Лекци@30-Статистические_закономерности [Режим совместимости] (Лекции по ТД Рыжков (PDF))

Лекции по термодинамикедоцент каф. Э6, ктн Рыжков С.В.Э6нергомашиностроение.Лекция №30Статистические закономерности• Уравнение состояния• Идеальный газ• Смеси идеальных газов• Барометрическая формула• Коэффициент теплового расширения и другие коэффициенты• Случайные события• Соединения• Биномиальное распределение• Распределение Пуассона• Распределение Гаусса• Распределение Масквелла• Распределение Больцмана• Распределение Гиббса• Вероятность флуктуации• Энтропия и информацияУРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯДля любого вещества между давлением Р, температурой Т и объемом вещества V существует связь,которая называется уравнением состояния Р = Р (T,V).1.1. Идеальный газДля идеального газа уравнение состояния имеет видPV = ν RT , ν =NM=NA µ(1.1)Это известное уравнение Клапейрона, которое было получено на основании экспериментальных результатов.Здесь v - число молей газа, N - количество молекул, NА = 6,02 · 1023 1 / моль - число Авогадро, М - масса газа,m- молярная масса, R - универсальная газовая постоянная, равная 8,З1107 эрг/(мольК) = 8,31 Дж/(моль К).Преобразуем выражение (1.1), используя число частиц в единице объема n = N/V и постоянную БольцманаkБ = R/NA = 1,38 ·10-23 Дж/К.

ПолучимP = nkT .(1.2)Это - другой вид уравнения Клапейрона.Существование уравнения состояния может быть пояснено с молекулярной точки зрения. Движение молекулприводит к их соударениям со стенками сосуда, на которые газ оказывает давление из-за изменения импульсамолекул, т.е. давление получается из-за наличия у молекул импульса.

Температура же зависит от среднейкинетической энергии молекул. Так как для каждой молекулы существует связь между импульсом и энергией,то при усреднении этих величин по большому количеству молекул появится связь между давлением итемпературой, то есть уравнение состояния. При этом, конечно, проявляются и индивидуальные свойствакаждого вещества, такие, как взаимное притяжение молекул, их способность объединяться, т.е.конденсироваться, превращаться из газа в жидкость и так далее.Покажем, как получается уравнение состояния на примере вывода уравнения Клапейрона, то есть дляидеального газа.

Этим названием определяется газ, в котором взаимодействие между молекулами настолькомало, что в течение большей части времени движения им можно пренебречь. Такое пренебрежениедопустимо при достаточной разреженности газа.2Найдем силу F, которую создают молекулы идеального газа при упругом отражении отнебольшой площадки S, расположенной по нормали к координатной оси X.

За малое время t площадкудостигнут все молекулы, расположенные от нее на расстоянии Vx, где Vx -проекция скорости частиц на ось X.В объеме S ∆t Vx содержится nS ∆t Vx молекул, где п - число частиц в единице объема. Но только половинапопадет на площадку, так как другая половина будет двигаться в противоположную сторону из-заравновероятности направлений. При упругом отражении каждая молекула передаст площадке импульс 2т Vx,а все попавшие на нее молекулы за время ∆t создадут импульс mnS ∆t V.

Эта величина согласно второмузакону Ньютона равна F ∆t. Следовательно, для давления, которое равно Р = F/S,получим Р = mnVx2 . Такой результат получен для случая, когда скорости всех молекул равны. На самом деле,согласно распределению Максвелла, они разные, поэтому вместо квадрата скорости следует использоватьсреднее значение квадрата скорости всех молекул:(1.3)2P = mn〈V 〉.Молекулы движутся не только вдоль X, но и по направлениям Y и Z В этом случае квадрат модуля скорости V2= Vx 2 + Vy 2 + Vz 2. Так как все направления равновероятны, то средние квадраты проекций скоростей равны<Vx 2> = <Vy 2> = <Vz 2> Следовательно, <V 2> = 3<Vx 2>.

Подставив это выражение в (1.3), получим2 m〈V 2 〉 2= nEk .P= n323(1.4)Согласно этому уравнению давление идеального газа пропорционально средней кинетической энергиимолекул2Ek =m〈V 〉.2Сопоставляя (1.4) с формулой (1.2), получим соотношение между средней кинетической энергией молекул итемпературой:2m〈V 〉 3= kT .22(1.5)31.2.

Смеси идеальных газовДля решения задач о смесях идеальных газов необходимо использование закона Дальтона: давление смесигазов равно сумме парциальных давлений каждого газа в том же объеме. Очевидно, что закон Дальтонасправедлив только для идеального газа, в котором молекулы по-прежнему не взаимодействуют между собой приуменьшении расстояния между ними в смесях.1.3. Барометрическая формулаВ качестве примера использования уравнения Клапейрона приведем вывод барометрической формулы,которая неоднократно будет использоваться при изучении курса термодинамики.Выделим горизонтальный слой воздуха толщиной dz.

