Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовые свойства атомов, страница 4

е. увидеть раздельно такие спектральные линии после пропусканиясвета через дифракционную решетку, необходимо, чтобы эта решетка имела разрешающую силуλ4πm0 cR= 0 =.∆λ 0eBλ 0С другой стороны, из теории дифракционной решетки известно, что ее разрешающая сила вспектре k-гo порядкаlR=kdзависит от периода дифракционной решетки d и ее длины l. Поэтому, чтобы разрешить спектральные линии зеемановского триплета в k-м порядке спектра, необходима решетка длинойdd 4πm0 cl = RC =kk eBλ 0Отсюда следует, что с ростом порядка спектра k уменьшается длина дифракционной решетки, спомощью которой можно разрешить близкие спектральные линии.При дифракции света на решетке угловое положение спектральных линий определяется поформуле главных дифракционных максимумовπd sin ϕ = k λ , 0 ≤ ϕ ≤ .2Из этой формулы находим, что максимальный порядок спектра, в котором можно наблюдатьdспектральную линию с длиной волны λ0, равен kmax =.

Подставляя это значение в формулуλ0(2.10), получаем для минимальной длины дифракционной решетки значениеd 4πm0 c 4πm0 c=lmin =.k max eBλ 0eBДля магнитного поля с индукцией В=0,2 Тл расчет дает lmin=0,107 м=10,7 см.Задача 2.4. Атом в состоянии 2S1/2 находится на оси кругового тока I=10 А радиуса R0=5 см.Расстояние атома до центра кругового тока z=10 см. Определите силу, действующую на атом состороны магнитного поля тока в вакууме.Решение.

На магнитный момент, помещенный в магнитное поле, направленное вдоль оси z,действует сила∂B(2.11)Fz = µ z.∂z∂B- величина градиента инЗдесь µ z - проекция магнитного момента на направление поля, а∂zдукции магнитного поля, которая характеризует степень его неоднородности.Индукцию магнитного поля на оси кругового тока на расстоянии z от его центра определим по известной формуле магнитостатикиµ 0 IR02(2.12)B (z ) =.22 322 ( R0 + z )∆λ 0 =Здесь I - сила тока, R0 - радиус кругового тока, а μ0=4π⋅10-7 Гн/м - магнитная постоянная в СИ.Дифференцируя (2.12) по переменной z, находим величину градиента индукции магнитного поля∂B 3 µ 0 IR02 z=∂z 2 ( R 2 + z 2 )5 20Для атома формула (2.7) определяет проекцию полного магнитного момента на направление внешнего магнитного поля.

Эта проекцияµ Jz = g µ Б mJ .может принимать 2J + 1 различных значений в зависимости от значения магнитного квантовогочисла mJ.Поэтому для заданного значения магнитного квантового числа на атом, помещенный наоси кругового тока, действует сила3 µ 0 IR02 zFz =g µ Б mJ .2 ( R 2 + z 2 )5 20По условию задачи атом находится в состоянии 2S1/2. В этом состоянии квантовые числа L, S и Jимеют следующие значения: L=0, S=1/2, J=1/2. Поэтому для этого состояния фактор ЛандеJ ( J + 1) + S ( S + 1) − L ( L − 1)g = 1+= 2,2 J ( J + 1)а магнитное квантовое число может принимать два одинаковых по модулю значения mJ=±1/2.На такой атом в магнитном поле кругового тока действует сила, модуль которой3 µ 0 IR02 zFz =µБ .2 ( R 2 + z 2 )5 20Подставляя числовые значения из условия задачи, находим, что на атом действует силаF=2,51⋅10-26 Н.Задача 2.5.

В опыте Штерна и Герлаха пучок атомов серебра в состоянии 2Ρ1/2 движущихся соскоростью v0=250 м/с, пролетает через область поперечного неоднородного магнитного поля∂Bпротяженностью l=5 см с градиентом индукции=100 Тл/м. Определите расстояние между∂zкрайними расщепленными магнитным полем атомными пучками на экране, отстоящем от магнита на расстояние l2=20 см. Силой тяжести пренебречь.Решение.

В области неоднородного магнитного поля на пролетающий атом действует сила,проекция которой на направление магнитного поля z определяется формулой∂B∂BFz = µ Jz.= g µ Б mJ∂z∂zПоэтому после пролета через неоднородное магнитное поле атомный пучок расщепляется на2J+1 пучков, каждый из которых соответствует заданному значению магнитного квантовогочисла mJ из набора значений - J, ( - J+1), … , (J - 1), J. Крайним расщепленным пучкам соответствуют два максимальных по модулю значения mJ=±J. Эти пучки отклоняются в противоположных направлениях (рис. 2).Выделим крайний пучок, в котором отсепарированы атомы, имеющие значения квантовогочисла mJ=J. На атомы этого пучка в области магнитного поля действует сила∂BFz = g µ Б J.∂zПод действием этой силы атомы массой mа приобретают в направлении оси z ускорение∂Bgµ Б J(2.13)F∂za= z =.mamaПоэтому закон движения этих атомов можно записать в виде x = v0t;at 2z.=2Отсюда, исключив время, находим параболическую траекторию движения атомов в магнитномполеax 2z= 2.2v 0Атомы, движущиеся по этой траектории, на вылете из магнитного поля смещаются на расстояниеal12δ1 = 2 .2v 0После пролета магнита атомы движутся по прямолинейной траектории, угол наклона θ которойк первоначальному направлению движения (см.

