Лекц_упр_4 (Презентации лекций)

Лекция 4.Переходные процессы в физическихсистемахЛ01-упрЛекция № 4Переходные процессы в физических системах Переходные процессы в системе первого порядка Переходные процессы в системе второго порядка Случай 1. Случай 2. Случай 3. Случай 4.Гармонический осциллятор (ζ = 0).Недодемпфированная система(0< ζ <1).Система с критическим демпфированием (ζ=1).Передемпфированная система (ζ > 1) Влияние обратной связи Пропорционально-дифференциальное управление Пропорционально-интегральное управление Системы высшего порядка РезюмеПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ФИЗИЧЕСКИХСИСТЕМАХ Обычно для выяснения поведения систем используются два стандартныхвходных воздействия. Первое из них—апериодическая ступенчатая функция,с которой мы уже сталкивались в гл. II. Изучение поведения системы под воздействием такого входного сигналаполучило название анализа переходных процессов, так как именнопереходный режим работы системы представляет здесь наибольший интерес. Установившаяся реакция системы в этом случае всегда постоянна, и хотязначение этой реакции позволяет определить статический коэффициентусиления и установить наличие или отсутствие установившейсяпогрешности, оно ничего не говорит о динамических свойствах системы. В качестве второго стандартного входного воздействия используетсяпериодическая синусоидальная функция.

Изучение поведения систем,находящихся под действием таких входных сигналов, называетсячастотным анализом. В процессе частотного анализа исследуется установившаяся реакциясистемы, поскольку здесь рассматривается лишь вынужденное движениесистемы.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАЕсли для простоты воспользоваться символом ý для обозначения dy/dt, тоуравнение рассмотренной ранее системы первого порядка можно записать вследующем виде:где F — постоянная. Решая уравнение (IV.1) классическим методом,получим, чтогде Cert — решение соответствующего однородного уравнения (или переходныйпроцесс), а ур — частный интеграл (или вынужденное движение).

Для тогочтобы вычислить r, решим алгебраическое характеристическое уравнениеи получим r= —1/τ. Поскольку τ положительно, мы сразу заключаем, чтосвободное движение имеет вид затухающей экспоненты с постояннойвремени τ. Для вычисления ур воспользуемся табл. 2, и, поскольку внешнеевоздействие F/K постоянно, мы принимаем, что ур=В, т.

е. постоянно. ОтсюдаВ=0, и на основании уравнения (IV.1) получим, чтоПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАТаблица 2ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАоткуда ур=F/K. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения(IV.1) имеет видилигде yss≡F/K — установившееся значение у.

Остается только получитьчастное решение, вычислив соответствующее значение произвольнойпостоянной С. Для этого мы зададим начальные условия для у, напримерпредположим, что у=у0 при t = 0. Поскольку e-t/τ=1 при t=О, уравнение (IV.6)в этом случае принимает видоткуда С=y0—yss. Таким образом, искомое частное решение имеет видПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАОтметим, что формула (IV.8) описывает реакцию на сигнал, который такжеявляется ступенчатым, но в несколько более широком смысле, чем мы принималивыше. В ступенчатом возмущении существенно, что оно имеет одно постоянноезначение при t<0 и другое постоянное значение при t>0. Первое из нихнеобязательно равно нулю и может быть любым положительным илиотрицательным числом.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАНа фиг. 28 показан график выражения (IV.8) для случая у0 < yss, а на фиг.

29 —для случая у0 > yssФиг. 28. Реакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие (ys >у0>0).Фиг. 29. Реакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие (ys <у0>0).ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАМы можем описать все реакции системы первого порядка на ступенчатоевоздействие с помощью единственной безразмерной кривой, преобразовавуравнение (IV.8) к следующему видуПоскольку и числитель и знаменатель левой части уравнения (IV.9) имеютодинаковую размерность (в рассматриваемом случае это—линейное смещение),их отношение безразмерно.Это отношение описывает относительную величину изменения координатысистемы по сравнению с величиной необходимого полного изменения.Размерность t и τ также одинакова, так что их отношение тоже безразмерно.Поэтому на фиг. 30, где построен график зависимости (у—yss)/y0—yss) от t/τ,параметры, отложенные по обеим осям, безразмерны и всем реакциям системы наскачкообразные воздействия соответствует одна единственная кривая.По этой единственной безразмерной кривой легко восстановить вид реакции вестественных координатах для любых частных значений τ , y0 и yss.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАЕсли теперь прологарифмировать обе частиуравнения (IV.9), то получимФиг.

