Мущанов В.Ф., Жук Н.Р. - Конспект лекций - Строительная механика, страница 2

Между собой КЭ могут соединятьсяжестко или с помощью шарнира. Точки соединения элементов в МКЭ называютузловыми или узлами.Т.е. основную систему (дискретную модель) МКЭ получают, разбивая заданнуюсистему на отдельные прямолинейные элементы, имеющие постоянную жесткость подлине.

При наличии в системе криволинейных стержней или стержней с переменнойжесткостью, их, с достаточной степенью точности, разбивают на участки, в пределахкоторых стержни считают прямолинейными, с усредненной постоянной жесткостью.Кроме того, алгоритм МКЭ требует, чтобы все внешние нагрузки, действующие насооружение, были приложены к узловым точкам ее дискретной модели. Поэтому, точкиприложения сосредоточенных сил делают узловыми, а нагрузки распределенные по длинестержня, преобразуют к узловым.Для преобразования вне узловой нагрузки к узловой используют таблицы методаперемещений (см.

рис. б).В узлах, где отдельные элементы соединяются между собой жестко, имеется тринеизвестных перемещения, в шарнирных узлах – два. Следовательно, количествонеизвестных МКЭ можно определить:n = 3nж.уз. + 2nш.уз .Положительные направления и порядок нумерации неизвестных принимаемследующийДискретная модель сооружения в целом, которая связывается с общей системойосей координат, характеризуется n параметрами перемещений Zi и узловых силовыхвоздействий Pi , составляющих векторы Z1 Z  2{Z } =  ⋅   ⋅  Z n  P1 P  2{P} =  ⋅  ⋅ Pn Каждый конечный элемент связан с местной системой осей координат ихарактеризуется своими параметрами узловых перемещений {V} и соответствующимиузловыми усилиями {S}’. Кроме того, для элементов, в пределах которых вне узловаянагрузка преобразуется к узловой, формируют векторы грузовых усилий {So}.В разрешающем уравнении МКЭ[r]{Z}={P},матрица [r], которая называется матрицей жесткости сооружения в целом, формируетсяиз матриц жесткости отдельных элементов.Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координатМатрица жесткости КЭ в местной системе осей координат [r]j’ устанавливает связьмежду единичными перемещениями и усилиями в узловых точках, для горизонтальнорасположенного элемента.Как уже отмечалось, основная система МКЭ представляет собой совокупностьотдельных стержней, которые соединяются между собой жестко или с помощьюшарнира.Следовательно, все многообразие КЭ можно свести к трем типам элементов:а) элемент с двух сторон ограниченный жесткими узлами, такой элемент имеетшесть степеней свободы, т.е.

неизвестными являются шесть возможных перемещенийузловых точек элементаб) элемент с одной стороны ограниченный жестким узлом, а с другой шарнирным,такой элемент имеет пять степеней свободыг) элемент с двух сторон ограниченный шарнирными узлами, такой элемент имеетчетыре степени свободыРассмотрим формирование матриц жесткости для показанных выше трех типовКЭ, в местной системе осей координат.Для элемента с шестью степенями свободы (тип а) матрица жесткости будет иметьвид r11' r21' ⋅ r16'  'r21 r22' ⋅ r26' ’[r] j =,..

. .  '''  r61 r62 . r66 где r12’ - реактивное усилие в связи 1 от единичного перемещения связи 2 и т.д.В блочном виде матрица [r]jэ будет иметь видrнн'[r]j =  'rкнrнк' , rннrкк' ’где rнк’ - блок реакций в связях, наложенных на начальный узел, от единичныхперемещений связей, наложенных на конечный узел КЭ и т.д.Численные значения реакций будем определять используя таблицы методаперемещений. Знак реакций будет положительным, если направление реакций совпадает сположительным направлением перемещений Vj.1.Формирование матрицы жесткости для элемента с шестью степенями свободы521346(тип а)Зададим последовательно единичные перемещения связям V1=1, V2=1...V6=1.1) V1=1В соответствие с законом Гука∆l =Nl,EF∆l = V1 = 1,N=EF,lEFlEFlV1 =12) V2=1V2 =112EJl36EJl26EJl212EJl33) V3=1V3 =16EJl24EJl6EJ22EJlи т.д.

