Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 64

ЭтаW*(t,t)C*(t)R-\t)C(t)W(T,t)dtследующимиОпределениееслиfпредполо-v(t).Моментто2.ПрогнозфильтрацияиПусть,далее,случайныхрзаданный—свектор,линейныхвпроцессовпомощью473системахкоторогофунк-определимфункционалSТребуетсянайтислучайнаянесмещенной,т.былаSчтобые.М[EдлячтокаждогооценкуотрезкеB.49)ТакимB.14)вбыэтомуправляемостиконечномсчетесостоитиЕслиздесь,двойственности:когдатогда,толькосисте-стохастическихоптимальнойоценкистохастическийиинаблю-ееустойчивостизадачрешениисостоотуправляемостиприихсистемтеориисвойствачастности,B.13),системауправляема,устойчив,т.е.тривиальное=[A(t)равномерноB.48)фильтриасимпто-однородногорешениеравномер-равномернодифференциаль-фильтрацияобзадачуB.13),Однакотеперьслучайные0,=коррелированныхпроцессыt >гауссовыM[u>(?)]0=M[w(t)w*(s)]всехприQ(t)S(t=-s),M[w(t)v*(s)]Q(t)неотрицательная—Предположим,чтодалее,отзависящимзначениемKqТемможноначальноеv(t)М[х(?о)]w(t)иизвестнойиR(t)S(t-GматрицаK(t)—=}A(t)-B.14)сМ[х(?о)х*(?о)]матрицейуравнениявыше,рассматриваемомвG(t)z(t),GРиккатиПредявляетсясред-нулевым=матрицей.случаеследующейопределяется+формулойопределяетсярешениеG(t)C(t)]ps),матрица.векторомизложенp(t0)=[K(t)C*(t)—значени-B.13),системыслучайнымv(t)матрицамиКоши:рисредниминулевымикоррелированнымиположительная—w(t)что=фильтроптимальныйчтос0корреляционнойнеотрицательнойбылкоторыйметодом,показать,инестационар-предполагать,M[v(t)v*(s)]гауссовым0=предполагаетсяжесостояниелинейнойдля=L(t)S(t-s),R(t)x(to)матрица,Рассмот-шумов.фильтрациибудемоптимальнойB.14).коррелированныеМ[г>(?)]K(t)C*(t)R-\t)C{t)]pB.53)-устойчиво.Оптимальная2.7.Рассмотрим прежнююнестационарной системыгденаблюдаемавполнеуравненияасимптотическизначениямиB.14)оптимальныйторкоторойчтотом,внаблюдаемостиипонятиедоминирующими2.1.вполнедифференциальногогдеz(t)систем.асимптотическигденесмещеннуюпринциптогданаВоказываютсяТеоремасреднимнекоторогонаблюденияотпроблеме,отличиеаналога.стохастическихнетогда,толькодлянайтиможносправедливуправляемапринципиальное—наблюдаемостиэтомприичтотакое,функционаломэтойкпонятиядетерминированногоравномерноформулойявляласьвполнеобразом,Внесмещен-наблюдаема.опираютсясостояния.тогдаT(to)B.52)систем,вполнесистемнаблюдаемачислоотносящейсяB.13),системасистемаB.51)детерминированныхдлябылаошибкидисперсияаmin.=существуетрезультат,иSоценкаО,=соответствовать[to,T].времениДругойкакSJ}определяемогоS, котораяS,М[5]системаtoфункционалалинейнуюПотребуем,—будетЕйчтобыусловиепоказать,когдар*х(Т).=х(Т),оценкувыполнялосьминимальной:Можнонанаилучшуювеличинаp*x(T).B.52)=0,=+задачей-^о?474Гл.Стохастические8.системыKA*{t)[KC*(t)-сначальнымA(t)=уравнениеКа=Ко.=B{t)L(t)R-\t)C{t),-B.54)можноA(t)K+Q{t)записатьэтомприСоответствующее[KWWR-1®рB.55)фильтратеоремеВ[A{t)Значит,3.Уравнения,решениюуравнениябылиB.14)p(t)которогоB.14).