30. Приведеннаяреакция системы первогопорядка на ступенчатоевоздействие.Это значит, что график зависимостиIn[(у—yss)/(y0—yss)] от t представляет собойпрямую, тангенс угла наклона которой равен1/τ.Это позволяет решать обратную задачу, т. е.определять величину τ по зарегистрированнойреакции системы на ступенчатое воздействие.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАДля того чтобы решить уравнение (IV.1) методом преобразований Лапласа,нужно вычислить изображение обеих частей этого уравнения.При этом вспомним, что в соответствии с формулой (III.10) &(τý)=τsy(s)—τу0 и что &у(t)=у(s).Наконец, из таблицы преобразований известно, что &А, где А — любаяпостоянная, равно A/s,Поскольку правая часть уравнения (IV.1) постоянна и равна F/K≡yss,очевидно, что &F/K=(F/K)/s = —yss/s. Отсюда изображение уравнения (IV.1)имеет следующий вид:а после группировки членов, содержащих у (s),Разделим теперь обе части предшествующего уравнения на (τs+1) иприведем члены в правой части к общему знаменателю:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕПЕРВОГО ПОРЯДКАПрежде чем переходить к разложению правой части выражения (IV.

13) напростейшие дроби, разделим ее числитель и знаменатель на τ:Корнями характеристического уравнения s(s+ 1/τ) = О, очевидно, являются 0 и—1/τ , так что в результате разложения правой части на простейшие дробиполучим, чтоНаконец, вычисляя обратное преобразование Лапласа, получим решениеуравнения (IV.1) в том же виде (IV.8), что и раньше:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕОтметим, что при использовании преобразований Лапласа начальные условиявошли в процесс решенияПЕРВОГОавтоматически.ПОРЯДКАКак уже отмечалось выше, полюсами функции в правой части (IV.14) являются 0и —1/τ .Появление первого из них связано с видом внешнего воздействия иобеспечивает появление постоянного слагаемого в решении уравнения (IV.1) вовременной области.Второй полюс является полюсом передаточной функции [1/( τs+)] и определяетпоявление затухающей экспоненты (переходного процесса) в формуле длярешения.Используя понятие передаточной функции, введенное в гл. II и III, мы можемпереписать уравнение(IV.13) в следующем виде:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАПоложив ÿ=d2y/dt2, ý=dy/dt и yss=F/K (постоянная), мы можем переписатьуравнение рассмотренной ранее системы второго порядка в следующем виде:Решение уравнения (IV.18) либо классическим методом, либо методомпреобразований Лапласа требует определения корней следующегохарактеристического уравнения:Используя известныеполучим, чтоформулыдлякорнейквадратного уравнения,ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАЕсли вспомнить теперь то, что говорилось об устойчивости в гл.

III, тостановится очевидным, что характер решения зависит от значения коэффициентазатухания ζ так как именно его значение определяет, являются ли эти корнисопряженными мнимыми (ζ=0), сопряженными комплексными (0<ζ<1),действительными и равными (ζ=1) или действительными и разными (ζ>1).Если корни уравнения (IV.19) различны, то общее решение уравнения (IV.18),полученное классическим методом, имеет следующий вид:Если же они равны (что возможно только при (ζ=1)), то общее решениеуравнения (IV.

18) выглядит следующим образом:Для того чтобы вычислить C1 и С2 для уравнения (IV.22), зададим дваначальных условия у = у0 и у=0 в момент t=0. Тогда уравнение (IV.22) для этогомомента примет вид:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАа дифференцирование уравнения (IV. 22) по t позволит получить еще одноусловиекоторое при ζ=0 примет видРешая систему уравнений (IV.24) и (IV.26), определим значения C1 и С2:Подстановка этих выражений в формулу (IV.22) позволяет получить выражениедля частного решенияПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАКак и раньше, уравнение (IV.29) можно разрешить относительно безразмернойпеременной (у—yss)/(y0—yss ):Для того чтобы определить значения С3 и С4 из уравнения (IV.23), мы зададим теже начальные условия.