Мущанов В.Ф., Жук Н.Р. - Конспект лекций - Строительная механика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА ИАРХИТЕКТУРЫКАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИМущанов В.Ф., Жук Н.Р.КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙСТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКАЧасть 3Макеевка - 1999 годКонспект лекций. Строительная механика.

Часть 3.В.Ф. Мущанов, Н.Р.Жук.Конспект лекций предназначен для студентов строительных специальностей вузов.Включает в себя три раздела специального курса строительной механики. Методконечных элементов, применительно к расчету плоских стержневых систем, устойчивостьсооружений и основы динамики сооружений. Теоретический материал иллюстрируетсярисунками, приводятся примеры решения задач.Рецензент доц. Демидов А.И.Лекция 1Приближенные методы расчета в строительной механикеБольшинство задач строительной механики, связанных с исследованиемнапряженно-деформированного состояния конструкций и их элементов (стержней,пластин, оболочек) сводится, как правило, к решению одного или несколькихдифференциальных уравнений равновесия элемента, соответственно с одним илинесколькими неизвестными.Точное решение таких уравнений (решение в замкнутом виде) не представляетзатруднений лишь в некоторых элементарных случаях.

При решении реальных задаччасто приходится сталкиваться с таким объемом вычислительных работ, что от точногорешения отказываются, а во многих случаях точное решение задачи вообще невозможно,т.к. граничные условия или условия на контуре просто не выражаются в аналитическойформе. Поэтому, как правило, при решении практических задач приходится прибегать кприближенным методам решения.Приближенные методы решения задач могут быть разбиты на две основныегруппы:1. Вариационные методы, которые дают приближенные аналитические выраженияискомой функции (функции перемещений или функции внутренних усилий).2.

Численные методы, которые дают значения искомой функции при тех или иныхзначениях аргумента.К первой группе относятся вариационные методы Ритца, Бубнова-Галеркина,метод Треффца и другие.Ко второй группе относятся метод сеток и его более совершенная модификация метод конечных элементов, а также ряд графических и полуграфических методов таких,как, например, метод прямых, метод коллокаций и другие.Преимущество вариационных методов заключается в том, что задача сводитсяобычно к решению системы двух, трех, редко четырех уравнений, которые дают хорошееприближение к действительному состоянию сооружения.

К их недостаткам следуетотнести то, что возможности вариационных методов ограничены сложными контурами исложными законами распределения внешней нагрузки, т.к. применение вариационныхметодов требует, чтобы было, хотя бы в приближенной форме, определено аналитическоевыражение внешней нагрузки, деформированной упругой поверхности элемента и др.условий задачи.Численные методы, в сравнении с вариационными, имеют более универсальныйхарактер, т.к. не требуют аналитических выражений условий задачи. Однако численныеметоды обладают рядом недостатков.

Так, для получения удовлетворительного решенияони требуют нанесения на исследуемую область густой сетки или разбиения надостаточно большое число элементов, что неизбежно влечет за собой решение системалгебраических уравнений с большим числом неизвестных, что становится возможнымтолько при наличии ЭВМ. Кроме того, численные методы часто приводят к неточностирешений, особенно в местах приложения сосредоточенных сил, при наличии острыхуглов, подкреплений и т.д., т.е. там, где нарушается гладкость полей переменных.Весьма существенным недостатком численных методов является то, что они недают аналитического выражения искомой функции, а, следовательно, для определенияпараметров напряженно-деформированного состояния в данной области приходитсявычислять эти величины во всех узлах стыковки элементов, т.е.

получать массу ненужнойинформации для тех областей, которые нас совершенно не интересуют.Таким образом, выбор метода расчета при рассмотрении конкретной упругойсистемы зависит от постановки задачи и исходных условий, а также от вооруженностирасчетчика вычислительной техникой.Метод конечных элементов (МКЭ)Исторически возникновение МКЭ связано с идеей применения хорошоразработанных процедур для расчета статически неопределимых стержневых систем крешению континуальных задач.Первоначально эта идея была высказана еще в 1933 году И.М. Рабиновичем, норазвитие получила только в 70-х годах, с появлением ЭВМ.Метод конечных элементов основан на мысленном представлении сплошного телав виде совокупности отдельных конечных элементов, взаимодействующих между собой вконечном числе точек, которые в МКЭ принято называть узлами.Система разбивается на простые конечные элементы (КЭ) напряженнодеформированное состояние которых исследуется заранее.Так стержневые системы могут быть разбиты на элементы в виде прямолинейныхили криволинейных стержней (например, для расчета арок) с различными условиямисоединения элементов в узлах.