рис. 2) можно определить из соотношенияdzaltg θ == 21dx x =l1 v 0Пролетая по инерции по прямолинейной траектории до экрана, атомы расщепленного пучкаприобретают дополнительное смещениеal lδ2 = l2tg θ = 12 2 .v0Таким образом, результирующее смещение атомовal1  l1 al+ l2  = 12 (l1 + 2l2 ) .2 v0  2 2v0Поэтому расстояние на экране между крайними расщепленными атомными пучками определяется какal(2.14)∆ = 2δ = 21 (l1 + 2l2 )v0Подставляя в (2.14) значение ускорения а из (2.13), получим∂Bgµ Б J∂z∆=l1 (l1 + 2l2 ) .2ma v 0Массу атома серебра mа можно определить через атомную массу серебра А=108⋅10-3кг/моль и число Авогадро NA=6,02⋅10+23 1/моль по формуле: ma=A/NA.Так как движущиеся атомы находятся в 2Р1/2 состоянии, то для этого состояния квантовые числа имеют значения L=1, S=1/2, J=1/2, а фактор ЛандеJ ( J + 1) + S ( S + 1) − L ( L − 1) 4g = 1+= .2 J ( J + 1)3Поэтому окончательно находим величину смещения крайних атомных пучков на экране в виде∂B2 N Aµ Б∂z∆=l1 (l1 + 2l2 ) .23 Av 0Подставляя числовые значения, после вычислений получаем Δ=1,2⋅10-3·м=1,2 мм.δ = δ1 + δ2 =3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ1. Электрон в атоме водорода находится в квантовом состоянии, описываемом волновой функβrцией вида ψ ( r ) = Ae , где А и β - некоторые постоянные. Определите значения постоянных Α,β и полную энергию электрона Е.14πε 0 ! 21Ответ: A =, β = − , где a =- первый боровский радиус.m0e 2aπa 3m0 e4!2=−.2m0 a32π 2 ε 02 ! 22. В рамках теории Бора решите задачу о спектре атома водорода с учетом движения протона.Указание. Перейдите к системе отсчета, связанной с центром масс системы «электрон - протон».e 4 m0 11Ответ: E = −.2 2 22m0ЭЛ32π ε 0 ! n1 + ПРОТm03. Воспользовавшись приведенными в табл. 2 волновыми функциями, найдите среднее значение<r> расстояния электрона от ядра для 2р-состояния атома водорода с m=0.20πε 0 ! 2.Ответ: < r >= 5a =m0 e24.

Найдите наиболее вероятное расстояние электрона от ядра атома водорода в состоянии 2р.16πε 0 ! 2Ответ: rВЕР = 4a =.m0 e25. Электрон в возбужденном атоме водорода находятся в 3р-состоянии. Определите изменениевеличины магнитного момента Δμl , обусловленного орбитальным движением электрона, приE=−переходе атома в основное состояние.Ответ: ∆µl = −µ Б 2 .6. Вычислите магнитный момент атома в 1F состоянии.Ответ: μJ=3,21⋅10-23 Дж/Тл.7.

Найдите возможные значения проекции магнитного момента на направление магнитного поля для атома в состоянии а) 1D, б) 2Р3/2.Ответ: а) μJz=0, ± μБ, ±2μБ;2б) µ Jz = ± µ Б , ±2µ Б .38. Найдите величину расщепления энергетического уровня, соответствующего терму 1D, в магнитном поле с индукцией В=1,5 Тл.Ответ: ΔΕ=3,5⋅10-4 эВ.9. На сколько подуровней расщепится в магнитном поле с индукцией В=1 Тл терм с L=3 припростом эффекте Зеемана? Какова разность энергий крайних расщепленных энергетическихуровней?Ответ: На 7 подуровней. ΔΕmax=3,45⋅10-4 эВ.10. Найдите минимальное значение индукции В магнитного поля, при которой спектральнымприбором с разрешающей силой RC=105 можно разрешить все компоненты спектральной линииλ0=536 нм при ее расщеплении в простом эффекте Зеемана.Ответ: В=0,4 Тл.11. Пучок атомов натрия в состоянии 2S1/2 вылетает из печи, температура которой Т=700 К.

ПуdBчок расщепляется в поперечном магнитном поле с градиентом индукции=500 Тл/м на путиdzl1=10 см. Экран удален от магнита на расстоянии l2=65 см. Найдите расстояние между расщепленными пучками на экране.dB l1 (l1 + 2l2 )Ответ: ∆ = 2µ Б= 2 ,1⋅10−2 м .dz3kTСПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991.2. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: БИНОМ, 1998.3. Мартинсон Л. К. Методические указания к решению задач по курсу общей физики.

Разделы«Элементы квантовой механики», «Физика твердого тела». М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1983.4. Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Уравнение Шредингера. Стационарные задачи квантовой механики». М.: Изд-воМГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2002.5. Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Измерение физических величин в квантовых системах». М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2002.6. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 5. М.: Наука; Физматлит, 1998.7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Атомная и ядерная физика. Ч. 1. М.: Наука, 1986.8. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачи по физике. М.: Высш. шк., 1988..