ЭтаВ(егобыявлялсянавыходе,полезный—установившемсянекоторыеэтипо-входсводитсязадачере-ксистемыдляB.56),формеx(t)решениюко-выходB.13),системыРиккати.уравненияанализарезультатыкоторогоf(t)aобъектРассмотримвходсигнал,режимевторойсостояниякВинера—Хопфа.Уравнениеx(t)h(t)сводитсяееВинера-Хопфа)вx(t)оценкойкуравне-Риккати.инаВофильтррассмотримнаонауравнениемфункции.счетепараграфе3.1.сигналомвпостроениючтоназываютоптимальноймыпосвященапоказалоптимальныйконечномвВинера-Хопфауравненийтакженайтизадачасделаноотносящиесязадачи,подаваемыйАнализпереходнойтребуетсядвезадачаотслеживающейпомех.ВинераэтомэтофильтрыПерваясистемы,наличииимпульснойB.13)),кактому,рассмотреныпроцессом.приотносительнооптимальногооптимальныепараграфеструктурысигналA(t)матрицыустойчивостианалогичноопределяющиестохастическимполезныйвместоB.48).предыдущемуправлениюоптимальнойB.56)вусловиясформулироватьфильтрадлячтотем,лишьдостаточныеможно2.2K{t)C*{t)R-\t)C{t)]pB.56)-B.53)A(t).B.55)0.=уравнение=уравненияматрицаDWLWR-^tMt^pito)+однородноеемуотстоитвид++отличаетсяB(t)Q(t)B*(t),+имеетp=[A(t)-K(t)C*(t)R-1(t)C(t)]pL(t)R-\t)L*(t),-KC^R-^^CifyK-B.54)Q(t)=видевKA*{t)фильтрауравнениеB.54)?(t)Q(t)?*(t)+обозначениямивоспользоватьсяA(t)L*(t)B*(t)]+(to)КусловиемЕслитоB(t)L(t)]R-\t)[C(t)K+сигналыпоступаетпомеха,—связанысоLp(t)сигналбудеми(см.соотношениемh(t)чтосчитать,A.4))сиг-скалярным=+/(?),вгдеустановив-2)ооГx{t)=K(s)где—уравнениеВинера—Хопфа(см.B.6)))уравнениемимееткорнифункция.K(t)относительноговоря,речьспорядкатолькооопереходнаяимпульснаяИначеп-гоI ip(t-s)K(s)ds,C.1)j—сидетокоторыйпроцессе,коэффициентами,постояннымиотрицательнымиТогдавописываетсяхарактеристическоевещественнымисоответствующеефильтрациизадачечастями.уравнепринимаетнеоднороднымвидуравнениуравнениекоторогоопределяющиеУравнения,3.Rh(pгдеRvиSh(p{uj)скалярныеS^iu)ирешениеможноC.2).уравненияПриэтомтаксделать,р+а=Предположим,последовательночтоподлежитфункция,е.т.комплекснойполуплоскостиплос-Ф~г(р)функциейобозначимсистемыK°(t)гдебудетсоответствииA.7)будет<j(t)е.нойплотностью..nil)!g ^системеC.1)егопроцессаE-функцияОтсюдафункциейL(p)l(t),функциякорреляционнаяимеетвидS(t),=Дирака.дляследует:былаiсоответствиитакого—Nшу-R°(t)5(t)Спек-'спектраль-рисВопределениемгдеC.2).Винера-Хопфаслу-белоготипаограниченнойсоп-следующей:процессшумагдеТогда&{?)стационарный—случайныйL(p),искомойс;|формуламисC.3)W(p).ифункциюПередаточнуюуравненияФ~г(р)функциейи8.3.1).последова-сиг-объектавыходепередаточнойизФ~1(р)тSa(u)насостоитфункциямиинтегральногоплотность<j(t)системапередаточнымичерез-решение—Спектральнаясигналаоптимальнаяс(рис.WMфункциявидев|Ф(го;)|2.C.3)передаточнойсискомаяопределениюоптимальнойспредставимположительнаялевойвS^{u)цельючетнаялежатобъектовсоединенныхL(p)т.этой=системачерезустойчивой.асимптотическивS^iu)Ф(р)функцииг/3.

