Лекци@30-Статистические_закономерности [Режим совместимости] (Лекции по ТД Рыжков (PDF)), страница 3

В таблице приведено соответствиезаписей в десятичных единицах и в двоичной системе.Любое число записывается последовательностью нулей и единиц. В таблице приведено соответствиезаписей в десятичных единицах и в двоичной системе.0= 04=1008=100012=110016=100001=15=1019=100113=110117=100012=106=11010=101014=111018=100103=117=11111=101115=111119=10011Вероятности Рi букв в русском алфавитепробел0,175р0,040я0,018х0,09о0,090в0,038ы0,016ж0,007е,ё0,072л0,035з0,016ю0,006а0,062к0,028ь,ъ0,014ш 0,006и0,062м0,026б0,014цт0,053д0,025г0,013щ 0,003н0,053п0,023ч0,012эс0,045у0,021й0,010ф 0,0020,0030,003162.7.

Статистическое и термодинамическое определение энтропииВ термодинамике бесконечно малое изменение энтропии dS определяется для обратимых процессовформулой dS=δQ /T, где δQ - бесконечное малое количество теплоты, Т - абсолютная температура. Приизменении объема идеального газа и одной и той же температуре, то есть при Т1=Т2, используя первое началотермодинамики, для разности энтропии в Разделе 9 получено:S1 –S2= N k ln(V2/V1)(2.18)Здесь N — число молекул, k — постоянная Больцмана, V и V — начальный и конечный объем газа.Соотношение между энтропией системы в некотором состоянии и вероятностью того же состоянияопределяется формулой Больцмана:S = k In W,(2.19)12где W — число возможных вариантов осуществления данного состояния газа. Величина W называетсястатистическим весом.Если число вариантов равно N и все они равновероятны, то W= N.

Кроме того, вероятность каждогоР = 1/N, поэтому в данном случае W = 1/Р. При таком условии формула Больцмана совпадает синформационной энтропией, выраженной в термодинамических единицах (2.14).17Раздел 3РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛАРаспределение Максвелла используется для определения числа молекул, имеющих определенные значения каккомпонент, так и абсолютных значений скоростей. Кроме того, различаются распределения для одно-, двух- итрехмерных случаев.

Основным является соотношение для одномерного распределения по компонентамскорости, которое может быть получено из распределения Гаусса. Это распределение применимо, когда имеетсябольшое количество независимых случайных величин. Скорости огромного числа молекул газа удовлетворяютэтому условию. Обозначим N0 - полное количество молекул, dN - число молекул, имеющих проекции скорости винтервале v х , v x + dv x , получим− vx2dN (vx )12=e 2σ dvxN02πσ(3.1)Здесь учтено, что среднее значение скорости vx равно нулю, так как и в положительном, и в отрицательномнаправлениях оси х движется равное число молекул.

Параметр σ является среднеквадратичным значениемслучайной величины, в данном случае σ2=< v2x >. Для определения < v2x > используем связь этой величины стемпературой аналогичную (1.5). Из (1.1) и (1.2) получим: т < v2x > /2 = kT / 2. Отсюда находим <v2x > иподставляем в (3.1) вместо σ2:dN (vx )m=eN02π kT− mvx22 kTdvx .(3.2)3.1.

Распределение вероятностей для компоненты скоростиСоотношение (3.2) является распределением Максвелла доя компоненты скорости vx (одномерноераспределение). Напомним значение использованных в нем параметров: т - масса молекулы, kБ - постояннаяБольцмана, T- абсолютная температура.18При этом скорости молекул по направлениям у и z могут быть любыми. Очевидно, что в интервале скоростейот -∞ до +∞ содержатся все N0 молекул газа, поэтому интеграл от правой части (3.2) по всем возможнымскоростям молекул должен равняться единице. Сделаем такую проверку.m2π kT+∞∫e− mvx22 kTdvx =−∞1π+∞−xe∫ dx.2(3.3)−∞Здесь была сделана очевидная замена переменных и вычисления свелись к определению интеграла, которыйназывается интегралом Пуассона.3.2.

Распределение вероятностей для абсолютной величины скоростиРассмотрим теперь распределение Максвелла в трехмерном случае. Будем считать, что распределенияскоростей молекул по направлениям у и z такие же, как и для направления х, поскольку все направленияравноправны и ничем не выделены.Если рассматривать движение по направлению у части молекул dN(vx), скорости которых по направлению хлежат в интервале vx ,vx + dvx, то только у некоторой доли таких молекул скорости по направлению у находятся винтервале vy, vy + dvy. Эта доля равна dN (vy ) / No =φ (vy )dvy . По направлению оси z соответствующая частьмолекул будет составлять величину dN (vz) / No = φ (v z )dv z. Поскольку вероятность совпадения независимыхсобытий равна произведению вероятностей, то в интервале скоростей dvxdvydvz будет находиться часть молекул,равная произведению соответствующих вероятностей:dN= ϕ (vx )ϕ (v y )ϕ (vz )dvx dv y dvzN032 m  −= e2kTπm ( vx2 + v y2 + vz2 )2 kTdvx dv y dvz .(3.4)19Это распределение удовлетворяет условию нормировки, так как здесь три раза использовано одномерноераспределение, каждое из которых нормировано (то есть интеграл по всем возможным скоростям от минусбесконечности до плюс бесконечности равен единице).Для определения распределения Максвелла по абсолютной величине скорости удобно использовать фазовоепространство скоростей vx, vy, vz.

