Лекц_упр_6 (Презентации лекций)

Лекция 6.Частотный анализфизических системЛ01-упрЛекция 6.Частотный анализ физических систем Специальный математический аппарат частотногоанализа Устойчивость Система первого порядка Система второго порядка Системы высшего порядка Системы с обратной связью Взаимосвязь между частотнымихарактеристиками и переходными процессами ЗаключениеЧастотный анализ физических системПредметом частотного анализа является исследование установившейся, иливынужденной, реакции устойчивой линейной системы на синусоидальныевходные возмущения, а также изучение общей проблемы устойчивости.

Такиеисследования весьма важны по нескольким причинам.1.Прежде всего, привлекаемый математический аппарат особенно прост ипозволяет без всяких трудностей исследовать системы высокого порядка.Действительно, для определения установившейся реакции устойчивой системына синусоидальное возмущение нужно найти лишь частный интегралсоответствующего дифференциального уравнения, а для этого, естественно, необязательно решать характеристическое уравнение.Более того, оказывается, что для решения проблемы устойчивости достаточноисследовать поведение одной из составляющих этого частного интеграла(комплексного коэффициента передачи), и для этого опять-таки не нужно решатьхарактеристическое уравнение.Поскольку для системы высокого порядка решение характеристическогоуравнения представляет весьма трудную задачу, преимущества метода, нетребующего решения этого уравнения, очевидны.Частотный анализ физических систем2.Второе достоинство методов частотного анализа заключается в том, чтолюбую «достаточно регулярную» периодическую функцию, а также многиеапериодические функции можно представить в виде суммы синусоидальныхфункций, воспользовавшись рядами Фурье или интегралом Фурье.Реакция же некоторой линейной системы на сумму п одновременнодействующих внешних возмущений совпадает с суммой п реакций этойсистемы на каждое из возмущений в отдельности (принцип суперпозиции).Таким образом, если мы знаем реакцию системы на чисто синусоидальныевоздействия различной частоты, то мы можем без труда определить ее реакциюна любую периодическую или апериодическую функцию, допускающуюпредставление в виде ряда или интеграла Фурье.3.Третье, особенно важное для инженеров-автоматчиков, достоинство методовчастотного анализа заключается в том, что для разомкнутых или замкнутыхсистем с заданными частотными характеристиками существует простой иудобный графический метод, позволяющий синтезировать их из стандартныхблоков с известными частотными характеристиками.СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАРассмотрим прежде всего задачу определения установившейся реакцииустойчивой системы на синусоидальный входной сигнал.

Как уже отмечалосьвыше, для этого нужно только найти частный интеграл соответствующегодифференциального уравнения и не надо решать характеристическое уравнение.Задача же отыскания частного решения становится особенно простой, есливоспользоваться представлением синусоидальной функции в виде экспоненты скомплексным показателем. Это станет очевидным по мере изложения материала.Начнем с того, что рассмотрим следующее уравнение n-го порядка:где F(t) равно либо уfcosωft, либо уfsinωf t.Вспомним метод определения частного интеграла, намеченный в гл. III.Из табл. 2 следует, что yp(t) для случая синусоидального или косинусоидальноговоздействия имеет видпри условии, что общее решение однородного уравнения, соответствующегоуравнению (V.1), не содержит незатухающих гармонических составляющих.Поскольку мы заранее предполагаем, что рассматриваемая система устойчива,мы знаем, что последнее ограничение выполнено.РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (III.1)Классический метод При таком подходе заранее предполагается, что ур(t) имеет вид,соответствующий виду F(t) (табл.

2).Таблица 2* Если общее решение однородного уравнения также содержит слагаемыетипа yp(t), то вместо yp(t), указанных в таблице, нужно пользоваться частнымрешением ty0(t)..СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАДля того чтобы определить В0 и В1, надо подставить выражение (V.2) и егопервые п производных в уравнение (V.1), объединить в отдельные группы всечлены, содержащие синус, и все члены, содержащие косинус, вынести синус икосинус за скобки и приравнять один из коэффициентов yf, а другой нулю (еслиF(t)=уfcosωft, то нулю приравнивается коэффициент при синусе, а уf - прикосинусе, а если F(t)=уfsinωft, то наоборот).

В результате получаются двауравнения, из совместного решения которых определяются В0 и B1 как функции yfи параметров уравнения (V.1). При больших п подобный метод может оказатьсявесьма трудоемким.Тот же результат можно получить значительно проще, положив F(t)=yf еiωft(по формуле Эйлера еiωft=cosωf t+isinωf t). Посмотрим, к каким упрощениям этоприведет.Поскольку мы предполагаем, что наша система устойчива, член еiωft не можетбыть одним из членов общего решения соответствующего однородного уравнения(другими словами, iωf не может быть корнем характеристического уравнения,поскольку у устойчивых систем не может быть чисто мнимыххарактеристических чисел).Поэтому в соответствии с табл. 2 искомый частный интеграл должен иметь видСПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАТеперь нетрудно вычислить А.

Снова начнем с подстановки выражения (V.3) иего первых п производных в уравнение (V.1). Но первая производная Аеiωftравняется просто-напросто A iωfеiωft , вторая —A(iωf )2еiωft, а п–я — A(iωf)nеiωft. Поэтому в результате указанной подстановки получим уравнение, котороеможно записать в видеСразу бросается в глаза, что выражение в квадратных скобках слевапредставляет собой не что иное, как значение характеристической функциисистемы в точке, где ее независимая переменная равна iωf. Назовем этоталгебраический полином относительно iωf полным сопротивлением передачи Z.Теперь очевидно, что А = yf /Z и что искомое решение имеет следующий простойвид:СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАОстается только придать выражению (V.5) более привычную форму.