В этом случае дискретная модель является точной копиейисходной конструкции (с учетом принятых технических гипотез).В расчетах пластин наибольшее распространение получили прямоугольные итреугольные конечные элементы. Здесь дискретная модель лишь приближенно отражаетповедение исходной конструкции.Заметим, что даже при одном и том же числе узловых точек различные схемыдискретизации исходной конструкции порождают разницу в окончательных результатахрасчета.

К сожалению, заранее сказать, какая из возможных схем дискретизации приведетк наименьшей погрешности расчета, невозможно.Число степеней свободы КЭ, а в конечном итоге число неизвестных МКЭ,определяется количеством наложенных в узлах дополнительных связей.Условия равновесия и совместности деформаций выполняются только в узловыхточках - точках соединения КЭ. Однако это не значит, что общая жесткость пластины приэтом резко уменьшается, поскольку зависимость между узловыми усилиями идеформациями каждого элемента рассматривается с учетом некоторых внутреннихсвязей.Каждый элемент является частью заменяемой среды, т.е.

сплошное тело лишьусловно делится на отдельные элементы конечных размеров. Выделенный элемент имеетте же физические свойства и геометрические характеристики, что и рассматриваемаяконструкция в месте расположения элемента.Все внешние силы считаются приложенными в узлах, по направлению ихвозможных перемещений. Вне узловые нагрузки предварительно приводятся к узловым.При реализации МКЭ наибольшее распространение получили идеи методаперемещений, хотя имеются работы, где рассматривается метод сил и смешанный метод.Предпочтение методу перемещений отдано в основном из-за простоты выбора основнойсистемы, составления матрицы жесткости и формирования вектора внешних нагрузок.Разрешающее уравнение МКЭ, которое представляет собой матричную формуканонических уравнений метода перемещений, имеет вид:[r]{Z}={P},где: [r] - матрица жесткости сооружения в целом,{Z}- вектор перемещений узловых точек сооружения,{P}- вектор внешних нагрузок.Подход к решению задачи МКЭ является единым, как для стержневых систем, таки для пластин, оболочек и объемных тел.Дальнейшее рассмотрение МКЭ будем проводить на примере плоских стержневыхсистем.Лекция 2Метод конечных элементов в расчетах плоских стержневых системРассмотрение упругих систем вообще и плоских стержневых систем в частности спозиций МКЭ есть представление упругих систем в виде набора элементов с конечнымчислом степеней свободы, которые соединяются между собой в узловых точках (узлах).Такое представление заданной системы в виде дискретной модели приводит к полнойформализации всех этапов расчета.

Подход к решению задачи является единым, как длястержневых систем, так и для пластин, оболочек, объемных тел и т.п.Рассматривать будем МКЭ разработанный на базе метода перемещений,применительно к расчету плоских стержневых систем.При расчете плоских стержневых систем в МКЭ приняты те же гипотезы, что и вобычном методе перемещений. Несколько уточняется только одна гипотеза: в МКЭбудем учитывать влияние не только изгибных, но и влияние продольных деформаций наперемещения узловых точек сооружения. Т.е. длина стержня в результате деформацийрастяжения-сжатия может изменяться. Это положение позволяет в большей степениформализовать выбор основной системы МКЭ и получить результаты расчета болееточные, чем в обычном методе перемещений.Расчет стержневых систем, как и любых других, в МКЭ начинают с разбиениязаданной системы на отдельные элементы.В качестве конечных элементов (КЭ) мы будем рассматривать прямолинейныестержни, имеющие постоянную жесткость по длине.