ПоэтомунулиплоскостиС—далее,плотности.Ф{гш)Ф{-гш)=какОбозначим,функции.спектральныеимS^(cj)Этоt>0,C.2)корреляционныесоответствующиеПостроим475R(p(t-s)K(s)ds,Jo—фильтрыоптимальныечтобытогопередаточнаянеобходимооптимальной,образомформулойоптимальнымопределяемаяW(p)функциячтобыобъектпреобразовывалспередаточнойcr(t).сигналПоэтомувсисте-функфунк-/>ООL(p)должнаудовлетворять/=Joследующемуl(t)e-otdt,Винера-Хопфа:уравнению/»ООRha(t)=C.3),формулесогласнокоторое,Ra(t-s)l(s)ds,Joпринимает?>0,вид/»ООRha(t)l(t)ПоэтомуB.5))имеем=Rha(t).=/JoСогласноl(s)S(t-s)ds,определениюt>0.спектральнойплотности(см.U)476Гл.Стохастические8.системыооRha(t)=2тгJa(t)сигнал—наm(t)Пусть(р).сФ-1(р),функциейпередаточной<p(t).Тогдаобъектафункцияпереходнаяимпульсная—Ф~гфункциейформулойобъектавыходесигналподаетсякоторогоSha(ou)eluJtdoj,C.4)оо—где[—установившийсяпроцесссобъектеэтомвнавходпередаточнойопределяетсяООООa(t)/ cp(s)m(t=s)—ds/ m(s)cp(t=—s) ds,(X)—(X)—следовательно,и,ооf m(s)R('h{t-s)ds,RTh{t)=оо—оо/»ОО/»/»ОО/=JoJТакиформулуипоэтому5Л<7(о;)какC.4)Sah(u),=можноУчитываяввидеI=формулупервуюоптимальнойm(s)R?h(t-s)e-ibjtdtds,тозаписатьL(P)искомой/ Jo/Rah(t)e-iiOtdt=B.3),изполучаемфункциюпередаточнуюис-системыоо1/*оорW(p)=/————ТемсамымпозволяетK°(t),дробно-рациональнымиможножеS^(cj)параметрадостаточнош,просто.тозадача{eibjtdujdt.C.5)Винера-Хопфа.иShtp(ou)принципиальнофункциюпереходнуюизДляэтогодо-исчисления.операционногоявляютсяW(p)функциипередаточнойимпульснуюобращенияплотностиспектральныеЛООуравненияформулойфункцияминайтиейрешениемвоспользоваться(,Кж.Знаниерешена.соответствующуюявляетсякотораядостаточноЕслиполностьюзадачаопределитьchip/e~ptдробно-рациональупрощается,иW{p)определяющиеУравнения,3.Всамомделе,этомврасположенылевойввсеC.3)формулепослучаефункция,рациональнаяфильтры477оптимальныекоторой,нуликаккомплекснойполуплоскостиФ(р)чтонаходим,предполагалосьдробно-—выше,плоскостирасполо-Полагаяр.Ф(-ъи)находим,представитьК(р)видеваТогдаК+(р)=полуплоскости,полуплоскости.К(р)функциячтодробно-рациональна,такжеК~(р),+равенK(iz),расположенныме.т.z,ееможнополюсырасположеныпредста-тольколевойвправойвполуплоско-R(iuj)elu;tверхнейвсобойпредставляетпоособымвсемфунк-точкамкомплексногополуплоскостиF(t),функцииоригиналK^~{iz).функцияявляетсяJtdtФ{—гио)функциивычетовсуммепеременногоимеетинтеграл-Гфункции(р)К~функцииполюсыиК+(р)гдепеременно-изображениемкоторойПоэтомуООK+(iz)/=F(t)e-luJtdt,Jo2тгF(t)=Jсю—ТогдаC.5)формулыизполучаемW(ioj)ОтсюдаТемSh^(uj)самымS^(uj)являютсяРешениеееДолинейнойсихпор,системой,системыжепередаточплотностиспектральныефункциямиотметодомизисходиличтотого,иполезныйболееобщаяфиль-x(t)сигналотслеживатьрешаетсяи.