задаемV4 = 1,V5 = 1,V6 = 1Расставляя реакции в соответствующие ячейки, получим матрицу жесткостидля элемента с шестью степенями свободы’[r]j = EF l 0 0 EF− l 0 0−0012 EJl36 EJl26 EJl24 EJl00−12 EJl36 EJl2EFl12 EJl36 EJ− 2l0EFl6 EJl22 EJl0−0−6 EJ l2 2 EJ l 0 6 EJ − 2 l 4 EJ l 0012 EJl36 EJ− 2l00Запишем матрицы жесткости для двух других типов элементов, формируяих аналогично предыдущей.2.

Матрица жесткости для элемента с пятью степенями свободы (тип б)будет иметь вид EF l 0’[r] j =  0 EF− l 0−003EJl33EJl23EJl23EJl00−3EJl3−EFl00EFl3EJl203 EJ − 3 l 3 EJ − 2l 0 3 EJ l3 03. Матрица жесткости для элемента с четырьмя степенями свободы (тип в)запишется EF l 0[r]j’ = EF− l 0EFl0EFl00 −0000000Лекция 3Матрица преобразований (направляющих косинусов)Рассмотрим теперь КЭ в составе рамы, расположенный под углом α к оси Х вобщей системе осей координат.Необходимо перейти от матрицы реакций [r]’j в местной системе осей координат кматрице [r] в общей системе координат.Задачу решаем следующим образом.

В начале построим матрицу [c]j, котораяпреобразует перемещения КЭ {z}j в общей системе осей координат в перемещения {v}j,по выражению{v}j = [c]j {z}jYZ3V3V4КZ4Z6 =V6Z2V2V1НaZ1Z3 =V3XV1 = Z1 cosα + Z2 sinαV2 = -Z1 sinα + Z2 cosαV3 = Z3V6 = Z6V4 = Z4 cosα + Z5 sinαV5 = -Z4 sinα + Z5 cosαВ матричной форме приведенная выше запись будет иметь видV1   cosαV   2  − sin αV3   0 =V4   0V5   0  V6   0sin αcosα00000000100 cosα0 − sin α00000sin αcosα00  Z1  0  Z 2 0  Z 3  ⋅  ,0  Z 4 0  Z 5   1  Z 6 или в блочной формесн0[c]j = 0,cк где для жесткого узладля шарнирного узла соsa sin a 0[c]н,к =  − sin a cos a 0 ,01 0 cos a[c]н,к = − sin asin a .cos a Так как мы рассматриваем плоские упругие системы, то векторы узловых усилий иузловых перемещений, как для отдельного элемента, так и для сооружения в целом,связаны между собой линейно{S}j’ = [r]j’{V}j - в местной системе осей координат.{S}j = [r]j {Z}j - в общей системе осей координатКроме того{V}j = [c]j{Z}j,Аналогично{S}j’ = [c]j{S}j,’где {S} ,{S}-узловые усилия КЭ соответственно, в местной и общей системах осейкоординат.Тогда{S}j = [c]j-1 {S}j’ = [c]j-1[r]j’{V}j = [c]j-1[r]j’[c]j{Z}j.Для матрицы направляющих косинусов выполняется равенство[c]j-1 = [c]jT,Тогда{S}j = [c]jT [r]j’ [c]j{Z}.Обозначим[r]j = [c]jT [r]j’ [c]j- это выражение и являетсяформулой для вычисления матрицы жесткости КЭ в общей системе осей координат.При формировании матриц жесткости отдельных элементов [r]j’ должны бытьзафиксированы начало и конец каждого стержня, так как от этого зависит знак угла α,определяющего ориентацию стержня в общей системе осей координат ХОY.Матрица жесткости для сооружения в целомРассмотрим теперь как формируется матрица жесткости для сооружения в целом,когда имеются матрицы жесткости для всех отдельных элементов.Пусть задана какая-либо стержневая системаY35424312X1Все узлы будем считать жесткими, т.е.