Для этогонам придется несколько ближе познакомиться с комплексными числами, так как,вообще говоря, полное сопротивление передачи Z окажется комплексным.Запишем поэтому его в видеи вспомним, что вещественное число α называется вещественной частьюкомплексного числа Z и обозначается через Re(Z), а вещественное число ωназывается мнимой частью Z и обозначается через lm(Z).Полное сопротивление (Z) можно представить геометрически в комплекснойплоскости либо в прямоугольной системе координат (α,ω), либо в полярныхкоординатах (Zo,φ ).Оба представления показаны на фиг.

34.Фиг. 34. Геометрическое представление комплексного числа Z.СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАЯсно, чтогде Z0=(α2+ω2)1/2 —модуль полного сопротивления передачи (Z0≡|Z|).Подставляя (V.7) и (V.8) в уравнение (V.6) и воспользовавшись формулойЭйлера, получим, чтоНаконец, подставляя выражение (V.9) в формулу (V.5), получим искомоерешение в окончательном виде:Если yf и все параметры уравнения (V.1) вещественны (для реальносуществующих физических систем это всегда так), то вещественная частьрешения (V.10) выражает установившуюся реакцию системы, соответствующейуравнению (V.1), на возмущение F(t)=yfcosωft, а его мнимая часть —установившуюся реакцию на воздействие F(t)=yfsinωft.Таким образом, выражение (V.10) описывает синусоиду частоты ωf и амплитудыyf /Z0, сдвинутую во времени на φ рад по отношению к входной синусоиде.СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАПоскольку амплитуда выходной синусоиды равна yf , а входной синусоиды —yf/Z0, их отношение, которое можно назвать коэффициентом усиления системы,равно просто 1/IZ0.

Угол φ называется фазовым углом или просто фазой.Его величина может быть определена из системы уравнений (V.7) и (V.8), ночаще всего фазовый сдвиг, вносимый в систему, определяется какarctg[Im(Z)/Re(Z)].Оба эти определения эквивалентны, если правильно выбрать квадрант, вкотором может лежать φ.Заметим, что положительный фазовый сдвиг φ означает запаздывание по фазе(т. е. выход запаздывает по сравнению с входом), а отрицательный —опережение по фазе.Таким образом, мы выяснили, что установившаяся реакция устойчивойлинейной системы на синусоидальное воздействие представляет собойсинусоиду той же частоты, но с другой амплитудой и фазой.Кроме того, нам удалось обнаружить, что вся необходимая информация об этойреакции содержится в комплексном полном сопротивлении передачи Z,представляющем собой не что иное, как характеристическую функцию системы,в которую вместо независимой переменной подставлено iωf.СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗА Комплексную величину Z можно рассматривать как вектор, абсолютноезначение (модуль) которого (Z0) есть величина, обратная коэффициенту усилениясистемы, а направление φ определяет разность фаз между входным и выходнымсигналами.

И коэффициент усиления, и фазовый сдвиг зависят от частотывнешнего возмущения, и эти две частотные характеристики (амплитудная ифазовая) полностью определяют реакцию системы на синусоидальноевоздействие. Какими же должны быть амплитудная и фазовая частотные характеристикисистемы для того, чтобы она без искажений воспроизводила на выходепроизвольный периодический входной сигнал? Прежде всего, ее коэффициент усиления должен быть одинаков на всехчастотах (другими словами, амплитудно-частотная характеристика должнабыть постоянной), чтобы каждая из составляющих частотного представлениявходного сигнала входила в выражение для выходного сигнала с нужнойотносительной амплитудой. Во-вторых, фазовая характеристика должна быть либо равна нулю навсех частотах, либо прямо пропорциональна частоте, чтобы все составляющиепредставления Фурье для входного воздействия «приходили» на выход системыодновременно. В первом случае система будет воспроизводить входное воздействие безискажений и без запаздывания; во втором искажения также не будет, но затопоявится сдвиг по фазе. Искажения, вызванные отклонением амплитудно-частотной или фазовойхарактеристики от идеальной, называются соответственно амплитуднымиили фазовыми.СПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАЕсли воспользоваться терминологией преобразований Лапласа, то очевидно, что,подставив вместо s в передаточную функцию системы iωf [эта функция G(iωf)называется комплексным коэффициентом передачи], мы получим величину,обратную полному сопротивлению передачи системы.Точно так же модуль, G(iωf ), обычно обозначаемый через |G(iωf )| , естьвеличина, обратная Z0, и, следовательно, он непосредственно определяеткоэффициент усиления системы.Поэтому мы можем переписать уравнение (V.5) в видеа уравнение (V.10) в видегдеСПЕЦИАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙАППАРАТ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗАОтметим, что теперь положительным значениям фазового сдвига φ',определенного из уравнения (V.13), соответствует опережение по фазе, аотрицательным значениям — запаздывание.Таким образом, φ'=—φ.Теперь ясно, что классический метод и метод преобразований Лапласа весьмасходны и одинаково удобны.Преимущество второго из них заключается в том, что |G(iωf )| непосредственноопределяет амплитудную характеристику системы, в то время как Z0 определяетлишь величину, ей обратную.Вместе с тем обычно проще выделять вещественную и мнимую части у Z.