Лекц_упр_2 (Презентации лекций)

Лекция № 2Введение в теорию физических системСистема нулевого порядкаСистема первого порядкаСистема второго порядкаСистемы более высоких порядковСистемы аналогиСистемы с обратной связьюРезюмеСистема второго порядкаФиг. 8. Механическаясистемавторого порядка Добавим еще одно последнее усложнение. Подвесим к пружине груз с инерционноймассой М и переделаем нашу измерительнуюшкалу так, чтобы ее нуль соответствовалположениюравновесиясистемыприусловии, что на нее не действуют никакиевнешние силы, кроме силы земного притяжения(фиг.

8). Теперь в уравнение движения этой системынужно ввести третью силу противодействия,FM, вызванную инерционностью массы М. В соответствии со вторым законом Ньютона этасила прямо пропорциональна ускорениюдвижения, т. е. второй производной смещенияпо времени d2y/dt2:где М — инерционная масса груза.Добавляя эту новую силу противодействия кпрежним двум, получим новое уравнениедвиженияСистема второго порядкаФиг.

8. Механическаясистемавторого порядка Уравнение(II.10)называетсядифференциальным уравнением второго порядка,и в соответствии с этим описываемая им системаназывается системой второго порядка. Как и раньше, полезно уменьшить числопараметров системы и заменить три параметра М,R и К двумя комбинированными параметрами,определяемыми следующим образом: Собственная угловая частотаКоэффициент затуханияСистема второго порядкаПользуясь этими новыми параметрами, преобразуем уравнение (II.10) кследующему виду:Как и раньше, воспользуемся нашими символическими обозначениями ипостроим передаточную функцию этой системы. Для этого положимs(у)= dy/dt и s2(у) = = d2y/dt2.

Тогда уравнение (II.13) приобретает вид:или,сноварешаямножительотносительноИв у,скобках представляет собой передаточнуюфункцию системы, на которую умножается входной сигнал припрохождении через систему (фиг. 9).Как и раньше, она распадается на постоянный сомножитель 1/К,определяющий статический коэффициент усиления системы, и назависящий от s сомножитель, определяющий динамические свойствасистемы.Система второго порядкаСистему, обладающую такими динамическими свойствамиинерционным звеном второго порядканазываютФиг.

9. Блок-схема системы второго порядкаИсследуемтеперьреакциюнашейсистемынавсе то жескачкообразное входноевоздействие.Эта реакция показана на фиг.10 для трех различных значений коэффициентазатуханияСистема второго порядкаФиг. 10. Скачкообразноевоздействие и реакция нанего(система второгопорядка).Как и в предыдущем случае, у не мгновенно отрабатывает F, но достигает своегоустановившегося значения F1/K только после некоторого запаздывания.Но, кроме того, в картине поведения у появилось еще нечто новое; так, в случае0<ζ<1 выходная величина у колеблется около своего установившегося значения,прежде чем принять его.

Для того чтобы такие колебания возникли, необходимоналичие двух элементов, накапливающихэнергию и способных обмениваться еюмежду собой. В данном случае роль таких элементов играет пружина,накапливающая потенциальную энергию, и груз, накапливающий кинетическуюэнергию.Если дождаться установившегося состояния системы, то соответствующеезначение у можно, как и раньше, определять по амплитудной характеристике,приведенной на фиг. 5, но, как и для системы первого порядка, в переходныхрежимах, предшествующих статическим, эта характеристика непригодна.Как и раньше, наша новая система изменяет и величину входного сигнала и егоСистемы более высоких порядковПри увеличении числа компонентов системы,соединенных различным образом, порядокдифференциальныхуравненийпостепенноповышается.Однако, если система остается линейной, еевсегда можно представить в виде некоторойлинейной комбинации систем первого и второгопорядка.Поэтому в настоящее время мы не будемподробно исследовать системы более высокихпорядков.Системы-аналогиДо сих пор мы занимались только одним частным типомфизических систем, а именно одномерными механическимисистемами.

Допустим теперь, что мы перейдем к исследованиюфизическойсистемысовсемдругогорода,скажемэлектрической цепи.Придется ли нам в этом случае начать все с самого начала иполучим ли мы уравнения совершенно другого вида, или же то,что нам известно о системах одного типа, мы сможем перенестина системы другого типа?К счастью, оказывается, что многие системы, совершенно непохожие друг на друга по своей физической природе,описываются дифференциальными уравнениями одного и тогоже вида (такие физические системы называются системамианалогами).Это обстоятельство весьма выгодно для нас, так как онопозволяет описывать поведение многих различных физическихсистем с помощью одной-единственной математической моделиСистемы-аналоги Сходство в поведении физических систем совершенно различнойфизической природы станет, вероятно, более понятным, если принятьво внимание тот факт, что во всех этих системах действует одна и таже «денежная единица»—энергия. Энергию всегда можно представить в виде произведения двухсомножителей, один из которых описывает интенсивность расходаили накапливания энергии, а второй характеризует количественныерезультаты этого процесса.