неопределенныхоптимальнойобзадачумаксимальнометодомопределениядлякогдаслучае,рассматриваямыдолженТемвыходе.вВинера—Хопфауравнениякоэффициентов.фильтрациилинейнойформулафильтрадробно-рациональнымиоптимального3.2.Ф{гш)окончательнаяполученафункциии=чтоследует,передаточной/ K+(iuj)eluJtduj.—навыходеh(t)сигналзадача,насостоиткотораявследующем.ПустьописываетсяпроцессстационарнымхвАкоторомВСигналсоответственно.гдеиh(t)—наполезныйтого,предполагается,иАх+aвимеетдвеf{t)Вер,размерностейматрицыcp(t)входесигнал,чтохарактеристиками,Кромепостоянные—уравнением=помеха—пхпстемижестатистическимиC.1).уравнениичтотривиальноех=Ахипхтсоот-составляющие:решениеуравненияха-478Гл.устойчиво,асимптотическисистемеx(t)\=W(t)Асисте-вooматрица—ВиЗадачахпразмерностиоднозначнога,определяемаяматрица-формулепоwчтобыпроцессW(s)ip(t-s)ds,j—гдеустановившийсяследовательно,и,системыформулойопределяетсяматрицамиСтохастические8.состоитвмаксимально[0причтобытом,точноt <подобратьотслеживать0.системыпараметрычто-так,сигналОО[y(t)=Ф(Ь)гдезаданная—l\t)функционалТемSpM[e(t)e*(t)j,=способом,жечтопоказать,матрица.M[e*(t)e(t)]=которыйоптимальнаяКритериемизложенx(t)=параграфе,удовлетворяетфункцио-беретсяy(t).-предыдущемвWo(t)матрицаздеськачестваe(t)гдеможноследующемупока-уравнениюВинера-Хопфа:/»ООRyv(t)=Вtсоответствиис(см.0<нулевыеC.9)).определениемВтовремяC.6)уравнения?,значенияхзаписавегообеимчастямнулевойявляетсяRyif(t)матрицыиприR^it)можно-s)dsэтого\вприt >рассматриватьпри0,всехзначе-вещественных=Ry(p(t)+t <<-ooФурье3),преобразованиеприменимуравненияR(t),oo.C.7)положивООF(s)[=—R(a)e~lsada,oo—ooooooFy(p(s)=IRy^(a)e-lsada,Y(s)f=W(a)e~lsada.Тогда) Получаемыесигналов.соответствующихсвязьполучаемыхприОднаковыраженийэтомвыраженияопределяютобозначатьбудемснеf ?!(*)видевV{s)Rp{tКонаматрицу1 }решениеW(t)корреляционныевводя0.C.6)t >матрицыжеПоэтому,0.t <приW{a)Rp{t-a)da,JoпреобразованиемплотностиспектральныеихсимволомФурье.F,анеS,чтобысоответст-подчеркнутьопределяющиеУравнения,3.фильтры479оптимальныеооооооооfe~lstfW(a)R^(t-a)dads=jjjfR^(tсе,получимW(a)a)e~lstdadt.-oo—oo—oo—oo—ВводяпеременнойзаменуCинтегрированияt=—ооооооооГ( Rv{t-a)e-istdads=W(a)jfW(a)e~isada—oo—ooиC.11)изпоэтомуполучаемуравнениеY(s)F*(s)изкоторогоR^f^s)точкииопределитьнужноматрицыэлементыFy(^(s)свойстваминулютолькоПоэтомувообладатьполуплоскости.всейнасинтересующеерешениекакs,Элементыматрицыкомплекснойдолжноэлемен-тоособыеихF(p(s)плоскостиY(s)F(p(s).Y(s)матрицаТакзначенияхотрицательныхприособенностидолжныY(s).матрицуправойвиметьмогутF(s),C.8)+прямоугольнуюравныбытьмогутFyv(s)=Темиs.