Давление выше этого слоя из-за тяжести будетменьше на величину pgdz, где р = M/V — плотность газа. Откуда получаем dP = - рgdz . Подставляя выражениеплотности из формулы Клапейрона, получимdPµg=−dzPRTДля интегрирования этого выражения необходимо задать зависимость температуры воздуха от высоты. Пустьона будет постоянной, равной Т0.Интегрируя, получим барометрическую формулу µ gz  ρn PP = P0 exp  −= =; RT0  ρ0 n0 P0(1.6)Здесь индексом "О" отмечены параметры при z = 0. Вычислим высоту атмосферы, на которой давление падает в"е" раз.

Обозначая ее"Н" получим, Н=RT/(µg) = 8 км.Отметим, что такая же величина получается для высоты однородной атмосферы, которая создает то же давлениеу поверхности Земли, что и рассмотренная неоднородная.Атмосфера Земли сохраняет постоянный состав примерно до высоты 100 км из-за вертикальногоперемешивания газов. Если бы перемешивания не было, то доля легких газов возрастала бы с высотой.41.4.

Коэффициент теплового расширения и другие коэффициентыОпределение уравнения состояния вещества - это трудная экспериментальная задача. Поэтому частоограничиваются отысканием уравнения состояния при малых изменениях параметров, например, Р и Т. Дляэтого пользуются понятиями о коэффициентах, которые определяются частными производными однихпараметров состояния по другим. Уравнение состояния при этом превращается в связь между коэффициентами.Коэффициент объемного расширения позволяет определить изменение объема тела от нагревания припостоянном давлении 1  ∂V (1.7)αν =   . V  ∂T  pПри постоянной величине аV получимV= Vо(1 + аV∆Т).(1.8)Здесь Vо - начальный объем тела, ∆T - приращение температуры. Индекс "v" при коэффициенте тепловогорасширения обозначает, что здесь он относится к объемному расширению, так как существует еще коэффициентлинейного расширения аL.

Можно ввести также коэффициент расширения площади а . Между этимикоэффициентами существует простая связь:a = 3a ,а =2a.SVLSL5Раздел 2Все физические величины в термодинамике с молекулярной точки зрения имеют смысл средних значений, таккак получаются в результате действия огромного числа молекул.

Такими являются и давление, и температура, иплотность всех веществ. Во многих случаях реальные вещества можно рассматривать как сплошные среды, ноэтого достаточно не всегда. Например, такие явления, как броуновское движение небольших частиц илипроцессы обогащения изотопов урана при прохождении их в газообразном состоянии через пористыеперегородки могут быть объяснены только с использованием молекулярных представлений. Эти и многиедругие явления подчиняются статистическим или вероятностным закономерностям. Отметим некоторыеважные положения теории вероятностей.2.1.

Случайные событияСобытие называется случайным, если оно может как произойти, так и не произойти. Обычно такое имеетместо, когда на результат оказывают влияние множество различных явлений, учесть которые практическиневозможно. Например, при бросании монеты с быстрым вращением вокруг диаметра трудно предсказатьчисло оборотов до падения, а еще труднее рассчитать все процессы ее остановки при взаимодействии спреградой, так что заранее не известно, что выпадет - орел или решка (решетка), каждое из событий являетсяслучайным.Вероятностью события называется отношение числа благоприятных событий к общему их количеству. Есливозможность осуществления двух событий одинаковая, то они являются и равновероятными.

Естественно, чтосумма вероятностей всех возможных событий равна единице.Например, при бросании монеты возможны всего два события - выпадение или орла, или решки. Если ониравновероятны, то вероятность каждого равна, очевидно, 1/2. Для этого, конечно, монета должна иметьсимметричную форму и центр ее массы должен совпадать с геометрическим центром. Используя свойствасимметрии и однородности, можно во многих случаях еще до опыта установить так называемую априорнуювероятность того или иного события.Опытная вероятность устанавливается по большому числу испытаний N, при условии N » п, где п - числоблагоприятных событий. Можно указать предельное соотношениеP = li mN → ∞n.N(2.1)6Отметим важное свойство независимых случайных событий: вероятность одновременного появлениянескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей.2.2.

СоединенияПерестановками из N элементов называются их соединения, отличающиеся друг от друга только порядкомвходящих в них элементов. Например, перестановки из трех элементов а, b, с : abc, bca, cab, cba, bac, acb.Число всех перестановок из N различных элементов равно N !.Размещениями А N n из N элементов по п называются такие их соединения, которые различаются друг отдруга самими элементами или их порядком. Например, размещения из 3 элементов а, b, с по 2: ab, ас, be,bа, са, cb.

Число всех размещений из N по пANn =N!.( N − n)!(2.2)Сочетаниями из N элементов по п называются их соединения, различающиеся друг от друга только самимиэлементами. Например, сочетания из трех элементов а, b, с по 2: ab, ас, be. Число всех сочетаний из Nnразличных элементов по п (обозначается C N ):C Nn =Отметим, чтоC Nn = C NN − nN!.n !( N − n)!Кроме того:(2.3)CN0 = CNN = 1и 0!=12.3 Биномиальное распределениеP=P=N!p N1 q N2N1 ! N 2 !N!p n (1 − p ) N − nN1 !( N − n)72.4. Распределение ПуассонаПреобразуем биномиальное распределение к виду, удобному для предельного перехода к большим N. Заменимпараметр вероятности р = <n>/N и введем более простое обозначение для среднего значения п0 = <п> , то естьиспользуем р = п0/N.