В рассмотренных выше механическихсистемах роль первого сомножителя играла сила, а второго —смещение; в электрических системах аналогичные функциивыполняют напряжение и заряд. Если на вход механической системы подается некоторая сила, товыходная величина претерпевает некоторое смещение, т.

е. в системепроисходит некоторое изменение положения. В результатепроисшедшего движения возникают силы противодействия,пропорциональные самому смещению в пружине, скорости смещенияв вязком амортизаторе и скорости изменения скорости, т. е.ускорению, инерционной массы. Если же подать напряжение на вход электрической системы, то всистеме происходит изменение заряда. В результате возникаютнапряжения противодействия, которые для емкости пропорциональнысамому заряду, для сопротивления — скорости изменения заряда (т.

е.силе тока) и для индуктивности — скорости изменения силы тока.Системы-аналогиФиг. 11. Электрическаясистема второго порядка. Используя законы Ньютона (или принципд'Аламбера) для механической системы,мы приравниваем приложенные внешниесилы к сумме сил противодействия; используязаконыКирхгофадляэлектрических систем, мы приравниваемприложенные внешние напряжения ксумме падений напряжения в цепи.Оба эти закона являются лишь частнымиформулировками более общих принциповравновесия и непрерывности. Поэтому совершенно не удивительно, что уравнения, описывающие такиесистемы, зачастую оказываются одинаковыми по форме и отличаются лишьназваниями, используемыми для переменных и констант. Рассмотрим, например, электрический аналог механической системывторогопорядка,изображенной на фиг.

8 т. е. простую LRC-схему,показанную на фиг. 11. Она состоит из катушки с индуктивностью L, активного сопротивления R иконденсатора емкостью С, последовательно соединенных между собой.Входной сигнал для такой системы создается источником напряжения Е, а еевыходом является заряд конденсатора q.Системы-аналоги Получить уравнение такой системы совсем нетрудно; для этого нужно толькоприравнять в соответствии с законом Кирхгофа внешние напряжения к суммепадений напряжения в цепи. В результате получим, что Одного взгляда на уравнение (II.16) достаточно, чтобы понять, что оносовпадает с уравнением (II.10) во всем, за исключением вида используемыхсимволов и их названий.

Таким образом, механическая и электрическаясистемы, изображенные на фиг. 8 и 11, описываются одинаковымиматематическими моделями и, следовательно, являютсясистемамианалогами. Характер аналогий между переменными и параметрами этих двух системпоказан в табл. 1Системы-аналоги Обычно удобно различать активные и пассивные элементы системы.Активными элементами служат источники энергии. В обеихрассмотренных нами системах активным элементом был вход: источниксилы в механической системе и источник напряжения — в электрической. Пассивные элементы системы служат либо для накопления, либо дляпоглощения энергии.

Накопители энергии могут накапливать либопотенциальную, либо кинетическую энергию. Поглотители энергиипреобразуют механическую или электрическую энергию в тепло. В обоихслучаях параметром, определяющим основное свойство пассивногоэлемента, является отношение некоторой величины, характеризующейинтенсивность накопления или поглощения энергии, к величине,характеризующей количественные изменения, возникающие в результатеэтого процесса, или к ее первой или второй производной. Иногда (а вслучае конденсаторов обычно) используется параметр, обратный этому. Следует указать, что, хотя установить аналогию между системами,изображенными на фиг. 8 и 11, оказалось довольно просто, дело не всегдаобстоит именно так. Более того, для заданной механической системыможно иногда найти несколько электрических аналогов.

Но в любомслучае доказательством аналогичности двух систем может служить лишьодин факт — тот факт, что обе системы описываются дифференциальнымиуравнениями одного вида.Системы с обратной связьюФиг. 12. Задача слежения Нас больше всего интересуют вопросы,связанные с системами автоматическогоуправления, в которых первостепенную рольиграет обратная связь. Поэтому мы должны(покахотябывобщихчертах)познакомиться с природой обратной связи ирезультатами, к которым приводит наличиеее в системе.

Как и раньше, начнем сконкретного примера. Добавим к уже рассмотренной нами системепервого порядка еще один элемент—стрелку-указатель yi, не связанную с этойсистемой. Будем считать, что эта стрелкаможетдвигатьсявдольшкалыупроизвольным образом (фиг. 12).Системы с обратной связьюФиг.