Мущанов В.Ф., Жук Н.Р. - Конспект лекций - Строительная механика, страница 3

Вектор внешних нагрузок Р для сооружения вцелом, в общей системе осей координат и векторы преобразований вне узловых нагрузокк узловым для КЭ в местных системах осей координат Si0 имеют вид 0  − 50,40−P= 0 − 300 S 1 = 0,00050 0=S 2 40,030S0=0.3 0Матрицы жесткости для КЭ в местной системе осей координат составляютсяследующим образом. Матрица жесткости для первого элемента имеет размерность 3х3,т.к. три перемещения связанные с узлом 1 равны нулю, поэтому из матрицы для элементас двумя жесткими узлами вычеркиваем три первых строки и три первых столбца.

Длявторого элемента матрица жесткости имеет размер 5х5. Для третьего 2х2. Локальная(местная) система осей координат связана с отдельным элементом, ось X направленавдоль стержня от начального узла к конечному, а ось Y нормально к ней. EA l'=r1  0 0012 EJl36 EJ− 2l 2,500 6 EJ  − 2  =  0 0,1875 − 0,375l 1 4 EJ   0 − 0,375l 000−50 500,0940,3750 − 0,094'r 2 =  0 0,375 1,5 0 − 0,3750050 − 5 0 − 0,094 − 0,375 00,094 r'30 2=0 0,003Матрицы направляющих косинусов, имеют ту же размерность, что и матрицыжесткости: для первого элемента 3х3, для второго 5х5, для третьего 2х2. Поворотэлементов осуществляется против часовой стрелки, вокруг начального узла изгоризонтального положения до положения как в конструкции.

В нашем случае ϕ1=900,ϕ2=00, ϕ3=1270. Матрицы направляющих косинусов записываются cos ϕ sin ϕ[ с] 1 =  − sin ϕ cosϕ 000  0 1 0 0 = − 1 0 01  0 0 1− 0,6 0,8  − 0,8 − 0,6[ с] 3 = 10[ с] 2 = 00001000001000000100010Матрицы жесткости отдельных элементов в общей системе осей координатвычисляют по формуле[ r ] i = [ c] iT [ r ] i' [ c] iгде [ с] i - транспонированная матрица направляющих косинусов для i-того элемента.После перемножения соответствующих матриц, получаемT0,1875 0 0,375r1 =  0 2,5 0  0,375 01 r 0,7219 − 0,9586=− 0,9586 1,2811 3 5 0r 2 =  0− 5 000 ,0940 ,3750− 0,09400,3751,50− 0,375−500500 − 0 ,094 − 0 ,375 0 0 ,094 Матрица жесткости сооружения в целом формируется из блоков матриц жесткостиотдельных элементов следующим образом:r31, 3 + r32,3r=2 r4 ,3−500,37505,1875 0− 0,094 2,5940,37502r3, 4− 0,375 2,50 =  0,375 0,3752r4 ,4 + r43,4  005,7219 − 0,9586 −5 0− 0,094 − 0,375 − 0,95861,375 где r31,3 - блок реакций, возникающих за счет упругих свойств первого элемента, в связяхналоженных на третий узел, от единичных смещений этих же связей и т.д.После обращения матрицы r по известным стандартным процедурам, векторперемещений Z определяется по формуле0,1384 4,306 0,13840,3987Z = r −1 P = − 0,2302 − 0,06460,1388 4,2502 2,910,10632,91   0 − 0,2302 4,25020,1063   − 50− 0,0646 0,1318 0,44− 0,2058 − 0,0279 *  − 40 = 3,0168   0 − 0,2058 4,39422,8301   − 30− 0,0279 3,0168 − 85,01− 20,54  − 13,53  − 89,21 − 89,1 Векторы узловых усилий в стержнях в общей системе осей координат вычисляемпо формулеS i = ri ⋅ Z i ,в результате вычислений имеем : − 21 S1 =  − 51,35 − 45,4  21  1,35 ,54S2 = − 21 − 1,35 21 S3 = − 28,63Усилия в узлах конечных элементов в местной системе осей координат, с учетомвекторов преобразований нагрузок, определяютсяS i' = ci ⋅ S i + S i0 ,в нашем случае, в результате вычислений имеем − 51,35S =  21  − 45,4 '1 21 51,35S 2' =  45,4  − 21 28,65− 35,5S 3' =  0,38 Имея векторы усилий в местной системе осей координат, прикладываем их ксоответствующим узлам отдельных элементов и строим эпюры внутренних усилий.Эпюры внутренних усилийДля выполнения статической проверки, покажем расчетную схему рамы сзаданными нагрузками и опорными реакциями.

