Лекц_упр_6 (Презентации лекций), страница 2

Какмы увидим в дальнейшем, на практике широко пользуются и тем и другимпредставлениями.УСТОЙЧИВОСТЬДо сих пор мы просто предполагали, что рассматриваемая система устойчива,но теперь пора, наконец, перейти к вопросу о том, как же определить,выполняется это предположение или нет.В гл. III мы выяснили, что система устойчива, если корни еехарактеристического уравнения не лежат на оси мнимых чисел или в правойполовине плоскости s.Наличие таких корней легко установить для систем первого и второго порядка,непосредственно решая характеристическое уравнение, однако для систем болеевысокого порядка такой подход становится практически непригодным.К счастью, оказывается, чтоизучениетогожесамогополногосопротивления передачи, которое фигурирует в выражении для частногоинтеграла уравнения устойчивой системы, позволяет найти решение общейпроблемы устойчивости.Основу графического метода решения этой проблемы составляют векторныесвойства комплексных чисел.

Посмотрим теперь, в чем заключается этот метод.Запишем прежде всего характеристическую функцию (или комплексное полноесопротивление передачи) линейной системы n-го порядка в следующем видегде s—комплексное переменное α+iω.В соответствии с фундаментальной теоремой алгебры выражение в правой частиуравнения (V.14) можно записать в виде произведения п линейных многочленов:УСТОЙЧИВОСТЬФиг. 35. Отображение sплоскости на Z-плоскостигде s1 s2 ... — п корней характеристическогоуравнения Z (s)=0.Поскольку подстановка любого из этих корнейвместо s в уравнении (V.14) или (V.15) обращает Z(s) в нуль, эти корни можно также называть нулямиполного сопротивления передачи.Сосредоточим теперь наше внимание на двухвзаимосвязанных комплексных плоскостяхПервая из них — это плоскость, на которой мыпостроим траекторию комплексного переменногоs.На второй плоскости (Z-плоскости) мы будемнаносить значения Z, и на ней мы построим Z (s) всоответствии с уравнением (V.14), предполагая,что s меняется так, как это показано на sплоскости.УСТОЙЧИВОСТЬФиг.

35. Отображение sплоскости на Z-плоскостиТакойграфикZ(s)называетсяконформным отображением траектории s.Соответствующий пример приведен нафиг. 35, где на s-плоскости s меняется отнуля до +i вдоль положительной части осимнимых чисел, а на Z-плоскости построенысоответствующие траектории двух частныхтипов Z(s).Каждой точке траектории s соответствуетопределенная точка на траектории Zi(s) (поопределению Zi(s) = τs+1) и на траекторииZ2(s)УСТОЙЧИВОСТЬРассмотрим теперь поведение одного измножителей Z(s), скажем (s—s1), взятого вотдельности, в s-плоскости по мере того, как sменяется в этой плоскости по некоторомузамкнутому контуру.На фиг. 36 показано положение вектора (s—s1)для трех различных значений s1.В первом случае s1 лежит вне замкнутогоконтура, по которому меняется s, во втором онолежит на самом этом контуре и в третьем —внутри него.Предположим теперь, что s один раз полностьюобегает контур против часовой стрелки; как будетФиг.

36. Поведение векторавести себя при этом вектор (s—s1)?(s — s1) при обходеИз фиг. 36 становится очевидным, что если s1замкнутого годографа s.лежит вне контура, то полный поворот (илиизменение фазы) вектора (s—s1) в результатетакого обхода равен нулю.УСТОЙЧИВОСТЬНапротив, если s1 лежит внутри контура, то (s—s1) совершит один полный поворот против часовойстрелки, т. е. окажется сдвинутым по фазе на +2πрад, или 360°.Наконец, если s1 принадлежит самому контуру,то в момент, когда s=s1, вектор (s—s1)обратитсяв нуль и испытает скачкообразный сдвиг по фазена 180° в этой точке.Это поведение одного сомножителя и кладется воснову решения проблемы устойчивости.Фиг. 36. Поведение вектора(s — s1) при обходезамкнутого годографа s.УСТОЙЧИВОСТЬДля решения этой проблемы, прежде всего, выберем вs-плоскости некоторый испытательный контур (фиг.

37).Он проходит по оси мнимых чисел от —i∞ до + i∞ и пополуокружностибесконечнобольшогорадиуса,охватывающей правую полуплоскость.Исследуем затем поведение Z (s) из уравнения (V.15), помере того как s обегает против часовой стрелки нашиспытательный контур.На каждый корень уравнения Z(s)=0, лежащий вправой половине s-плоскости, приходится один оборотвектора Z(s) против часовой стрелки вокруг началакоординат s-плоскости.Поэтому, если у Z(s) имеется к таких корней, то врезультате обхода нашего контура фаза Z (s) должнаувеличиться на к(2π)рад.Фиг. 37.Испытательный контур Наконец, для каждой сопряженной пары чисто мнимыхкорней Z(s) будет обращаться в нуль, т.