жеудовлетворятьурав-уравнению{Y(s)F*>(s)}+{ }+гдета—функции,частьТочноеполуплоскости.котораяэтойприменение/Вчастномматрицейсчтобыпособратьтруда,те1.F^f^s)по-H(s)/—H(s)etsds.J-iujфункцией{}+полюсытолькослагаемыхгруппывнемат-илиэквивалентнатому,левойполуплоско-большогопредставляетопределяется.Fip(s)чтовсехприудовлетворяетследующимкомплексныхусловиям.переменнойзначенияхs=г/5.+F(p(s)=эрмитовой.^ 0являетсяuj3.x*F(~p(iiu)xследовательно,и,произвольногодляF^iiuo)матрицахвекторадействительногокаждогоидействитель-присо.[F^s)]4.Матрицамнимой(обратнаяF(p(s))каналитическойявляетсявдольоси.Следовательно,чтонаходим,detF^(s)определительнанулямнимойобразом,=[py^s)элементыматрицыаналитическимиC.10)вкачествепреобразованиятакжеиметьдолженC.8)g^,F(s)}G(s)A(s)неимеютваналитиченпутинеуравнение+являютсяуравнениябратьобратногоЗаписываяоси.Y(s)уравнения=операцияимеютлегкодействительнаконечногоможнолевойвфункциирациональнойявляетсяэлементами,предполагать,2.[F^(—s)]2действительномsкоторыеэтойдляh(t)функциябудемиачлены,оригиналаДалеечлентолькопроизвольнойкh(t)H(s)когдаслучае,рациональнымиПоискполуплоскости.такимоперацииh(t)e~stdt,JO2?rконечногоособенностиимеетчтоозначает,={Fw>(s)}+,C.9)=интегрированияФурье.полюсовполосев=намнимойосипримененииаоси,Значит,полосе.приF*(s),C.10)detмнимойвдольэтойконеч-одногонивидеви,каждыйосьмнимуюкэтомута-урав-480Гл.A(s)ОпределительполюсывСтохастические8.иA+(s)нулиможноУравнениеправой.вC.10)запишемA+(s)Y(s)ТаккакY(s)бытьудовлетворятьвполюсыПервоеслагаемоевВтороеслагаемоефунк-переходнойтопроцесс,Кромеполуплоскости.нопоиз-заееонатого,должнабудутизвестноуравненияполностью,иG(s).иметьF(s)можетполюсыколичествополюсыF(s),влишьY(s)полюсовнастоящегоэлемента,иметьМатрицахотяправойвлевойвнеиизвестна,полуплоскости.левойполуплоскостиj-ftпересечениистрокииматрицысостоятьэлементудо-.C.11)C.11)матрицыПолюсыстолбцаэтогоуравнениясчетможетматрицыполюсыформуламичастизаувеличивается.fc-roчастиправойвопределениюсвоемуПоэтомунеправойG(t)толькополуплоскости—ПоэтомуфункциюопределяетA~(s)нулиJ jLjоновсегдеиимпульснойстационарныйлевойC.9).уравнениюA+(s)A_(s),=аизображениемустойчивыйтолькоA(s)видевидевявляетсяописывающейдолжнывполуплоскости,д^^=матрицаK(t),функциипредставитьлевойлежатсистемыизможнополюсовfc-roэлементовпредставитьвстолбцаG(s),матрицыиэтотэле-виде-1-1/\р=0КоэффициентыF(s).ПоэтомуэтогоPjk(s)полиномовосновнаяполиномазадачаитакизвестны,состоиттеперькоэффициентыегоC.11)Уравнениенезапишемтеперьjвсехприинеизвестнаматрицаопределитьстепеньк.уравненийсистемывидевкакчтобытом,в\jОтсюдаввидеприходимк=выводу,1, 2,кп;.