Направления и величины опорныхреакции определяем по эпюрам.αУсловия статического равновесия записываются21 + 0.38 sinα - 35.5cosα = 0;∑ Х = 0,∑ Y = 0,∑ M = 0,B51.35 + 0.38 cosα + 35.5 sinα -q · 4 = 0;q · 4 · 5 - 51.35 · 7 - 38.6 - 35.5 = 0.ПриложениеФормирование матрицы жесткости плоского треугольного конечногоэлемента в локальной системе осей координатДля расчета конструкций, испытывающих плоское напряженное состояние,плоский треугольный конечный элемент явяляется одним из наиболее удобных типовконечных элементов, т.к. позволяет наиболее просто и удобно получить на конструкциисетку узлов требуемой густоты.Рассмотрим процесс формирования матрицы жесткости плоского треугольного 3-хузлового конечного элемента с узлами i, j, m, обозначенными в направлении обходапротив часовой стрелки.y1mxmviymiuijx1К построению матрицы жесткости треугольного КЭСмещения в узле имют 2 компонента - ui и vi.

Тогда вектор узловых смещенийэлемента может быть представлен как{z} e ui v  iu = jv j u m  v m (1)Самое простое представление смещения u и v точек с координатами x и y внутриэлемента через смещения узловых точек может быть получено на основе использования2-х линейных многочленов:u = α 1 + α 2 x + α 3 y,v = α 4 + α 5x + α 6 y(2)Постоянные α1 − α6 можно получить, решая две системы из 3-х уравнений, введякоординаты узлов и приравняв их смещения соответствующим узловым смещениям:ui = α 1 + α 2 x i + α 3 yi ;vi = α 4 + α 5 x i + α 6 yi ;uj = α 1 +α 2x j +α 3yj ;v j = α 4 + α 5x j + α 6 y j ;um = α 1 + α 2 x m + α 3 y m ;(3)vm = α 4 + α 5 xm + α 6 ym .Подставив решения систем (3) в выражения (2) окончательно получим выражениядля u и v[[()()]]1(a i + bi x + ci y)ui + a j + b j x + c j y u j + ( a m + bm x + cm y)um ,2∆1v=( a i + bi x + ci y)v i + a j + b j x + c j y v j + ( a m + bm x + cm y)v m ,2∆где ∆ - площадь треугольника,a i = x j y m − x m y j ; bi = y j − y m ; c i = x m − x j .u=(4)Коэффициенты aj, bj, cj, am, bm, cm можно получить циклической перестановкойиндексов в последовательности i, j, m.Относительная деформация в любой точке элемента определяется с помощью трехкомпонентов, вносящих вклад во внутреннюю работу, которая с помощью уравнений (4)может быть записана как ∂u  ε x   ∂x bi 0 b j1    ∂v {ε} =  ε y  =  ∂y  = 2 ∆  0 ci 0γ  ci bi c j xy   ∂u ∂v  ∂y + ∂x 0cjbjbm 0  ee0 cm { z} = [ B ]{ z}cm bm (5)Учитывая, что для треугольного элемента постоянной толщины общее выражениедля матрицы жесткости может быть упрощено, т.е.[ k ]e = ∫ [ B] T [ D][ B] dV = [ B] T [ D][ B]t∆(6)Vи учитывая, что матрица упругости ( закона Гука) для случая плоского напряженногосостояния имеет вид0 1 µE[ D] = 1 − µ 2 µ 1 0 0 0 1− µ 2 (7)окончательно выражение для матрицы жесткости плоского треугольного элемента имеетвид:[k]e=(Et4∆ 1 − µ 2) k 11k 21 k 31 k 41 k 51 k 61k 12k 22k 32k 42k 52k 62k 13k 23k 33k 43k 53k 63k 14k 24k 34k 44k 54k 64k 15k 25k 35k 45k 55k 65k 16 k 26 k 36 k 46 k 56 k 66 (8)гдеk 11 = bi2 + ci21− µ1− µ 1− µ; k 12 = k 21 = bi ci  µ +; ; k 13 = k 31 = bi b j + ci c j22 21− µ1− µ1− µ; k 15 = k 51 = bi bm + ci c m; k 16 = k 61 = bi c m µ + ci bm;2221− µ1− µ1− µk 22 = ci2 + bi2; k 23 = k 32 = b j c j µ + bi c j; k 24 = k 42 = ci c j + bi b j;2221− µ1− µ1− µk 25 = k 52 = bm ci µ + bi c m; k 26 = k 62 = ci c m + bi bm; k 33 = b 2j + c 2j;2221− µ 1− µ1− µk 34 = k 43 = b j c j  µ +; k 36 = k 63 = b j c m µ + bm c j; ; k 35 = k 53 = b j bm + c j c m2 221− µ1− µ1− µk 44 = c 2j + b 2j; k 45 = k 54 = bm c j µ + b j c m; k 46 = k 64 = c j c m + b j bm;2221− µ1− µ22 1− µ; k 56 = k 65 = bm c m  µ +.k 55 = bm2 + c m2 ; k 66 = c m + bm22 2Использование полученной матрицы жесткости в дальнейших конечноэлементных операциях ничем не отличается от использования матрицы жесткостистержневого конечного элемента.

Естественно, результатом расчета в этом случае будутусилия соответствующие компонентам перемещений, указанным на Рис. , т.е.N x ,1 , N y ,1 , N x ,2 , N y ,2 , N x ,3 , N y ,3 , которые могут быть преобразованы к напряжениям в центреk 14 = k 41 = bi c j µ + b j ci()тяжести конечного элемента σ x ,σ y ,τ xy ..