируют друг друга.
При нечетном N квантовое число S может принимать все полуцелые значения от N⋅1/2 до 1/2.3. Результирующий момент импульса многоэлектронного атома !J есть результат квантово-механического сложения моментов !L и !S . Его значение определяется по формуле(2.3)! = ! J ( J + 1) .JЗдесь квантовое число J результирующего момента атома может иметь одно из следующих значений:J=L + S, L + S -1, ... , |L - S|.Квантовое число J будет целым у атомов с четным числом электронов (S - целое) и полуцелыму атомов с нечетным числом электронов (S - полуцелое).Проекция результирующего момента импульса атома на выделенное направление z определяется следующей формулой пространственного квантования:(2.4)!Jz = mJ ! .Здесь квантовое число mJ принимает значения mJ=- J, ( - J + 1), ...
, (J - 1), J.Для обозначения квантовых чисел многоэлектронного атома в определенном квантовомсостоянии используется условное обозначение «терма» атома в виде2 S +1где под L подразумевается одна из букв табл. 3.LJТаблица 3L01234…Символ состоянияSPDFG…Символ «терма» содержит в себе сведения о значении трех квантовых чисел L, S и J. Например,для терма 4 D1 2 значения этих чисел L=2, S=3/2 и J=1/2, а для терма 5F2 соответственно L=3, S=2и J=2. Отметим, что число æ=2S + 1 называют м ул ь т и п л е т н о с т ь ю с о с т о я н и я .Квантово-механический расчет в случае LS-связи приводит к следующей формуле длясуммарного магнитного момента многоэлектронного атома:(2.5)µ J = g µ Б J ( J + 1) .e!- магнетон Бора, а множитель2m0J ( J + 1) + S ( S + 1) − L ( L − 1)(2.6)g = 1+2 J ( J + 1)называется множителем, или ф а к т о р о м , Л а н д е .
Из (2.6) следует, что множитель Ланде может иметь значения, меньшие единицы, и даже быть равным нулю (например, в состоянии, когда L=3, S=2, a J=l). Это означает, что суммарный магнитный момент многоэлектронного атомаможет быть равен нулю, даже если суммарный механический момент атома отличен от нуля.При расчетах магнитных моментов атомов полезно помнить, что g=1, если результирующийспин S=0 (J=L), и g=2, если L=0 (J=S).
Проекция суммарного магнитного момента атома на выделенное направление z, в частности на направление внешнего магнитного поля, определяетсяформулой(2.7)µ Jz = g µ Б mJ , mJ = − J ,( − J + 1) ,...,( J − 1) ,J .Здесь µ Б =Поэтому при помещении атома в магнитное поле с индукцией В атом приобретает дополнительную энергию(2.8)∆EJ = gµ Б BmJ = ∆EmJи происходит расщепление его энергетических уровней на 2J + 1 подуровней, равноотстоящихдруг от друга на расстоянии ΔΕ. Это приводит к расщеплению спектральных линий при помещении излучающего атома в магнитное поле. Такое расщепление спектральных линий в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П.
Зееманом и получило название эффекта 3еемана.Наиболее простой случай расщепления спектральных линии в относительно слабом магнитном поле соответствует переходам между уровнями с S=0. Для таких уровней J=L и g=1.Поэтому формула (2.8) принимает вид∆EJ = µ Б BmJ , mJ = 0 , ±1,..., ± L .Для магнитного квантового числа mJ имеется правило отбора, согласно которому возможнытолько такие переходы, для которых ΔmJ=0, ±1, т.
е. число mJ остается неизменным, либо изменяется на единицу. Поэтому, если в отсутствии магнитного поля переход приводит к появлениюспектральной линии на частоте ω0, то при включении магнитного поля кроме линии с частотойω0 появляются еще две симметрично расположенные линии с частотами ω0-∆ω0 и ω0+∆ω0, гдевеличинаµ B eB(2.9)∆ω0 = Б =2m0!называется нормальным смещением частоты. Такой случай расщепления спектральной линии вмагнитном поле на три линии, две из которых отстоят от несмещенной линии на величину нормального смещения ∆ω0, называют простым (нормальным) эффектом Зеемана.В общем случае сложного (аномального) эффекта Зеемана величина смещения ∆ω зависит от фактора Ланде g и структура расщепления спектральных линий усложняется.Примеры решения задачЗадача 2.1.
Вычислите полные механический и магнитный моменты атома, находящегося в состоянии 2D3/2.Решение. Расшифровав терм квантового состояния, находим значения квантовых чисел: L=2,S=1/2, J=3/2.Полный механический момент атома можно определить по формуле (2.3), подставив внее значение квантового числа J. Для J=3/2 получим15кг ⋅ м 2−34!J = ! J ( J + 1) =.! = 2 ,03 ⋅102сЧтобы определить магнитный момент атома, найдем значение фактора ЛандеJ ( J + 1) + S ( S + 1) − L ( L − 1) 4g = 1+= .2 J ( J + 1)5Теперь по формуле (2.5) находим полный магнитный момент атома3Дж.µ J = g µ Б J ( J + 1) = 2⋅ 0 ,927 ⋅10−23 = 1, 44 ⋅10−235ТлЗадача 2.2.
Найдите максимальное значение проекции механического момента на направлениевнешнего магнитного поля для атома, находящегося в состоянии с L=2 и S=3/2, если известно,что магнитный момент атома равен нулю.Решение. В квантовом состоянии с L=2 и S=3/2 квантовое число J не может быть равным нулю.Поэтому из формулы (8.5) следует, что магнитный момент атома равен нулю при равенстве нулю фактора Ланде g. С учетом формулы (2.6) находим, что если ввести обозначение x=J(J + 1),то условие g=0 приводит к соотношению 3х=L (L + 1) - S (S + 1).
Для L=2 и S=3/2 отсюда находим, что x=3/4. Следовательно, в рассматриваемом состоянии атома квантовое число J=1/2.Из формулы пространственного квантования (2.4) следует, что максимальное значение проекции момента импульса атома на выделенное направление соответствует максимальному значению квантового числа mJ, которое равно +J. Поэтому по формуле (2.4) находим!Jzmax = mJmax ! = J ! .1кг ⋅ м 2.! = 0 ,53 ⋅10 −342сЗадача 2.3. Наблюдается простой эффект Зеемана в магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл. Какова должна быть минимальная длина дифракционной решетки, чтобы с ее помощью можнобыло разрешить все расщепленные спектральные линии?Решение.
В случае простого (нормального) эффекта Зеемана при помещении излучающегоатома в магнитное поле с индукцией В кроме основной спектральной линии на частоте ω0 появляются две дополнительные линии, отстоящие от основной на величину нормального смещения∆ω0. По формуле (2.9) величина нормального смещенияeB∆ω0 =.2m02πcИспользуя связь частоты и длины волны излучения ω =, можно пересчитать нормальноеλсмещение спектральных линий на шкалу длин волн по формуле2πc∆ω0 = 2 ∆λ 0 .λ0Следовательно, при наложении магнитного поля кроме основной спектральной линии сдлиной волны λ0 появятся линии, соответствующие длинам волн λ0-∆λ0 и λ0+ ∆λ0 и отстоящиеот основной линии излучения на величинуДля J=1/2 получаем !Jzmax =eBλ 02 .4πm0 cЧтобы разрешить, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
