Лекц_упр_6 (Презентации лекций), страница 3

Такой график обычноназывают амплитудно-фазовой характеристикой. Для каждого значения ωf наплоскости строится точка с полярными координатами [|G((iωf)|, φ'] или (Z0,φ).Кривая, образованная этими точками, и является амплитудно-фазовойхарактеристикой системы.Для рассматриваемой системы первого порядка график G(iωf) в полярнойсистеме координат показан на фиг. 39, а аналогичный график для Z—на фиг. 40.Из этих графиков следует, что при ωf=0 коэффициент усиления системы равенединице, а сдвиг фазы — нулю.По мере увеличения ωf коэффициент усиления неуклонно падает, а фазовыйсдвиг возрастает; в пределе они стремятся к нулю и π/2 (90°) соответственноФиг. 39.

Амплитудно-фазоваяхарактеристика G длясистемы первого порядка.Фиг. 40. Обратная амплитудно-фазоваяхарактеристика Z длясистемы первого порядка.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг. 40. Обратная амплитудно-фазовая характеристика Z длясистемы первого порядкаГрафики на фиг.

39 и 40 можно использовать и для решения проблемыустойчивости.Фиг. 40 показывает, что график Z (s) не проходит через начало координат и чтовектор Z(s) поворачивается на четверть окружности в положительномнаправлении (т.е. на π/2, или 90°) по мере того, как iωf меняется от нуля до +i∞.Таким образом, наша система устойчива.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг. 39. Амплитудно-фазовая характеристика G для системы первого порядкаЧто же можно сказать о графике обратной величины G(iωf), показанной на фиг.39?Здесь условия устойчивости заключаются в том, что G(iωf) должноповорачиваться на —π/2, или —90°, и не «уходить в бесконечность» по мере того,как iωf меняется от нуля до +i∞.Рассматриваемая система удовлетворяет и этому критерию.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАКонечно, для исследуемой системы не представляет труда и непосредственноопределить единственный корень характеристического уравнения.

Очевидно,что он равен -1/τ, и, поскольку τ— положительное вещественное число, мызнаем, что наша система должна быть устойчивой.Наконец, укажем на характер связи между амплитудно-фазовой характеристикойлюбой системы, скажем G(iωf), и графиком функции, ей обратной, т. е. 1/G(iωf).Сделать это очень просто. Модуль (или абсолютная величина вектора) 1/G(iωf)равен величине, обратной модулю G(iωf), а фаза φ для 1/G(iωf) равна по величинеи обратна по знаку фазе φ' для G(iφf).Второй вид графического представления частотных характеристик—это графикифазы φ' и 20-кратного десятичного логарифма коэффициента усиления какфункций lgωf20-кратный логарифм коэффициента усиления выражает коэффициент усиленияв децибелах (дб), и при измерении амплитуды в этих единицах вертикальнаяшкала для графика коэффициента усиления становится линейной.Величины, откладываемые вдоль горизонтальной оси частот, могут бытьсделаны безразмерными, для чего, как в настоящем случае, на этой осиоткладывают lg(τωf) вместо lgωf.Такой график называют диаграммой Боде (логарифмической частотнойхарактеристикой (амплитудной или фазовой)).

Вид этих графиков длярассматриваемой системы первого порядка показан на фиг. 41.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг. 41. Логарифмическиечастотные характеристикисистемы первого порядка.Рассмотримпреждевсегографиккоэффициента усиления и заметим, что принизкихчастотахвнешнеговоздействия(τωf<0,3)амплитуднаяхарактеристикапрактически постоянна и проходит по уровню,соответствующему нулю децибел.По мере возрастания τωf кривая начинаетзагибаться вниз; при τωfона достигаетзначения —3 дб, а на более высоких частотахприближается к своей асимптоте, имеющейнаклон —6 дб на октаву или —20 дб на декаду.Эту кривую можно приближенно представитьдвумя ее асимптотами, высокочастотной инизкочастотной,пересекающимисяна«сопрягающей частоте» ωfc=1/τ.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг.

41. Логарифмическиечастотные характеристикисистемы первого порядка.Пользуясь техническим языком, мы можемсказать,что«амплитудно-частотнаяхарактеристика существенно постоянна сточностью до ±3 дб (до частоты ωfc ), а затем приболее высоких частотах падает на 6 дб наоктаву». Переходя к фазовой характеристике,заметим, что она асимптотически приближаетсяк нулю на низких частотах и к —90° на высокихчастотах и что на частоте ωfc сдвиг по фазе равен—45°.Так же как и в случае амплитудно-фазовойхарактеристики, можно построить график иобратнойфункции1/G(iωf)ввиделогарифмических частотных характеристик.Поскольку модуль этой функции (илиабсолютная величина вектора) строится здесь влогарифмическоммасштабе,коэффициентусиления, соответствующий 1/G(iωf), равенкоэффициенту усиления G(iωf) с обратнымзнаком.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг.

41. Логарифмическиечастотные характеристикисистемы первого порядка.Поэтомулогарифмическиечастотныехарактеристики, соответствующие 1/G(iωf),совпадают с такими же характеристикамидля G(iωf) по величине и обратны по знакукак для коэффициента усиления, так и дляфазы.Обратная задача для системы первогопорядка решается без всякого труда, еслиизвестна либо амплитудная, либо фазоваяхарактеристика системы. По графикам нафиг. 41 и уравнениям (V.20) или (V.21) мыпросто вычисляем τωf а поскольку ωfизвестно, то легко найти и τ.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАДифференциальное уравнение системы второго порядка с синусоидальнымвнешним воздействием имеет следующий видЛегко видеть, что полное сопротивление передачи, т.