с каждым из них связано по 3 возможныхперемещения.Матрицу жесткости для всего сооружения покажем в блочном виде, с размерамиблоков 3x3, т.к. с каждым узлом связано по 3 возможных перемещения (горизонтальное,вертикальное и поворот узла).r11r[r ] =  021r41r12r220r23r32r42r33r43r14 r24 ,r34 r44 здесь r12 - первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций,авторой - номер узла, смещением которого эти реакции вызваны. Нулевые блокиобозначают, что соответствующие узлы не связаны непосредственно стержнем и прямоне взаимодействуют, т.е.

не передают реакции с узла в узел.Общая матрица жесткости [r] получается путем суммирования соответствующихблоков матриц жесткости отдельных стержней.Например, первая строка блочной матрицы [r] получена путем суммированияблоков матриц жесткости отдельных элементовr11 = r111+r112,r12 = r121,r14 = r143 и т.д.Лекция 4Порядок расчета стержневых систем методом конечных элементовПорядок расчета сооружений МКЭ можно разбить на три основные этапа:подготовительный, вычислительный и обработку результатов.1. Подготовительный этап включает в себя.

Изображение расчетной схемырассматриваемого сооружения, разбиение расчетной схемы на отдельные элементы,нумерацию узлов и элементов, выбор общей системы осей координат. Затемсоставляются исходные матрицы: матрицы жесткости отдельных элементов в местнойсистеме осей координат [r]j’ и матрицы направляющих косинусов [c]j , формируют векторвнешних нагрузок {P}, предварительно преобразовав вне узловую нагрузку к узловой.2. Вычислительная часть расчета включает в себя. Вначале вычисляют матрицыжесткостиотдельных элементов в общей системе осей координат[r]j = [c]j [r]j’ [c]j ,затем, из блоков этих матриц формируют матрицу жесткости [r] для сооружения в целом.По формуле{Z} = [r]-1 {P}вычисляют вектор перемещений узловых точек сооружения в общей системе осейкоординат.Вектор узловых усилий для отдельных КЭ в общей системе осей координат{S}j = [r]j {Z}jи в местной системе осей координат{S}j’ = [c]j {S}j .Результирующие усилия в узлах отдельных КЭ в местной системе осей координат,с учетом преобразований вне узловой нагрузки{S}j’ = {S}j’ + {S0}j .3.

Обработка результатов. Полученные усилия {S}j’ прикладывают к узламотдельных элементов и по ним строят результирующие эпюры M, Q, N.Пример.Порядок расчета рамы МКЭ рассмотрим на конкретном небольшом примере.Заданная рама показана на рисунке слеваЗаданная рама и основная система МКЭОсновную систему МКЭ выбираем разбивая раму на три прямолинейных конечныхэлемента (КЭ).

Нумеруем узлы и элементы.В узле 3 элементы соединяются между собой жестко, с этим узлом связаны тринеизвестных перемещения. В узле 2 элементы соединяются шарниром, здесь дванеизвестных перемещения. В опорных узлах 1 и 2 все три перемещения равны нулю.Следовательно, рассматриваемая рама имеет пять неизвестных перемещений в МКЭ.Положительные направления перемещений и внешних нагрузок принимаем как показанона рисунке.Общую систему осей координат располагаем таким образом, чтобы координатывсех узлов были положительными.Распределенную по ригелю нагрузку приводим к узловой, используя для этоготаблицы метода перемещений.Преобразование вне узловой нагрузки к узловойСоставляем исходные матрицы.