е. траектория Z(s)в s-плоскости дляв этом случае должна проходить через начало координатисследованияs-плоскости.Поэтому, если система устойчива, то траектория Z(s) вустойчивости.Z-плоскости не проходит через начало координат, а еесуммарное изменение фазы равно нулю.УСТОЙЧИВОСТЬФиг. 37. Испытательныйконтур в s-плоскости дляисследованияустойчивости.На практике для подобного испытания оказываетсявозможным построить лишь часть конформнойтраектории на Z-плоскости.Например, из предыдущего ясно, что приизменении s от нуля до +i∞ вдоль оси мнимых чисел(см.

фиг. 37) фаза Z (s) увеличивается на π/2 накаждый корень уравнения Z(s)=0, лежащий в левойполуплоскости1, и уменьшается на π/2 на каждыйкореньВ этом случае суммарное изменение фазы φравно (nl—пr)π/2 , где nl — число корней в левойполовине, а пr—в правой половине s-плоскости. Еслипредположить, что корней, лежащих на оси мнимыхчисел, нет, то nl=п—пr, где п—порядок системы;тогда φ=—(п—2пr)π/2.Отсюда следует ясный вывод: для того чтобы система п-го порядка былаустойчивой, нужно, чтобы по мере того, как s изменяется от нуля до (0+i∞),траектория Z(s) совершила поворот на п квадрантов в положительномнаправлении.Другими словами, число корней, расположенных в правой полуплоскости,должно быть равно [(п/2—(φ/π)].

Если чисто мнимые корни возможны, то этисоотношения несправедливы, так как п≠nl—пr.Однако если такие корни есть, то это уже само по себе свидетельствует онеустойчивости системы; в этом случае Z(s) проходит через начало координат.УСТОЙЧИВОСТЬПримеры подобных траекторий (годографов) для устойчивых и неустойчивыхсистем показаны на фиг. 38. Отметим, что во всех случаях Z(s)=1 при s=0 [это,впрочем, ясно и из уравнения (V.14)].Фиг. 38. Годографы Z(s) для устойчивых и неустойчивых систем [2].УСТОЙЧИВОСТЬ Наконец, отметим также, что годограф Z (s) при s, меняющемся от нуля до+i∞ вдоль оси мнимых чисел, в точности совпадает с траекторией полногосопротивления передачи, фигурировавшего в уравнении (V.5). Таким образом, эта единственная кривая (которая называется диаграммойНайквиста не только определяет коэффициент усиления устойчивой системы и еефазовую характеристику, но и говорит об устойчивости или неустойчивостирассматриваемой системы. В связи с этим перед нами встает ряд интересных вопросов. Предположим, например, что Z (s) обращается в нуль (т.

е. проходит черезначало координат) при некотором конкретном значении iωf. Можем ли мы послеэтого записать уравнение (V.5) в виде V.16 ?и утверждать, что формула (V.16) дает решение уравнения (V.1)?По словам Энью [1], это означало бы совершить «один из тех бесславныхпоступков, которые нельзя терпеть в разумном обществе», а нам, естественно, нехотелось бы давать повод для подобных обвинений.УСТОЙЧИВОСТЬПоэтому мы спешим отметить, что если iωf совпадает с каким-либо нулемполногосопротивленияпередачи(т.е. является одним из корнейхарактеристического уравнения), то выражение (V.3) уже нельзя считатьподходящей формой для частного интеграла. Вместо этого нужно предположить,чтоа это выражение соответствует гармоническим колебаниям с линейно растущейво времени амплитудой, которая стремится к бесконечности по мере увеличения t.Поэтому, хотя это, может быть, и «бесславный» поступок, все же, наверно, спрактической точки зрения полезно уловить скрытый смысл выражения (V.16).Здесь следует также отметить, что если система неустойчива в связи с наличиемоднократных чисто мнимых корней, то гармонические колебания с возрастающейамплитудой появляются в вынужденной реакции системы только на«резонансное» синусоидальное воздействие.Если же неустойчивость системы связана с наличием корней в правойполуплоскости или с наличием кратных корней на оси мнимых чисел, тонарастающие колебания содержатся в переходном процессе, т.

е. в решенииоднородного уравнения.Мы вернемся еще к проблеме устойчивости в связи с конкретными примерамииспользования методов частотного анализа, к которым мы и переходим сейчас.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАИспользуя экспоненциальное представление тригонометрических функций,запишем дифференциальное уравнение системы с синусоидальным внешнимвоздействием в видеПолное сопротивление передачи Z, или величину, обратную комплексномукоэффициенту усиления G(iωf), получаем, подставляя iωf в характеристическуюфункцию системы и преобразуя полученное выражение так, чтобы оносоответствовало стандартной форме записи комплексных чиселАмплитудную характеристику 1/ZO, или |G(iωf)|, и фазовую характеристику φили φ' можно теперь записать таким образомУравнения (V.20) и (V.21) полностью определяют установившуюся реакциюсистемы первого порядка на синусоидальное внешнее возмущение.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАЭти функции принято представлять графически одним из двух способов.В первом случае используется график комплексного коэффициента усиленияG((iωf) или обратной ему величины полного сопротивления передачи Z вполярной системе координат на комплексной плоскости.