е. функция, обратнаякомплексному коэффициенту усиления, выглядит следующим образом:Вспоминая, что i2= —1, мы перепишем последнее выражение каки, используя символ β для обозначения безразмерного отношения частотывнешнего воздействия к собственной частоте системы (β = ωf/ωn), в конце концов,получимТеперь совсем просто записать выражения для амплитудной [1/ZO или |G(iωf)|] ифазовой (φ или φ') характеристик:СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАХарактеристики (V.26) и (V.27) полностью определяют установившуюсяреакцию системы второго порядка на синусоидальные внешние возмущения.Как и раньше, мы можем представить их либо в виде амплитудно-фазовых, либов виде логарифмических частотных характеристик..Фиг.

42. Амплитудно-фазовые характеристикисистем второгопорядка.Фиг. 43. Обратные амплитуднофазовые характеристики системвторого порядкаСИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА.Фиг. 42. Амплитудно-фазовыехарактеристики систем второгопорядка.Фиг. 43. Обратные амплитуднофазовые характеристики системвторого порядкаАмплитудно-фазовые характеристики для комплексного коэффициента усиленияG(iωf) показаны на фиг. 42, а для соответствующего полного сопротивленияпередачи Z — на фиг.

43.Различные кривые на каждом из этих рисунков соответствуют различнымзначениям коэффициента затухания ζ.Следует обратить внимание на интересный частный случай гармоническогоосциллятора ζ=0, где при β=1 коэффициент усиления становится бесконечнобольшим1, а фазовый угол скачком меняется с 0 на -180°.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАФиг. 43. Обратные амплитуднофазовые характеристики системвторого порядкаКак и раньше, полученные графикиможно использовать для исследованиясистемы на устойчивость.По графикам Z(s) на фиг.

43 видно,что при ζ>0 кривые не проходят черезначало координат и при изменении iωfот нуля до +i∞ вектор Z(s)поворачивается на две четвертиокружности против часовой стрелки (т.е. на π, или 180°); следовательно,соответствующиесистемыудовлетворяюткритериямустойчивости.Но если ζ=0, то Z(s) проходит черезначалокоординати«опрокидывается» на 180° при β=1.Это свидетельствует о наличии двухкомплексносопряженныхчистомнимых корней и, следовательно, онеустойчивости системы.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАФиг. 42. Амплитудно-фазовыехарактеристики систем второгопорядка.График G(iωf) на фиг.

42 удовлетворяетусловиям устойчивости, заключающимсяв повороте вектора G на —180° иотсутствии бесконечно удаленных точекпри ζ>0.Однако если ζ=0, то G(s) уходит вбесконечность и меняет фазу скачком на—180° при β=1.Более прямой подход к решениюпроблемы устойчивости практическипригоден, конечно, и в случае системывторогопорядка,таккаккорниквадратногохарактеристическогоуравнения определяются без всякоготруда.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАФиг.

44. Амплитудные (А) ифазовые (Б) логарифмическиечастотные характеристикисистем второго порядкаПредставить себе амплитудную и фазовуючастотные характеристики, пожалуй, легчепологарифмическимхарактеристикам,показанным на фиг. 44.Обращаясьсначалакамплитуднымхарактеристикам, отметим, что для ζ<1/21/2на частотах β=(1—2ζ2)1/2 у этих кривыхнаблюдаются максимумы, или резонансныепики, величиной 1/2[ζ (1—ζ)1/2]Так, в частном случае гармоническогоосциллятора (ζ=0) модуль |G((iωf)|, стремитсяк бесконечности при β→1, т.

е. приприближении частоты внешнего воздействияк собственной частоте системы.По мере возрастания ζ, максимальноезначениекоэффициентаусилениядостигается на все более низких частотах β ипри ζ=1/21/2 приходится на β=0.Для больших значений β все амплитудныехарактеристикиасимптотическиприближаются к прямой с наклоном —12дб на октаву, или —40 дб на декаду.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАВысокочастотная асимптота пересекается сосью ординат в точке, абсцисса которойсоответствует β=1, т. е. в точке, в которойωf =ωnПереходя к фазовым характеристикам,заметим, что, во-первых, все они стремятся кнулю в области низких частот и к —180° вобласти высоких частот и, во-вторых,φ'=90° при β=1 независимо от значения ζ.Наклон касательной dφ'/dβi к фазовойхарактеристике в точке β=1 равен 1/ζ. Отметимтакже скачок φ' с 0 на —1800 в точке β=1 дляфазовойхарактеристикигармоническогоосциллятора.Обратнуюпроблемуможнорешитьнесколькими различными путями.

Например,Фиг. 44. Амплитудные (А) и ωn можно вычислить непосредственно, найдяфазовые (Б) логарифмические значение ζ, при котором высокочастотнаячастотные характеристикиасимптотаамплитуднойхарактеристикисистем второго порядкапересекает ось ординат или на котором φ'=— 90°.СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАНаклонкасательнойкфазовойхарактеристике dφ'/dβ в этой точке определяет1/ζ. Кроме того, и ωn и ζ можно вычислить,если знать:1) значения амплитудной и фазовойхарактеристик при каком-либо одном значениичастоты воздействия или2) значения амплитудной или фазовойхарактеристики при двух частотах внешнеговоздействия.Фиг. 44.

Амплитудные (А) ифазовые (Б) логарифмическиечастотные характеристикисистем второго порядкаСИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКАПусть, например, нам известно значениеωf. Тогда можно показать, что|G(iωf)| и φ' для некоторого значенияСправедливость формул (V.28) и (V.29) вытекает из того факта, что декартовыкоординаты точки G (iωf) на плоскости комплексных чисел равныВеличины ωп и ζ можно определить также с помощью других комбинацийзначений амплитудной и фазовой характеристик, но мы не собираемся здесьвдаваться в детали этого расчета..