Вместо элемента объема такого пространства dvxdvydvz , использованного впредыдущей формуле, для получения распределения, зависящего только от абсолютного значения скоростей,возьмем объем сферического слоя 4πv2dv, где v2 = vx2 + vy 2 + vz 2. Скорости из этого слоя равны по величине.Для нахождения числа молекул, скорости которых лежат в интервале v, v + dv, нужно подставить объемсферического слоя вместо элементарного объема dvxdvydvz.Получим322mvdN m  2 − 2 kTdv= 4π  veπ2N0kT(3.5)Эту формулу можно также представить в следующем виде:322mvdN m  2 − 2 kT= F (v) dv, F (v) = 4π  veN02kTπ(3.6)Здесь F(v) - функция распределения Максвелла для абсолютной величины скорости в трехмерном случае. Онаудовлетворяет условию нормировки∞∫ F (v)dv = 10Рассмотренный вывод поможет облегчить запоминание сложной формулы и показывает происхождение20множителя v2.3.3.

Двумерное распределение МаксвеллаПолучим распределение Максвелла для абсолютного значения скорости молекул в двумерном случае, когда онаопределяется только скоростями vx и vy: v ² = v 2x + v 2у.Сначала напишем распределение Максвелла для компонент скорости в двумерном случае. Повторяярассуждения, проведенные для трехмерного варианта, получим−dNm= ϕ (vx )ϕ (v y )dvx dv y =eN02π kTm ( vx 2 + v y 2 )2 kTdvx dv y .Вместо фазового объема dvx, dvy (можно считать, что это фазовая площадь) в плоскости vx , vy используемплощадь кольца 2nvdv и подставим это соотношение в полученное выражение. В результате найдем искомоераспределение:2dN m − 2mvkT=e vdv.N 0 kT(3.7)3.4. Распределение вероятностей для энергии молекулВместо распределения вероятностей для скоростей молекул иногда удобно рассматривать распределение для ихкинетической энергии ε.

Например, при сравнении распределения Максвелла с другими распределениями,которые выводятся для энергии частиц.Основой для получения искомого распределения служит соотношение f(ε)d ε = F(v)dv . Оно основано натом, что число молекул, имеющих скорости в заданном интервале скоростей, равно числумолекул, имеющих кинетические энергии в соответствующем интервале энергии, так как скорость иэнергия связаны между собой: ε = mv2/2. Отсюда получим связь между интервалами скорости и энергии:d ε = mvdv . Теперь сделаем подстановку в распределение для абсолютного значения скорости.21ПолучимdN= f (ε ),N0 dε 1 f (ε ) = 2π  π kT 32ε e−εkT(3.8)3.5. Перетекание газа через очень малое отверстиеРассмотрим явление нагревания газа, вытекающего через очень малое отверстие. Для этого процессасущественное значение имеет то, что скорости молекул в сосуде имеют разные величины.

Знаяраспределение молекул по скоростям, можно вычислить как температуру вытекающего газа, так инеобходимый подвод тепла к газу в сосуде для поддержания его постоянной температуры.Для решения такой задачи нужно знать число молекул, падающих в единицу времени на небольшуюплощадку, размеры которой меньше длины свободного пробега. Это число для единицы площади равно nv/4,где п - число молекул в единице объема, имеющих скорость v.3.6. Пределы применимости распределения МаксвеллаМаксвелловское распределение скоростей основано на классической статистике и поэтому оно справедливо,если квантово-механическими эффектами пренебречь. Это можно сделать в случае, если расстояния междуобъектами L велики по сравнению с их дебройлевской длиной волны λ = h/p, гдеh = 6,6-1027 эргc - постоянная Планка, р = mv - импульс, который можно оценить, например, по наиболеевероятной скорости молекул.v=Окончательно получимλ=2kTmh2mkTТипичные расстояния L между молекулами можно оценить по их концентрации:L=3V1=3Nnгде V- объем газа, N - число молекул, п - их количество в единице объема.Условие применимости классического приближения можно записать в виде следующих неравенств: L »λ,1h>>n2mkT322To есть оно применимо, если газ достаточно разрежен, температура его велика, а масса молекул не слишкоммала.Рассмотрим гелий при нормальных условиях.

Вычислим для него L и λ.P1, 013 ⋅106n=== 2, 7 ⋅1019 см -3−16kT 1,38 ⋅10 ⋅ 2731L = 3 = 33 ⋅10−8 см,nh6, 6 ⋅10−27λ=== 0,93 ⋅10−8 см2mkT42⋅⋅1,38 ⋅10−16 ⋅ 27323  6, 02 ⋅10 Расстояние между молекулами оказалось в 35 раз больше, чем длина волны де Бройля, поэтомуприблизительно можно считать, что классическое рассмотрение применимо. Однако для молекул с меньшимискоростями, например, у которых скорость в сто раз меньше (10 м/с), чем наиболее вероятная (1,06 км/с),распределение Максвелла уже неприменимо.Для таких молекул длина волны де Бройля больше расстояния между ними, и молекулы уже не могутрассматриваться как независимые частицы, которые двигаются по определенным классическим траекториям.Таким образом, квантовые явления ограничивают применение распределения Максвелла для медленныхчастиц.Распределение ограничено и для очень быстрых частиц.